Théorème de structure pour les modules de type fini sur un domaine idéal principal

Théorème de structure pour les modules de type fini sur un domaine idéal principal En mathématiques, dans le domaine de l'algèbre abstraite, le théorème de structure pour les modules de type fini sur un domaine idéal principal est une généralisation du théorème fondamental des groupes abéliens de type fini et énonce grossièrement que les modules de type fini sur un domaine idéal principal (PID) peut être décomposé de manière unique de la même manière que les nombres entiers ont une factorisation première. Le résultat fournit un cadre simple pour comprendre divers résultats de forme canonique pour les matrices carrées sur des champs.

Contenu 1 Déclaration 1.1 Décomposition factorielle invariante 1.2 Décomposition primaire 2 Preuves 3 Corollaires 4 Unicité 5 Généralisations 5.1 Groupes 5.2 Décomposition primaire 5.3 Modules indécomposables 5.4 Modules de génération non finie 6 References Statement When a vector space over a field F has a finite generating set, alors on peut en extraire une base constituée d'un nombre fini n de vecteurs, et l'espace est donc isomorphe à Fn. L'énoncé correspondant avec le F généralisé à un domaine idéal principal R n'est plus vrai, car une base pour un module de génération finie sur R peut ne pas exister. Cependant un tel module est toujours isomorphe à un quotient d'un module Rn avec n fini (pour le voir il suffit de construire le morphisme qui envoie les éléments de la base canonique de Rn aux générateurs du module, et prends le quotient par son noyau.) En changeant le choix du groupe électrogène, on peut en fait décrire le module comme le quotient de certains Rn par un sous-module particulièrement simple, et c'est le théorème de structure.

Le théorème de structure pour les modules de type fini sur un domaine idéal principal apparaît généralement sous les deux formes suivantes.

Invariant factor decomposition For every finitely generated module M over a principal ideal domain R, il existe une séquence décroissante unique d'idéaux propres {style d'affichage (ré_{1})supseteq (ré_{2})supseteq cdots supseteq (ré_{n})} tel que M est isomorphe à la somme des modules cycliques: {style d'affichage Mcong bigoplus _{je}R/(ré_{je})=R/(ré_{1})plus R/(ré_{2})oplus cdots oplus R/(ré_{n}).} Les générateurs {displaystyle d_{je}} des idéaux sont uniques à multiplier par une unité près, et sont appelés facteurs invariants de M. Puisque les idéaux doivent être appropriés, ces facteurs ne doivent pas eux-mêmes être inversibles (cela évite les facteurs triviaux dans la somme), et l'inclusion des idéaux signifie que l'on a la divisibilité {displaystyle d_{1},|,ré_{2},|,cdots ,|,ré_{n}} . La partie libre est visible dans la partie de la décomposition correspondant aux facteurs {displaystyle d_{je}=0} . De tels facteurs, si seulement, se produire à la fin de la séquence.

Alors que la somme directe est uniquement déterminée par M, l'isomorphisme donnant la décomposition elle-même n'est pas unique en général. Par exemple, si R est en fait un champ, alors tous les idéaux qui se produisent doivent être nuls, et on obtient la décomposition d'un espace vectoriel de dimension finie en une somme directe de sous-espaces unidimensionnels; le nombre de ces facteurs est fixe, à savoir la dimension de l'espace, mais il y a beaucoup de liberté pour choisir les sous-espaces eux-mêmes (if dim M > 1).

Le non nul {displaystyle d_{je}} éléments, ainsi que le nombre de {displaystyle d_{je}} qui sont nuls, forment un ensemble complet d'invariants pour le module. Explicitement, cela signifie que deux modules partageant le même ensemble d'invariants sont nécessairement isomorphes.

Certains préfèrent écrire la partie libre de M séparément: {style d'affichage R^{F}oplus bigoplus _{je}R/(ré_{je})=R^{F}plus R/(ré_{1})plus R/(ré_{2})oplus cdots oplus R/(ré_{n-f})} où le visible {displaystyle d_{je}} sont non nuls, et f est le nombre de {displaystyle d_{je}} 's dans la séquence d'origine qui sont 0.

Décomposition primaire Tout module de type fini M sur un domaine idéal principal R est isomorphe à l'une des formes {style d'affichage bigoplus _{je}R/(q_{je})} où {style d'affichage (q_{je})neq R} et le {style d'affichage (q_{je})} sont des idéaux primaires. La {style d'affichage q_{je}} sont uniques (jusqu'à la multiplication par des unités).

Les éléments {style d'affichage q_{je}} sont appelés les diviseurs élémentaires de M. Dans un PID, les idéaux primaires non nuls sont des puissances de nombres premiers, et donc {style d'affichage (q_{je})=(p_{je}^{r_{je}})=(p_{je})^{r_{je}}} . Lorsque {style d'affichage q_{je}=0} , le module indécomposable résultant est {style d'affichage R} lui-même, et c'est à l'intérieur de la partie de M qui est un module libre.

Les sommations {style d'affichage R/(q_{je})} sont indécomposables, donc la décomposition primaire est une décomposition en modules indécomposables, et donc chaque module de génération finie sur un PID est un module complètement décomposable. Puisque les PID sont des anneaux de Noether, cela peut être vu comme une manifestation du théorème de Lasker-Noether.

Comme avant, il est possible d'écrire la partie libre (où {style d'affichage q_{je}=0} ) séparément et exprimer M comme: {style d'affichage R^{F}plus (bigoplus _{je}R/(q_{je}))} où le visible {style d'affichage q_{je}} sont non nuls.

Proofs One proof proceeds as follows: Chaque module de génération finie sur un PID est également présenté de manière finie car un PID est noethérien, une condition encore plus forte que la cohérence. Faire une présentation, qui est une carte {style d'affichage R^{r}à R^{g}} (relations avec les générateurs), et mettez-le sous la forme normale de Smith.

Cela donne la décomposition en facteurs invariants, et les entrées diagonales de forme normale de Smith sont les facteurs invariants.

Une autre ébauche de preuve: Notons tM le sous-module de torsion de M. Alors M/tM est un module sans torsion de type fini, et un tel module sur un PID commutatif est un module libre de rang fini, il est donc isomorphe à {style d'affichage R^{n}} pour un entier positif n. Ce module libre peut être intégré en tant que sous-module F de M, de sorte que l'encastrement se divise (est un inverse à droite de) la carte des projections; il suffit de relever chacun des générateurs de F en M. En conséquence {style d'affichage M=tMoplus F} . Pour un élément premier p dans R on peut alors parler de {displaystyle N_{p}={min tMmid existe i,mp ^{je}=0}} . Ceci est un sous-module de tM, et il s'avère que chaque Np est une somme directe de modules cycliques, et que tM est une somme directe de Np pour un nombre fini de nombres premiers distincts p. Assembler les deux étapes précédentes, M est décomposé en modules cycliques des types indiqués. Corollaries This includes the classification of finite-dimensional vector spaces as a special case, où {style d'affichage R=K} . Puisque les champs n'ont pas d'idéaux non triviaux, tout espace vectoriel de type fini est libre.

Prise {style d'affichage R=mathbb {Z} } donne le théorème fondamental des groupes abéliens de type fini.

Soit T un opérateur linéaire sur un espace vectoriel de dimension finie V sur K. Prise {style d'affichage R=K[J]} , l'algèbre des polynômes à coefficients dans K évalués en T, donne des informations de structure sur T. V peut être vu comme un module de type fini sur {style d'affichage K[J]} . Le dernier facteur invariant est le polynôme minimal, et le produit de facteurs invariants est le polynôme caractéristique. Combiné avec un formulaire matriciel standard pour {style d'affichage K[J]/p(J)} , cela donne diverses formes canoniques: facteurs invariants + la matrice d'accompagnement donne la forme normale de Frobenius (alias, forme canonique rationnelle) décomposition primaire + la matrice d'accompagnement donne la forme canonique rationnelle primaire la décomposition primaire + Les blocs de la Jordanie donnent la forme canonique de la Jordanie (ce dernier n'est valable que sur un corps algébriquement clos) Uniqueness While the invariants (rang, facteurs invariants, et diviseurs élémentaires) sont uniques, l'isomorphisme entre M et sa forme canonique n'est pas unique, et ne conserve même pas la décomposition en somme directe. Cela s'ensuit parce qu'il existe des automorphismes non triviaux de ces modules qui ne préservent pas les sommations.

Cependant, on a un sous-module de torsion canonique T, et des sous-modules canoniques similaires correspondant à chacun (distinct) facteur invariant, qui donnent une suite canonique: {style d'affichage 0

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