Teorema de Stolz–Cesàro

Teorema de Stolz–Cesàro Em matemática, o teorema de Stolz–Cesàro é um critério para provar a convergência de uma sequência. O teorema recebeu o nome dos matemáticos Otto Stolz e Ernesto Cesàro, que afirmou e provou pela primeira vez.

O teorema de Stolz–Cesàro pode ser visto como uma generalização da média de Cesàro, mas também como regra de l'Hôpital para sequências.

Conteúdo 1 Enunciado do teorema para o ∙/∞ caso 2 Enunciado do teorema para o 0/0 caso 3 Provas 3.1 Prova do teorema para o ∙/∞ caso 3.2 Prova do teorema para o 0/0 caso 4 Aplicações e exemplos 4.1 Média aritmética 4.2 Média geométrica 4.3 Exemplos 4.3.1 Exemplo 1 4.3.2 Exemplo 2 5 História 6 A forma geral 6.1 Declaração 6.2 Prova 6.2.1 Prova da declaração equivalente 6.2.2 Prova da declaração original 7 Referências 8 links externos 9 Notas Demonstração do teorema para o ∙/∞ case Let {estilo de exibição (uma_{n})_{ngq 1}} e {estilo de exibição (b_{n})_{ngq 1}} ser duas sequências de números reais. Assuma isso {estilo de exibição (b_{n})_{ngq 1}} é uma sequência estritamente monótona e divergente (ou seja. estritamente aumentando e se aproximando {estilo de exibição +infty } , ou estritamente diminuindo e se aproximando {estilo de exibição -infty } ) e o seguinte limite existe: {displaystyle lim _{até o infinito }{fratura {uma_{n+1}-uma_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}=l. } Então, o limite {displaystyle lim _{até o infinito }{fratura {uma_{n}}{b_{n}}}=l. } Enunciado do teorema para o 0/0 case Let {estilo de exibição (uma_{n})_{ngq 1}} e {estilo de exibição (b_{n})_{ngq 1}} ser duas sequências de números reais. Suponha agora que {estilo de exibição (uma_{n})para 0} e {estilo de exibição (b_{n})para 0} enquanto {estilo de exibição (b_{n})_{ngq 1}} é estritamente decrescente. Se {displaystyle lim _{até o infinito }{fratura {uma_{n+1}-uma_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}=l, } então {displaystyle lim _{até o infinito }{fratura {uma_{n}}{b_{n}}}=l. } [1] Provas Prova do teorema para o ∙/∞ case Case 1: suponha {estilo de exibição (b_{n})} estritamente crescente e divergente para {estilo de exibição +infty } , e {estilo de exibição -infty 0} existe {displaystyle nu >0} de tal modo que {displaystyle forall n>nu } {estilo de exibição à esquerda|,{fratura {uma_{n+1}-uma_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}-eu,certo|<{frac {epsilon }{2}},} which is to say {displaystyle l-epsilon /2<{frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}não .} Desde {estilo de exibição (b_{n})} é estritamente crescente, {estilo de exibição b_{n+1}-b_{n}>0} , e o seguinte vale {estilo de exibição (l-épsilon /2)(b_{n+1}-b_{n})quad forall n>nu } .

A seguir notamos que {estilo de exibição a_{n}=[(uma_{n}-uma_{n-1})+pontos +(uma_{não +2}-uma_{não +1})]+uma_{não +1}} portanto, aplicando a desigualdade acima a cada um dos termos entre colchetes, nós obtemos {estilo de exibição {começar{alinhado}&(l-épsilon /2)(b_{n}-b_{não +1})+uma_{não +1}=(l-épsilon /2)[(b_{n}-b_{n-1})+pontos +(b_{não +2}-b_{não +1})]+uma_{não +1}>0} de tal modo que {estilo de exibição b_{n}>0} para todos {displaystyle n>n_{0}} , e podemos dividir as duas desigualdades por {estilo de exibição b_{n}} para todos {displaystyle n>max{não ,n_{0}}} {estilo de exibição (l-épsilon /2)+{fratura {uma_{não +1}-b_{não +1}(l-épsilon /2)}{b_{n}}}<{frac {a_{n}}{b_{n}}}<(l+epsilon /2)+{fratura {uma_{não +1}-b_{não +1}(l+épsilon /2)}{b_{n}}}.} As duas sequências (que são definidos apenas para {displaystyle n>n_{0}} como poderia haver um {estilo de exibição Nleq n_{0}} de tal modo que {estilo de exibição b_{N}=0} ) {estilo de exibição c_{n}^{PM }:={fratura {uma_{não +1}-b_{não +1}(lpm épsilon /2)}{b_{n}}}} são infinitesimais, pois {estilo de exibição b_{n}para +infty } e o numerador é um número constante, daí para todos {displaystyle epsilon /2>0} existe {estilo de exibição n_{PM }>n_{0}>0} , de tal modo que {estilo de exibição {começar{alinhado}&|c_{n}^{+}|n_{+},\&|c_{n}^{-}|n_{-},fim{alinhado}}} Portanto {displaystyle l-epsilon max lbrace não ,n_{PM }rbração =:N>0,} que conclui a prova. O caso com {estilo de exibição (b_{n})} estritamente decrescente e divergente para {estilo de exibição -infty } , e {estilo de exibição l0} existe {displaystyle nu >0} tal que para todos {displaystyle n>nu } {estilo de exibição {fratura {uma_{n+1}-uma_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}>2M.} Novamente, aplicando a desigualdade acima a cada um dos termos dentro dos colchetes, obtemos {estilo de exibição a_{n}>2M(b_{n}-b_{não +1})+uma_{não +1},quad forall n>nu ,} e {estilo de exibição {fratura {uma_{n}}{b_{n}}}>2M+{fratura {uma_{não +1}-2Mb_{não +1}}{b_{n}}},quad forall n>max{não ,n_{0}}.} A sequência {estilo de exibição (c_{n})_{n>n_{0}}} definido por {estilo de exibição c_{n}:={fratura {uma_{não +1}-2Mb_{não +1}}{b_{n}}}} é infinitesimal, portanto {displaystyle forall M>0,exists {bar {n}}>n_{0}>0{texto{ de tal modo que }}-Ml n>{bar {n}},} combinando esta desigualdade com a anterior, concluímos {estilo de exibição {fratura {uma_{n}}{b_{n}}}>2M+c_{n}>M,quad forall n>max{não ,{bar {n}}}=:N.} As provas dos outros casos com {estilo de exibição (b_{n})} estritamente crescente ou decrescente e aproximando-se {estilo de exibição +infty } ou {estilo de exibição -infty } respectivamente e {estilo de exibição l=pm infty } todos procedem da mesma maneira.

Prova do teorema para o 0/0 case Case 1: primeiro consideramos o caso com {estilo de exibição l0} , nós podemos escrever {estilo de exibição a_{n}=(uma_{n}-uma_{n+1})+pontos +(uma_{n+nu -1}-uma_{n+nu })+uma_{n+nu },} e para qualquer {displaystyle epsilon /2>0,} {estilo de exibição existe n_{0}} tal que para todos {displaystyle n>n_{0}} temos {estilo de exibição {começar{alinhado}&(l-épsilon /2)(b_{n}-b_{n+nu })+uma_{n+nu }=(l-épsilon /2)[(b_{n}-b_{n+1})+pontos +(b_{n+nu -1}-b_{n+nu })]+uma_{n+nu }displaystyle epsilon /2>0} existem {estilo de exibição não _{PM }>0} de tal modo que {estilo de exibição {começar{alinhado}&|c_{não }^{+}|não _{+},\&|c_{não }^{-}|não _{-},fim{alinhado}}} portanto, escolhendo {estilo de exibição não } adequadamente (o que quer dizer, tomando o limite em relação a {estilo de exibição não } ) nós obtemos {displaystyle l-epsilon n_{0}} que conclui a prova.

Caso 2: nós presumimos {estilo de exibição l=+infty } e {estilo de exibição (b_{n})} estritamente decrescente. Para todos {displaystyle 2M>0} existe {estilo de exibição n_{0}>0} tal que para todos {displaystyle n>n_{0},} {estilo de exibição {fratura {uma_{n+1}-uma_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}>2Mimplies a_{n}-uma_{n+1}>2M(b_{n}-b_{n+1}).} Portanto, para cada {displaystyle nu >0,} {estilo de exibição {fratura {uma_{n}}{b_{n}}}>2M+{fratura {uma_{n+nu }-2Mb_{n+nu }}{b_{n}}},quad forall n>n_{0}.} A sequência {estilo de exibição c_{não }:={fratura {uma_{n+nu }-2Mb_{n+nu }}{b_{n}}}} converge para {estilo de exibição 0} (guardando {estilo de exibição m} fixo). Por isso {displaystyle forall M>0,~exists {bar {não }}>0} de tal modo que {estilo de exibição -M{bar {não }},} e, escolhendo {estilo de exibição não } convenientemente, concluímos a prova {estilo de exibição {fratura {uma_{n}}{b_{n}}}>2M+c_{não }>M,quad forall n>n_{0}.} Applications and examples The theorem concerning the {displaystyle cdot /infty } tem algumas consequências notáveis ​​que são úteis no cálculo de limites.

Arithmetic mean Let {estilo de exibição (x_{n})} ser uma sequência de números reais que converge para {estilo de exibição l} , definir {estilo de exibição a_{n}:=soma _{m=1}^{n}x_{m}=x_{1}+pontos +x_{n},quad b_{n}:=n} então {estilo de exibição (b_{n})} é estritamente crescente e diverge para {estilo de exibição +infty } . Nós computamos {displaystyle lim _{até o infinito }{fratura {uma_{n+1}-uma_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}=lim_{até o infinito }x_{n+1}=lim_{até o infinito }x_{n}=l} Portanto {displaystyle lim _{até o infinito }{fratura {x_{1}+pontos +x_{n}}{n}}=lim_{até o infinito }x_{n}.} Dada qualquer sequência {estilo de exibição (x_{n})_{ngq 1}} de números reais, Suponha que {displaystyle lim _{até o infinito }x_{n}} existe (finito ou infinito), então {displaystyle lim _{até o infinito }{fratura {x_{1}+pontos +x_{n}}{n}}=lim_{até o infinito }x_{n}.} Geometric mean Let {estilo de exibição (x_{n})} ser uma sequência de números reais positivos convergindo para {estilo de exibição l} e definir {estilo de exibição a_{n}:=log(x_{1}cdots x_{n}),quad b_{n}:=n,} novamente calculamos {displaystyle lim _{até o infinito }{fratura {uma_{n+1}-uma_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}=lim_{até o infinito }registro {Grande (}{fratura {x_{1}cdots x_{n+1}}{x_{1}cdots x_{n}}}{Grande )}=lim_{até o infinito }registro(x_{n+1})=lim_{até o infinito }registro(x_{n})=log(eu),} onde usamos o fato de que o logaritmo é contínuo. Desta forma {displaystyle lim _{até o infinito }{fratura {registro(x_{1}cdots x_{n})}{n}}=lim_{até o infinito }registro {Grande (}(x_{1}cdots x_{n})^{fratura {1}{n}}{Grande )}=log(eu),} como o logaritmo é contínuo e injetivo, podemos concluir que {displaystyle lim _{até o infinito }{quadrado[{n}]{x_{1}cdots x_{n}}}=lim_{até o infinito }x_{n}} .

Dada qualquer sequência {estilo de exibição (x_{n})_{ngq 1}} do (estritamente) números reais positivos, Suponha que {displaystyle lim _{até o infinito }x_{n}} existe (finito ou infinito), então {displaystyle lim _{até o infinito }{quadrado[{n}]{x_{1}cdots x_{n}}}=lim_{até o infinito }x_{n}.} Suponha que nos seja dada uma sequência {estilo de exibição (s_{n})_{ngq 1}} e somos solicitados a calcular {displaystyle lim _{até o infinito }{quadrado[{n}]{s_{n}}},} definindo {estilo de exibição y_{0}=1} e {estilo de exibição x_{n}=y_{n}/s_{n-1}} nós obtemos {displaystyle lim _{até o infinito }{quadrado[{n}]{x_{1}pontos x_{n}}}=lim_{até o infinito }{quadrado[{n}]{fratura {s_{1}pontos s_{n}}{s_{0}cdot s_{1}pontos s_{n-1}}}}=lim_{até o infinito }{quadrado[{n}]{s_{n}}},} se aplicarmos a propriedade acima {displaystyle lim _{até o infinito }{quadrado[{n}]{s_{n}}}=lim_{até o infinito }x_{n}=lim_{até o infinito }{fratura {s_{n}}{s_{n-1}}}.} This last form is usually the most useful to compute limits Given any sequence {estilo de exibição (s_{n})_{ngq 1}} do (estritamente) números reais positivos, Suponha que {displaystyle lim _{até o infinito }{fratura {s_{n+1}}{s_{n}}}} existe (finito ou infinito), então {displaystyle lim _{até o infinito }{quadrado[{n}]{s_{n}}}=lim_{até o infinito }{fratura {s_{n+1}}{s_{n}}}.} Exemplos Exemplo 1 {displaystyle lim _{até o infinito }{quadrado[{n}]{n}}=lim_{até o infinito }{fratura {n+1}{n}}=1.} Exemplo 2 {estilo de exibição {começar{alinhado}lim_{até o infinito }{fratura {quadrado[{n}]{n!}}{n}}&=lim _{até o infinito }{fratura {(n+1)!(n^{n})}{n!(n+1)^{n+1}}}\&=lim _{até o infinito }{fratura {n^{n}}{(n+1)^{n}}}=lim_{até o infinito }{fratura {1}{(1+{fratura {1}{n}})^{n}}}={fratura {1}{e}}fim{alinhado}}} onde usamos a representação de {estilo de exibição e} como o limite de uma sequência.

History The ∞/∞ case is stated and proved on pages 173—175 of Stolz's 1885 livro e também na página 54 de César 1888 artigo.

aparece como problema 70 em Pólya e Szegő (1925).

The general form Statement The general form of the Stolz–Cesàro theorem is the following:[2] Se {estilo de exibição (uma_{n})_{ngq 1}} e {estilo de exibição (b_{n})_{ngq 1}} são duas sequências tais que {estilo de exibição (b_{n})_{ngq 1}} é monótono e ilimitado, então: {displaystyle liminf _{até o infinito }{fratura {uma_{n+1}-uma_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}leq liminf _{até o infinito }{fratura {uma_{n}}{b_{n}}}leq limsup _{até o infinito }{fratura {uma_{n}}{b_{n}}}leq limsup _{até o infinito }{fratura {uma_{n+1}-uma_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}.} Proof Instead of proving the previous statement, provaremos um pouco diferente; primeiro introduzimos uma notação: deixar {estilo de exibição (uma_{n})_{ngq 1}} ser qualquer sequência, sua soma parcial será denotada por {estilo de exibição A_{n}:=soma _{mgeq 1}^{n}uma_{m}} . A afirmação equivalente que provaremos é: Deixar {estilo de exibição (uma_{n})_{ngq 1},(b_{n})_{geq 1}} ser quaisquer duas sequências de números reais tais que {estilo de exibição b_{n}>0,quad forall nin {mathbb {Z} }_{>0}} , {displaystyle lim _{até o infinito }B_{n}=+infty } , então {displaystyle liminf _{até o infinito }{fratura {uma_{n}}{b_{n}}}leq liminf _{até o infinito }{fratura {UMA_{n}}{B_{n}}}leq limsup _{até o infinito }{fratura {UMA_{n}}{B_{n}}}leq limsup _{até o infinito }{fratura {uma_{n}}{b_{n}}}.} Proof of the equivalent statement First we notice that: {displaystyle liminf _{até o infinito }{fratura {UMA_{n}}{B_{n}}}leq limsup _{até o infinito }{fratura {UMA_{n}}{B_{n}}}} vale por definição de limite superior e limite inferior; {displaystyle liminf _{até o infinito }{fratura {uma_{n}}{b_{n}}}leq liminf _{até o infinito }{fratura {UMA_{n}}{B_{n}}}} vale se e somente se {displaystyle limsup _{até o infinito }{fratura {UMA_{n}}{B_{n}}}leq limsup _{até o infinito }{fratura {uma_{n}}{b_{n}}}} Porque {displaystyle liminf _{até o infinito }x_{n}=-limsup_{até o infinito }(-x_{n})} para qualquer sequência {estilo de exibição (x_{n})_{ngq 1}} .

Portanto, precisamos apenas mostrar que {displaystyle limsup _{até o infinito }{fratura {UMA_{n}}{B_{n}}}leq limsup _{até o infinito }{fratura {uma_{n}}{b_{n}}}} . Se {estilo de exibição L:=limsup_{até o infinito }{fratura {uma_{n}}{b_{n}}}=+infty } não há nada para provar, daí podemos supor {estilo de exibição L<+infty } (it can be either finite or {displaystyle -infty } ). By definition of {displaystyle limsup } , for all {displaystyle l>eu} existe um número natural {displaystyle nu >0} de tal modo que {estilo de exibição {fratura {uma_{n}}{b_{n}}}não .} Podemos usar essa desigualdade para escrever {estilo de exibição A_{n}=A_{não }+uma_{não +1}+pontos +a_{n}não ,} Porque {estilo de exibição b_{n}>0} , nos tambem temos {estilo de exibição B_{n}>0} e podemos dividir por {estilo de exibição B_{n}} para obter {estilo de exibição {fratura {UMA_{n}}{B_{n}}}<{frac {A_{nu }-lB_{nu }}{B_{n}}}+l,quad forall n>não .} Desde {estilo de exibição B_{n}para +infty } Como {estilo de exibição nto +infty } , a sequência {estilo de exibição {fratura {UMA_{não }-Libra_{não }}{B_{n}}}para 0{texto{ Como }}nto +infty {texto{ (guardando }}não {texto{ fixo)}},} e obtemos {displaystyle limsup _{até o infinito }{fratura {UMA_{n}}{B_{n}}}leq l,quad forall l>L,} Por definição de limite superior mínimo, isso significa precisamente que {displaystyle limsup _{até o infinito }{fratura {UMA_{n}}{B_{n}}}leq L=limsup _{até o infinito }{fratura {uma_{n}}{b_{n}}},} e nós terminamos.

Proof of the original statement Now, leva {estilo de exibição (uma_{n}),(b_{n})} como no enunciado da forma geral do teorema de Stolz-Cesàro e definir {alfa de estilo de exibição _{1}=a_{1},alfa _{k}=a_{k}-uma_{k-1},,forall k>1quad beta _{1}=b_{1},beta _{k}=b_{k}-b_{k-1},forall k>1} desde {estilo de exibição (b_{n})} é estritamente monótono (podemos assumir estritamente crescente, por exemplo), {estilo de exibição beta _{n}>0} para todos {estilo de exibição m} e desde {estilo de exibição b_{n}para +infty } também {matemática de estilo de exibição {B} _{n}=b_{1}+(b_{2}-b_{1})+pontos +(b_{n}-b_{n-1})=b_{n}para +infty } , assim podemos aplicar o teorema que acabamos de provar {estilo de exibição (alfa _{n}),(beta _{n})} (e suas somas parciais {estilo de exibição (matemática {UMA} _{n}),(matemática {B} _{n})} ) {displaystyle limsup _{até o infinito }{fratura {uma_{n}}{b_{n}}}=limsup_{até o infinito }{fratura {matemática {UMA} _{n}}{matemática {B} _{n}}}leq limsup _{até o infinito }{fratura {alfa _{n}}{beta _{n}}}=limsup_{até o infinito }{fratura {uma_{n}-uma_{n-1}}{b_{n}-b_{n-1}}},} que é exatamente o que queríamos provar.

Referências Muresan, Mariano (2008), Uma Abordagem Concreta à Análise Clássica, Berlim: Springer, pp. 85-88, ISBN 978-0-387-78932-3. Stolz, Otto (1885), Aulas de aritmética geral: de acordo com visualizações recentes, Leipzig: Teubners, pp. 173-175. Cesaro, Ernesto (1888), "Na convergência de séries", Novos Anais de Matemática, Series 3, 7: 49-59. Enrolar, Jorge; Uma unha, Gábor (1925), Problemas e teoremas da análise, volume. EU, Berlim: Springer. UMA. D. R. Choudary, Constantin Niculescu: Análise Real em Intervalos. Springer, 2014, ISBN 9788132221487, pp. 59-62 J. Marshall Ash, Allan Berele, Stefan Catoiu: Extensões plausíveis e genuínas da regra de L'Hospital. Revista Matemática, Volume. 85, Não. 1 (Fevereiro 2012), pp. 52-60 (JSTOR) Links externos Regra de l'Hôpital e teorema de Stolz-Cesàro em imoth.com Prova do teorema de Stolz–Cesàro em PlanetMath. Notas ^ Choudary, UMA. D. R.; Niculescu, Constantino (2014). Análise Real em Intervalos. Springer Índia. pp. 59-60. ISBN 978-81-322-2147-0. ^ l'Hôpital's rule and Stolz-Cesàro theorem at imomath.com This article incorporates material from Stolz-Cesaro theorem on PlanetMath, que está licenciado sob a Licença Creative Commons Atribuição/Compartilhamento.

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