Iperpiano di supporto

Iperpiano di supporto (Reindirizzato da Supportare il teorema dell'iperpiano) Vai alla navigazione Vai alla ricerca Un insieme convesso {stile di visualizzazione S} (in rosa), un iperpiano di supporto di {stile di visualizzazione S} (la linea tratteggiata), e il semispazio portante delimitato dall'iperpiano che contiene {stile di visualizzazione S} (in azzurro).

In geometria, un iperpiano di supporto di un insieme {stile di visualizzazione S} nello spazio euclideo {displaystyle mathbb {R} ^{n}} è un iperpiano che ha entrambe le seguenti due proprietà:[1] {stile di visualizzazione S} è interamente contenuto in uno dei due semispazi chiusi delimitati dall'iperpiano, {stile di visualizzazione S} ha almeno un punto limite sull'iperpiano.

Qui, un semispazio chiuso è il semispazio che include i punti all'interno dell'iperpiano.

Contenuti 1 Teorema dell'iperpiano di supporto 2 Guarda anche 3 Appunti 4 References & further reading Supporting hyperplane theorem A convex set can have more than one supporting hyperplane at a given point on its boundary.

Questo teorema afferma che se {stile di visualizzazione S} è un insieme convesso nello spazio vettoriale topologico {displaystyle X=matematicabb {R} ^{n},} e {stile di visualizzazione x_{0}} è un punto sul confine di {stile di visualizzazione S,} allora esiste un iperpiano di supporto contenente {stile di visualizzazione x_{0}.} Se {stile di visualizzazione x^{*}in X^{*}barra rovesciata {0}} ( {stile di visualizzazione X^{*}} è lo spazio duale di {stile di visualizzazione X} , {stile di visualizzazione x^{*}} è un funzionale lineare diverso da zero) tale che {stile di visualizzazione x^{*}sinistra(X_{0}Giusto)gek x^{*}(X)} per tutti {stile di visualizzazione xin S} , poi {stile di visualizzazione H={xin X:x^{*}(X)=x^{*}sinistra(X_{0}Giusto)}} definisce un iperpiano di supporto.[2] al contrario, Se {stile di visualizzazione S} è un insieme chiuso con interno non vuoto tale che ogni punto sul confine ha un iperpiano di supporto, poi {stile di visualizzazione S} è un insieme convesso.[2] L'iperpiano nel teorema potrebbe non essere unico, come si nota nella seconda foto a destra. Se il set chiuso {stile di visualizzazione S} non è convesso, l'affermazione del teorema non è vera in tutti i punti sul confine di {stile di visualizzazione S,} come illustrato nella terza foto a destra.

Gli iperpiani di supporto degli insiemi convessi sono anche chiamati tac-planes o tac-hyperplanes.[3] Un risultato correlato è il teorema dell'iperpiano di separazione, che ogni due insiemi convessi disgiunti possono essere separati da un iperpiano.

Vedi anche Un iperpiano di supporto contenente un dato punto sul confine di {stile di visualizzazione S} potrebbe non esistere se {stile di visualizzazione S} non è convesso. Funzione di supporto Linea di supporto (supportare gli iperpiani in {displaystyle mathbb {R} ^{2}} ) Note ^ Luenberger, David G. (1969). Ottimizzazione con metodi di spazio vettoriale. New York: John Wiley & Sons. p. 133. ISBN 978-0-471-18117-0. ^ Salta su: a b Boyd, Stefano P.; Vandenberghe, Lieven (2004). Ottimizzazione convessa (PDF). Cambridge University Press. pp. 50–51. ISBN 978-0-521-83378-3. Estratto ottobre 15, 2011. ^ Cassel, John W. S. (1997), Un'introduzione alla geometria dei numeri, Springer Classics in Matematica (ristampa di 1959[3] e 1971 Springer-Verlag ed.), Springer-Verlag. References & further reading Ostaszewski, Adamo (1990). Metodi matematici avanzati. Cambridge; New York: Cambridge University Press. p. 129. ISBN 0-521-28964-5. Giaquinta, Mariano; Hildebrandt, Stefano (1996). Calcolo delle variazioni. Berlino; New York: Springer. p. 57. ISBN 3-540-50625-X. Boh, C. J.; Quale, XQ. (2002). Dualità nell'ottimizzazione e disuguaglianze variazionali. Londra; New York: Taylor & Francis. p. 13. ISBN 0-415-27479-6. Categorie: Geometria convessaAnalisi funzionaleTeorie della dualità