Teorema da estrutura para módulos finitamente gerados sobre um domínio ideal principal

Teorema da estrutura para módulos finitamente gerados sobre um domínio ideal principal Em matemática, no campo da álgebra abstrata, o teorema da estrutura para módulos finitamente gerados sobre um domínio de ideal principal é uma generalização do teorema fundamental de grupos abelianos finitamente gerados e afirma aproximadamente que módulos finitamente gerados sobre um domínio de ideal principal (PID) podem ser decompostos de forma única da mesma maneira que os inteiros têm uma fatoração primo. O resultado fornece uma estrutura simples para entender vários resultados de forma canônica para matrizes quadradas sobre campos.

Conteúdo 1 Declaração 1.1 Decomposição de fator invariável 1.2 Decomposição primária 2 Provas 3 Corolários 4 Singularidade 5 Generalizações 5.1 Grupos 5.2 Decomposição primária 5.3 Módulos indecomponíveis 5.4 Módulos gerados não finitamente 6 References Statement When a vector space over a field F has a finite generating set, então pode-se extrair dele uma base consistindo em um número finito n de vetores, e o espaço é, portanto, isomórfico a Fn. A afirmação correspondente com o F generalizado para um domínio ideal principal R não é mais verdadeira, uma vez que uma base para um módulo finitamente gerado sobre R pode não existir. No entanto, tal módulo ainda é isomórfico a um quociente de algum módulo Rn com n finito (para ver isso basta construir o morfismo que envia os elementos da base canônica de Rn aos geradores do módulo, e pegue o quociente pelo seu kernel.) Ao alterar a escolha do grupo gerador, pode-se de fato descrever o módulo como o quociente de algum Rn por um submódulo particularmente simples, e este é o teorema da estrutura.

O teorema da estrutura para módulos finitamente gerados sobre um domínio ideal principal geralmente aparece nas duas formas a seguir.

Invariant factor decomposition For every finitely generated module M over a principal ideal domain R, existe uma única sequência decrescente de ideais próprios {estilo de exibição (d_{1})supseteq (d_{2})supseteq cdots supseteq (d_{n})} tal que M é isomorfo à soma dos módulos cíclicos: {estilo de exibição Mcong bigoplus _{eu}R/(d_{eu})=R/(d_{1})mais R/(d_{2})oplus cdots oplus R/(d_{n}).} Os geradores {estilo de exibição d_{eu}} dos ideais são únicos até multiplicação por uma unidade, e são chamados de fatores invariantes de M. Uma vez que os ideais devem ser adequados, esses fatores não devem ser inversíveis (isso evita fatores triviais na soma), e a inclusão dos ideais significa que se tem divisibilidade {estilo de exibição d_{1},|,d_{2},|,cdots ,|,d_{n}} . A parte livre é visível na parte da decomposição correspondente aos fatores {estilo de exibição d_{eu}=0} . Tais fatores, caso existam, ocorrem no final da sequência.

Enquanto a soma direta é determinada exclusivamente por M, o isomorfismo que dá a decomposição em si não é único em geral. Por exemplo, se R é realmente um campo, então todos os ideais que ocorrem devem ser zero, e obtém-se a decomposição de um espaço vetorial de dimensão finita em uma soma direta de subespaços unidimensionais; o número de tais fatores é fixo, ou seja, a dimensão do espaço, mas há muita liberdade para escolher os próprios subespaços (if dim M > 1).

O diferente de zero {estilo de exibição d_{eu}} elementos, juntamente com o número de {estilo de exibição d_{eu}} que são zero, formam um conjunto completo de invariantes para o módulo. Explicitamente, isso significa que quaisquer dois módulos que compartilham o mesmo conjunto de invariantes são necessariamente isomórficos.

Alguns preferem escrever a parte livre de M separadamente: {estilo de exibição R^{f}oplus bigoplus _{eu}R/(d_{eu})=R^{f}mais R/(d_{1})mais R/(d_{2})oplus cdots oplus R/(d_{n-f})} onde o visível {estilo de exibição d_{eu}} são diferentes de zero, e f é o número de {estilo de exibição d_{eu}} 's na sequência original que são 0.

Decomposição primária Todo módulo finitamente gerado M sobre um domínio de ideal principal R é isomórfico a uma das formas {estilo de exibição bigoplus _{eu}R/(q_{eu})} Onde {estilo de exibição (q_{eu})neq R} e a {estilo de exibição (q_{eu})} são ideais primários. o {estilo de exibição q_{eu}} São únicos (até multiplicação por unidades).

Os elementos {estilo de exibição q_{eu}} são chamados de divisores elementares de M. Em um PID, ideais primários diferentes de zero são potências de primos, e entao {estilo de exibição (q_{eu})=(p_{eu}^{r_{eu}})=(p_{eu})^{r_{eu}}} . Quando {estilo de exibição q_{eu}=0} , o módulo indecomponível resultante é {estilo de exibição R} em si, e isso está dentro da parte do M que é um módulo livre.

As somas {estilo de exibição R/(q_{eu})} são indecomponíveis, então a decomposição primária é uma decomposição em módulos indecomponíveis, e, portanto, todo módulo finitamente gerado sobre um PID é um módulo completamente decomponível. Como os PIDs são anéis noetherianos, isso pode ser visto como uma manifestação do teorema de Lasker-Noether.

Como antes, é possível escrever a parte livre (Onde {estilo de exibição q_{eu}=0} ) separadamente e expresse M como: {estilo de exibição R^{f}mais (bigoplus_{eu}R/(q_{eu}))} onde o visível {estilo de exibição q_{eu}} são diferentes de zero.

Proofs One proof proceeds as follows: Cada módulo finitamente gerado sobre um PID também é finitamente apresentado porque um PID é Noetheriano, uma condição ainda mais forte do que a coerência. Faça uma apresentação, que é um mapa {estilo de exibição R^{r}para R^{g}} (relações com geradores), e coloque-o na forma normal Smith.

Isso produz a decomposição do fator invariante, e as entradas diagonais da forma normal de Smith são os fatores invariantes.

Outro esboço de uma prova: Denote por tM o submódulo de torção de M. Então M/tM é um módulo livre de torção gerado finitamente, e tal módulo sobre um PID comutativo é um módulo livre de posto finito, então é isomórfico a {estilo de exibição R^{n}} para um inteiro positivo n. Este módulo livre pode ser incorporado como um submódulo F de M, de tal forma que a incorporação se divide (é um inverso à direita de) o mapa de projeção; basta levantar cada um dos geradores de F em M. Como consequência {estilo de exibição M=tMoplus F} . Para um elemento primo p em R podemos então falar de {estilo de exibição N_{p}={min tMmid existe i,mp^{eu}=0}} . Este é um submódulo de tM, e acontece que cada Np é uma soma direta de módulos cíclicos, e que tM é uma soma direta de Np para um número finito de primos distintos p. Juntando as duas etapas anteriores, M é decomposto em módulos cíclicos dos tipos indicados. Corollaries This includes the classification of finite-dimensional vector spaces as a special case, Onde {estilo de exibição R=K} . Como os campos não têm ideais não triviais, todo espaço vetorial finitamente gerado é livre.

Tirando {estilo de exibição R = mathbb {Z} } produz o teorema fundamental de grupos abelianos finitamente gerados.

Seja T um operador linear em um espaço vetorial de dimensão finita V sobre K. Tirando {estilo de exibição R=K[T]} , a álgebra de polinômios com coeficientes em K avaliados em T, produz informações de estrutura sobre T. V pode ser visto como um módulo finitamente gerado sobre {estilo de exibição K[T]} . O último fator invariante é o polinômio mínimo, e o produto de fatores invariantes é o polinômio característico. Combinado com um formulário de matriz padrão para {estilo de exibição K[T]/p(T)} , isso produz várias formas canônicas: fatores invariáveis + matriz complementar produz a forma normal de Frobenius (também conhecido como, forma canônica racional) decomposição primária + matriz complementar produz decomposição primária da forma canônica racional primária + Blocos de Jordan produzem forma canônica de Jordan (este último só vale para um corpo algebricamente fechado) Uniqueness While the invariants (classificação, fatores invariáveis, e divisores elementares) São únicos, o isomorfismo entre M e sua forma canônica não é único, e nem mesmo preserva a decomposição direta da soma. Isso ocorre porque existem automorfismos não triviais desses módulos que não preservam os somatórios.

No entanto, um tem um submódulo de torção canônica T, e submódulos canônicos semelhantes correspondentes a cada (distinto) fator invariável, que produz uma sequência canônica: {estilo de exibição 0

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