Unterstützende Hyperebene

Unterstützende Hyperebene (Umgeleitet von Unterstützung des Hyperebenen-Theorems) Zur Navigation springen Zur Suche springen Eine konvexe Menge {Anzeigestil S} (In Pink), eine unterstützende Hyperebene von {Anzeigestil S} (die gestrichelte Linie), und der tragende Halbraum, der durch die enthaltende Hyperebene begrenzt ist {Anzeigestil S} (in hellblau).

In der Geometrie, eine unterstützende Hyperebene einer Menge {Anzeigestil S} im euklidischen Raum {Anzeigestil mathbb {R} ^{n}} ist eine Hyperebene, die beide der folgenden zwei Eigenschaften hat:[1] {Anzeigestil S} vollständig in einem der beiden geschlossenen Halbräume enthalten ist, die von der Hyperebene begrenzt werden, {Anzeigestil S} hat mindestens einen Randpunkt auf der Hyperebene.

Hier, ein geschlossener Halbraum ist der Halbraum, der die Punkte innerhalb der Hyperebene enthält.

Inhalt 1 Unterstützendes Hyperebenen-Theorem 2 Siehe auch 3 Anmerkungen 4 References & further reading Supporting hyperplane theorem A convex set can have more than one supporting hyperplane at a given point on its boundary.

Dieser Satz besagt, dass wenn {Anzeigestil S} ist eine konvexe Menge im topologischen Vektorraum {Anzeigestil X=mathbb {R} ^{n},} und {Anzeigestil x_{0}} ist ein Punkt auf der Grenze von {Anzeigestil S,} dann gibt es eine unterstützende Hyperebene, die enthält {Anzeigestil x_{0}.} Wenn {Anzeigestil x^{*}in X^{*}Backslash {0}} ( {Anzeigestil X^{*}} ist der duale Raum von {Anzeigestil X} , {Anzeigestil x^{*}} ist eine lineare Funktion ungleich Null) so dass {Anzeigestil x^{*}links(x_{0}Rechts)gek x^{*}(x)} für alle {Anzeigestil xin S} , dann {Anzeigestil H={xin X:x^{*}(x)=x^{*}links(x_{0}Rechts)}} definiert eine unterstützende Hyperebene.[2] Umgekehrt, wenn {Anzeigestil S} ist eine abgeschlossene Menge mit nicht leerem Inneren, so dass jeder Punkt auf dem Rand eine unterstützende Hyperebene hat, dann {Anzeigestil S} ist eine konvexe Menge.[2] Die Hyperebene im Theorem ist möglicherweise nicht eindeutig, wie auf dem zweiten Bild rechts zu sehen. Wenn die geschlossene Menge {Anzeigestil S} ist nicht konvex, die Aussage des Satzes ist nicht an allen Punkten auf der Grenze von wahr {Anzeigestil S,} wie im dritten Bild rechts dargestellt.

Die unterstützenden Hyperebenen konvexer Mengen werden auch Tac-Ebenen oder Tac-Hyperebenen genannt.[3] Ein verwandtes Ergebnis ist der Satz über die Trennung von Hyperebenen, dass alle zwei disjunkten konvexen Mengen durch eine Hyperebene getrennt werden können.

Siehe auch Eine unterstützende Hyperebene, die einen bestimmten Punkt auf der Grenze von enthält {Anzeigestil S} kann nicht existieren, wenn {Anzeigestil S} ist nicht konvex. Stützfunktion Stützlinie (Unterstützung von Hyperebenen in {Anzeigestil mathbb {R} ^{2}} ) Anmerkungen ^ Lünberger, David G. (1969). Optimierung durch Vektorraummethoden. New York: John Wiley & Sons. p. 133. ISBN 978-0-471-18117-0. ^ Nach oben springen: ein b Boyd, Stefan P.; Vandenberghe, Lieven (2004). Konvexe Optimierung (pdf). Cambridge University Press. pp. 50–51. ISBN 978-0-521-83378-3. Oktober abgerufen 15, 2011. ^ Kassen, John W. S. (1997), Eine Einführung in die Geometrie der Zahlen, Springer Classics in Mathematik (Nachdruck von 1959[3] und 1971 Springer-Verlag hg.), Springer-Verlag. References & further reading Ostaszewski, Adam (1990). Fortgeschrittene mathematische Methoden. Cambridge; New York: Cambridge University Press. p. 129. ISBN 0-521-28964-5. Giaquinta, Mariano; Hildebrandt, Stefan (1996). Variationsrechnung. Berlin; New York: Springer. p. 57. ISBN 3-540-50625-X. Gut, C. J.; Die, X.Q. (2002). Dualität in Optimierung und Variationsungleichungen. London; New York: Taylor & Francis. p. 13. ISBN 0-415-27479-6. Kategorien: Konvexe GeometrieFunktionsanalyseDualitätstheorien