Hyperplan de support

Hyperplan de support (Redirigé depuis le théorème de l'hyperplan de support) Aller à la navigation Aller à la recherche Un ensemble convexe {style d'affichage S} (en rose), un hyperplan support de {style d'affichage S} (la ligne pointillée), et le demi-espace porteur délimité par l'hyperplan qui contient {style d'affichage S} (en bleu clair).

En géométrie, un hyperplan support d'un ensemble {style d'affichage S} dans l'espace euclidien {style d'affichage mathbb {R} ^{n}} est un hyperplan qui a les deux propriétés suivantes:[1] {style d'affichage S} est entièrement contenu dans l'un des deux demi-espaces fermés délimités par l'hyperplan, {style d'affichage S} a au moins un point frontière sur l'hyperplan.

Ici, un demi-espace fermé est le demi-espace qui comprend les points dans l'hyperplan.

Contenu 1 Prise en charge du théorème d'hyperplan 2 Voir également 3 Remarques 4 References & further reading Supporting hyperplane theorem A convex set can have more than one supporting hyperplane at a given point on its boundary.

Ce théorème énonce que si {style d'affichage S} est un ensemble convexe dans l'espace vectoriel topologique {style d'affichage X=mathbb {R} ^{n},} et {style d'affichage x_{0}} est un point sur la limite de {style d'affichage S,} alors il existe un hyperplan support contenant {style d'affichage x_{0}.} Si {style d'affichage x^{*}en X^{*}barre oblique inverse {0}} ( {style d'affichage X^{*}} est l'espace dual de {style d'affichage X} , {style d'affichage x^{*}} est une fonctionnelle linéaire non nulle) tel que {style d'affichage x^{*}la gauche(X_{0}droit)merde x ^{*}(X)} pour tous {style d'affichage xin S} , alors {style d'affichage H={xin X:x^{*}(X)=x^{*}la gauche(X_{0}droit)}} définit un hyperplan support.[2] inversement, si {style d'affichage S} est un ensemble fermé à l'intérieur non vide tel que chaque point de la frontière a un hyperplan support, alors {style d'affichage S} est un ensemble convexe.[2] L'hyperplan dans le théorème peut ne pas être unique, comme remarqué sur la deuxième photo à droite. Si l'ensemble fermé {style d'affichage S} n'est pas convexe, l'énoncé du théorème n'est pas vrai en tout point de la frontière de {style d'affichage S,} comme illustré dans la troisième image à droite.

Les hyperplans de support des ensembles convexes sont également appelés tac-plans ou tac-hyperplans.[3] Un résultat connexe est le théorème de l'hyperplan séparateur, que tous les deux ensembles convexes disjoints peuvent être séparés par un hyperplan.

Voir aussi Un hyperplan support contenant un point donné sur la frontière de {style d'affichage S} peut ne pas exister si {style d'affichage S} n'est pas convexe. Fonction de support Ligne de support (soutenir les hyperplans dans {style d'affichage mathbb {R} ^{2}} ) Remarques ^ Luenberger, David G.. (1969). Optimisation par les méthodes spatiales vectorielles. New York: John Wiley & Sons. p. 133. ISBN 978-0-471-18117-0. ^ Sauter à: un b Boyd, Stéphane P.; Vandenberghe, Lieven (2004). Optimisation convexe (pdf). la presse de l'Universite de Cambridge. pp. 50–51. ISBN 978-0-521-83378-3. Récupéré en octobre 15, 2011. ^ Cassels, Jean W. S. (1997), Une introduction à la géométrie des nombres, Classiques Springer en mathématiques (réimpression de 1959[3] et 1971 Springer-Verlag éd.), Springer Verlag. References & further reading Ostaszewski, Adam (1990). Méthodes mathématiques avancées. Cambridge; New York: la presse de l'Universite de Cambridge. p. 129. ISBN 0-521-28964-5. Giaquinta, Mariano; Hildebrandt, Stéphane (1996). Calcul des variations. Berlin; New York: Springer. p. 57. ISBN 3-540-50625-X. Goh, C. J; Qui, XQ. (2002). Dualité dans l'optimisation et inégalités variationnelles. Londres; New York: Taylor & Francis. p. 13. ISBN 0-415-27479-6. Catégories: Géométrie convexeAnalyse fonctionnelleThéories de la dualité