Teorema di struttura per moduli finitamente generati su un dominio ideale principale

Teorema di struttura per moduli finitamente generati su un dominio ideale principale In matematica, nel campo dell'algebra astratta, il teorema della struttura per moduli finitamente generati su un dominio ideale principale è una generalizzazione del teorema fondamentale dei gruppi abeliani finitamente generati e afferma approssimativamente che moduli finitamente generati su un dominio ideale principale (PID) può essere scomposto in modo univoco più o meno allo stesso modo in cui gli interi hanno una fattorizzazione primi. Il risultato fornisce una struttura semplice per comprendere vari risultati in forma canonica per matrici quadrate su campi.

Contenuti 1 Dichiarazione 1.1 Decomposizione del fattore invariante 1.2 Decomposizione primaria 2 Prove 3 Corollari 4 Unicità 5 generalizzazioni 5.1 Gruppi 5.2 Decomposizione primaria 5.3 Moduli inscomponibili 5.4 Moduli generati in modo non finito 6 References Statement When a vector space over a field F has a finite generating set, allora si può estrarne una base costituita da un numero finito n di vettori, e lo spazio è quindi isomorfo a Fn. L'affermazione corrispondente con la F generalizzata a un dominio ideale principale R non è più vera, poiché una base per un modulo finitamente generato su R potrebbe non esistere. Tuttavia un tale modulo è ancora isomorfo a un quoziente di qualche modulo Rn con n finito (per vederlo basta costruire il morfismo che invia gli elementi della base canonica di Rn ai generatori del modulo, e prendi il quoziente per il suo nocciolo.) Modificando la scelta del gruppo elettrogeno, si può infatti descrivere il modulo come il quoziente di qualche Rn da un sottomodulo particolarmente semplice, e questo è il teorema di struttura.

Il teorema di struttura per moduli finitamente generati su un dominio ideale principale di solito appare nelle due forme seguenti.

Invariant factor decomposition For every finitely generated module M over a principal ideal domain R, c'è una sequenza decrescente unica di ideali propri {stile di visualizzazione (d_{1})supseteq (d_{2})supseteq cdots supseteq (d_{n})} tale che M è isomorfo alla somma dei moduli ciclici: {displaystyle Mcong bigoplus _{io}R/(d_{io})=R/(d_{1})oplus R/(d_{2})oplus cdots oplus R/(d_{n}).} I generatori {stile di visualizzazione d_{io}} degli ideali sono unici fino alla moltiplicazione per un'unità, e sono detti fattori invarianti di M. Dal momento che gli ideali dovrebbero essere corretti, questi fattori non devono essere di per sé invertibili (questo evita fattori banali nella somma), e l'inclusione degli ideali significa che si ha divisibilità {stile di visualizzazione d_{1},|,d_{2},|,cdot ,|,d_{n}} . La parte libera è visibile nella parte della scomposizione corrispondente ai fattori {stile di visualizzazione d_{io}=0} . Tali fattori, se del caso, si verificano alla fine della sequenza.

Mentre la somma diretta è determinata unicamente da M, l'isomorfismo che dà la scomposizione stessa non è unico in generale. Ad esempio se R è effettivamente un campo, allora tutti gli ideali che si verificano devono essere zero, e si ottiene la scomposizione di uno spazio vettoriale a dimensione finita in una somma diretta di sottospazi unidimensionali; il numero di tali fattori è fisso, ovvero la dimensione dello spazio, ma c'è molta libertà nella scelta dei sottospazi stessi (if dim M > 1).

Il diverso da zero {stile di visualizzazione d_{io}} elementi, insieme al numero di {stile di visualizzazione d_{io}} che sono zero, formare un insieme completo di invarianti per il modulo. Esplicitamente, ciò significa che due moduli qualsiasi che condividono lo stesso insieme di invarianti sono necessariamente isomorfi.

Alcuni preferiscono scrivere la parte libera di M separatamente: {stile di visualizzazione R^{f}oplus bigoplus _{io}R/(d_{io})=R^{f}oplus R/(d_{1})oplus R/(d_{2})oplus cdots oplus R/(d_{n-f})} dove il visibile {stile di visualizzazione d_{io}} sono diversi da zero, e f è il numero di {stile di visualizzazione d_{io}} è nella sequenza originale che sono 0.

Decomposizione primaria Ogni modulo finito M su un dominio ideale principale R è isomorfo a una delle forme {displaystyle bigoplus _{io}R/(q_{io})} dove {stile di visualizzazione (q_{io})neq R} e il {stile di visualizzazione (q_{io})} sono ideali primari. Il {stile di visualizzazione q_{io}} sono unici (fino alla moltiplicazione per unità).

Gli elementi {stile di visualizzazione q_{io}} sono detti divisori elementari di M. In un PID, gli ideali primari diversi da zero sono potenze di numeri primi, e così {stile di visualizzazione (q_{io})=(p_{io}^{r_{io}})=(p_{io})^{r_{io}}} . quando {stile di visualizzazione q_{io}=0} , il modulo inscomponibile risultante è {stile di visualizzazione R} si, e questo è all'interno della parte di M che è un modulo libero.

Le condanne {stile di visualizzazione R/(q_{io})} sono indecomponibili, quindi la scomposizione primaria è una scomposizione in moduli inscomponibili, e quindi ogni modulo finitamente generato su un PID è un modulo completamente scomponibile. Poiché i PID sono anelli noetheriani, questo può essere visto come una manifestazione del teorema di Lasker-Noether.

Come prima, è possibile scrivere la parte libera (dove {stile di visualizzazione q_{io}=0} ) separatamente ed esprimere M come: {stile di visualizzazione R^{f}oplus (bigoplus _{io}R/(q_{io}))} dove il visibile {stile di visualizzazione q_{io}} sono diversi da zero.

Proofs One proof proceeds as follows: Ogni modulo finitamente generato su un PID viene anche presentato in modo finito perché un PID è noetheriano, una condizione ancora più forte della coerenza. Fai una presentazione, che è una mappa {stile di visualizzazione R^{r}a R^{g}} (rapporti con i generatori), e mettilo nella forma normale di Smith.

Questo produce la scomposizione del fattore invariante, e le voci diagonali della forma normale di Smith sono i fattori invarianti.

Un altro abbozzo di una dimostrazione: Indichiamo con tM il sottomodulo di torsione di M. Allora M/tM è un modulo privo di torsione finitamente generato, e un tale modulo su un PID commutativo è un modulo libero di rango finito, quindi è isomorfo a {stile di visualizzazione R^{n}} per un intero positivo n. Questo modulo gratuito può essere incorporato come sottomodulo F di M, in modo tale che l'incorporamento si divida (è un inverso destro di) la mappa di proiezione; è sufficiente elevare ciascuno dei generatori di F in M. Come conseguenza {displaystyle M=tMoplus F} . Per un elemento primo p in R possiamo quindi parlare di {stile di visualizzazione N_{p}={min tMmid esiste i,mp^{io}=0}} . Questo è un sottomodulo di tM, e risulta che ogni Np è una somma diretta di moduli ciclici, e che tM è una somma diretta di Np per un numero finito di primi distinti p. Mettere insieme i due passaggi precedenti, M viene scomposto in moduli ciclici dei tipi indicati. Corollaries This includes the classification of finite-dimensional vector spaces as a special case, dove {stile di visualizzazione R=K} . Poiché i campi non hanno ideali non banali, ogni spazio vettoriale finitamente generato è libero.

Prendendo {displaystyle R=matematicabb {Z} } fornisce il teorema fondamentale dei gruppi abeliani finitamente generati.

Sia T un operatore lineare su uno spazio vettoriale a dimensione finita V su K. Prendendo {stile di visualizzazione R=K[T]} , l'algebra dei polinomi con coefficienti in K valutati a T, fornisce informazioni sulla struttura di T. V può essere visto come un modulo finito finito {stile di visualizzazione K[T]} . L'ultimo fattore invariante è il polinomio minimo, e il prodotto di fattori invarianti è il polinomio caratteristico. Combinato con un modulo matrice standard per {stile di visualizzazione K[T]/p(T)} , questo produce varie forme canoniche: fattori invarianti + la matrice compagna fornisce la forma normale di Frobenius (alias, forma canonica razionale) decomposizione primaria + la matrice compagna produce la decomposizione primaria della forma canonica razionale primaria + I blocchi della Giordania danno alla Giordania la forma canonica (quest'ultimo vale solo su un campo algebricamente chiuso) Uniqueness While the invariants (rango, fattori invarianti, e divisori elementari) sono unici, l'isomorfismo tra M e la sua forma canonica non è unico, e non conserva nemmeno la scomposizione della somma diretta. Ciò ne consegue perché ci sono automorfismi non banali di questi moduli che non preservano le somme.

Tuttavia, uno ha un sottomodulo di torsione canonico T, e simili sottomoduli canonici corrispondenti a ciascuno (distinto) fattore invariante, che danno una sequenza canonica: {stile di visualizzazione 0

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