Struktursatz für endlich erzeugte Moduln über einem Hauptidealbereich

Struktursatz für endlich erzeugte Module über einem Hauptidealgebiet In der Mathematik, im Bereich der abstrakten Algebra, Der Struktursatz für endlich erzeugte Module über einem Hauptidealbereich ist eine Verallgemeinerung des Fundamentalsatzes von endlich erzeugten abelschen Gruppen und besagt grob, dass endlich erzeugte Module über einem Hauptidealbereich liegen (PID) können auf ähnliche Weise eindeutig zerlegt werden, wie ganze Zahlen eine Primfaktorzerlegung haben. Das Ergebnis bietet einen einfachen Rahmen zum Verständnis verschiedener kanonischer Formergebnisse für quadratische Matrizen über Feldern.

Inhalt 1 Aussage 1.1 Invariante Faktorzerlegung 1.2 Primäre Zersetzung 2 Beweise 3 Folgerungen 4 Einzigartigkeit 5 Verallgemeinerungen 5.1 Gruppen 5.2 Primäre Zersetzung 5.3 Unzerlegbare Module 5.4 Nicht-endlich erzeugte Module 6 References Statement When a vector space over a field F has a finite generating set, dann kann man daraus eine Basis extrahieren, die aus einer endlichen Anzahl n von Vektoren besteht, und der Raum ist daher isomorph zu Fn. Die entsprechende Aussage mit dem auf einen Hauptidealbereich R verallgemeinerten F gilt nicht mehr, da eine Basis für einen endlich erzeugten Modul über R möglicherweise nicht existiert. Ein solcher Modul ist jedoch immer noch isomorph zu einem Quotienten eines Moduls Rn mit n endlich (Um dies zu sehen, genügt es, den Morphismus zu konstruieren, der die Elemente der kanonischen Basis von Rn an die Generatoren des Moduls sendet, und nehmen Sie den Quotienten durch seinen Kern.) Durch Änderung der Wahl des Stromerzeugers, man kann den Modul tatsächlich als Quotient eines Rn durch einen besonders einfachen Untermodul beschreiben, und das ist der Struktursatz.

Der Struktursatz für endlich erzeugte Module über einem Hauptidealbereich erscheint normalerweise in den folgenden zwei Formen.

Invariant factor decomposition For every finitely generated module M over a principal ideal domain R, Es gibt eine einzigartige abnehmende Folge von echten Idealen {Anzeigestil (d_{1})supseteq (d_{2})supseteq cdots supseteq (d_{n})} so dass M isomorph zur Summe zyklischer Module ist: {displaystyle Mcong bigoplus _{ich}R/(d_{ich})=R/(d_{1})oplus R/(d_{2})oplus cdots oplus R/(d_{n}).} Die Generatoren {Anzeigestil d_{ich}} der Ideale sind bis auf die Multiplikation mit einer Einheit eindeutig, und heißen invariante Faktoren von M. Da sollten die Ideale stimmen, diese Faktoren dürfen selbst nicht invertierbar sein (dies vermeidet triviale Faktoren in der Summe), und die Einbeziehung der Ideale bedeutet Teilbarkeit {Anzeigestil d_{1},|,d_{2},|,cdots ,|,d_{n}} . Der freie Teil ist in dem den Faktoren entsprechenden Teil der Zerlegung sichtbar {Anzeigestil d_{ich}=0} . Solche Faktoren, wenn überhaupt, treten am Ende der Sequenz auf.

Während die direkte Summe eindeutig durch M bestimmt ist, Der Isomorphismus, der die Zerlegung selbst angibt, ist im Allgemeinen nicht eindeutig. Zum Beispiel, wenn R tatsächlich ein Feld ist, dann müssen alle vorkommenden Ideale Null sein, und man erhält die Zerlegung eines endlichdimensionalen Vektorraums in eine direkte Summe eindimensionaler Unterräume; die Anzahl solcher Faktoren ist festgelegt, nämlich die Dimension des Raumes, aber es gibt viel Freiheit bei der Wahl der Unterräume selbst (if dim M > 1).

Die Nicht-Null {Anzeigestil d_{ich}} Elemente, zusammen mit der Zahl der {Anzeigestil d_{ich}} die Null sind, einen vollständigen Satz von Invarianten für den Modul bilden. Ausdrücklich, Dies bedeutet, dass alle zwei Module, die denselben Satz von Invarianten teilen, notwendigerweise isomorph sind.

Einige schreiben den freien Teil von M lieber separat: {Anzeigestil R^{f}oplus bigoplus _{ich}R/(d_{ich})=R^{f}oplus R/(d_{1})oplus R/(d_{2})oplus cdots oplus R/(d_{n-f})} wo das sichtbare {Anzeigestil d_{ich}} sind ungleich Null, und f ist die Zahl von {Anzeigestil d_{ich}} 's in der ursprünglichen Reihenfolge, die sind 0.

Primärzerlegung Jeder endlich erzeugte Modul M über einem Hauptidealgebiet R ist isomorph zu einer der Formen {Anzeigestil bigoplus _{ich}R/(q_{ich})} wo {Anzeigestil (q_{ich})Neq R} und die {Anzeigestil (q_{ich})} sind primäre Ideale. Das {Anzeigestil q_{ich}} sind einzigartig (bis zur Multiplikation mit Einheiten).

Die Elemente {Anzeigestil q_{ich}} heißen die elementaren Teiler von M. Bei einem PID, Primärideale ungleich Null sind Potenzen von Primzahlen, und so {Anzeigestil (q_{ich})=(p_{ich}^{r_{ich}})=(p_{ich})^{r_{ich}}} . Wann {Anzeigestil q_{ich}=0} , das resultierende unzerlegbare Modul ist {Anzeigestil R} selbst, und dies ist innerhalb des Teils von M, der ein freies Modul ist.

Die Summanden {Anzeigestil R/(q_{ich})} sind unzerlegbar, Die primäre Zerlegung ist also eine Zerlegung in nicht zerlegbare Module, und somit ist jedes endlich generierte Modul über eine PID ein vollständig zerlegbares Modul. Da PIDs Noethersche Ringe sind, dies kann als Manifestation des Lasker-Noether-Theorems angesehen werden.

Wie vorher, Es ist möglich, den freien Teil zu schreiben (wo {Anzeigestil q_{ich}=0} ) getrennt und M als ausdrücken: {Anzeigestil R^{f}opus (bigoplus _{ich}R/(q_{ich}))} wo das sichtbare {Anzeigestil q_{ich}} sind ungleich Null.

Proofs One proof proceeds as follows: Jedes endlich erzeugte Modul über einer PID ist auch endlich präsentiert, weil eine PID noethersch ist, eine noch stärkere Bedingung als Kohärenz. Machen Sie eine Präsentation, das ist eine Karte {Anzeigestil R^{r}zu R^{g}} (Beziehungen zu Generatoren), und bringe es in die Smith-Normalform.

Dies ergibt die invariante Faktorzerlegung, und die diagonalen Einträge der Smith-Normalform sind die invarianten Faktoren.

Ein weiterer Entwurf eines Beweises: Bezeichne mit tM den Torsionssubmodul von M. Dann ist M/tM ein endlich erzeugter torsionsfreier Modul, und ein solcher Modul über einer kommutativen PID ist ein freier Modul endlichen Ranges, ist also isomorph zu {Anzeigestil R^{n}} für eine positive ganze Zahl n. Dieses freie Modul kann als Submodul F von M eingebettet werden, so dass sich die Einbettung aufspaltet (ist eine rechte Umkehrung von) die Projektionskarte; es genügt, jeden der Erzeuger von F in M ​​zu heben. Als Konsequenz {Anzeigestil M=tMoplus F} . Bei einem Primelement p in R können wir dann von sprechen {Anzeigestil N_{p}={min tMmid existiert i,mp^{ich}=0}} . Dies ist ein Untermodul von tM, und es stellt sich heraus, dass jedes Np eine direkte Summe zyklischer Module ist, und dass tM eine direkte Summe von Np für eine endliche Anzahl verschiedener Primzahlen p ist. Fügen Sie die beiden vorherigen Schritte zusammen, M wird in zyklische Module der angegebenen Typen zerlegt. Corollaries This includes the classification of finite-dimensional vector spaces as a special case, wo {Anzeigestil R=K} . Da Felder keine nicht-trivialen Ideale haben, jeder endlich erzeugte Vektorraum ist frei.

Nehmen {Anzeigestil R=mathbb {Z} } ergibt den Fundamentalsatz endlich erzeugter abelscher Gruppen.

Sei T ein linearer Operator auf einem endlichdimensionalen Vektorraum V über K. Nehmen {Anzeigestil R=K[T]} , die Algebra der Polynome mit Koeffizienten in K, ausgewertet bei T, liefert Strukturinformationen über T. V kann als endlich erzeugter Modul hin betrachtet werden {Anzeigestil K[T]} . Der letzte invariante Faktor ist das Minimalpolynom, und das Produkt invarianter Faktoren ist das charakteristische Polynom. Kombiniert mit einer Standard-Matrixform für {Anzeigestil K[T]/p(T)} , dies ergibt verschiedene kanonische Formen: unveränderliche Faktoren + Begleitmatrix ergibt die Frobenius-Normalform (auch bekannt, rationale kanonische Form) primäre Zersetzung + Begleitmatrix ergibt primäre rationale primäre Zerlegung in kanonischer Form + Jordan-Blöcke ergeben die kanonische Form Jordaniens (letzteres gilt nur über einem algebraisch abgeschlossenen Körper) Uniqueness While the invariants (Rang, unveränderliche Faktoren, und elementare Teiler) sind einzigartig, der Isomorphismus zwischen M und seiner kanonischen Form ist nicht eindeutig, und bewahrt nicht einmal die direkte Summenzerlegung. Dies folgt, weil es nicht-triviale Automorphismen dieser Module gibt, die die Summanden nicht bewahren.

Jedoch, man hat einen kanonischen Torsionssubmodul T, und ähnliche kanonische Untermodule, die jedem entsprechen (unterscheidbar) unveränderlicher Faktor, die eine kanonische Sequenz ergeben: {Anzeigestil 0

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