Teorema di Stolz-Cesàro

Teorema di Stolz-Cesàro In matematica, il teorema di Stolz-Cesàro è un criterio per dimostrare la convergenza di una successione. Il teorema prende il nome dai matematici Otto Stolz ed Ernesto Cesàro, che l'ha affermato e dimostrato per la prima volta.

Il teorema di Stolz-Cesàro può essere visto come una generalizzazione della media di Cesàro, ma anche come regola dell'Hôpital per le sequenze.

Contenuti 1 Enunciato del teorema per il ∙/∞ caso 2 Enunciato del teorema per il 0/0 Astuccio 3 Prove 3.1 Dimostrazione del teorema per il ∙/∞ caso 3.2 Dimostrazione del teorema per il 0/0 Astuccio 4 Applicazioni ed esempi 4.1 Significato aritmetico 4.2 Media geometrica 4.3 Esempi 4.3.1 Esempio 1 4.3.2 Esempio 2 5 Storia 6 La forma generale 6.1 Dichiarazione 6.2 Prova 6.2.1 Prova della dichiarazione equivalente 6.2.2 Prova della dichiarazione originale 7 Riferimenti 8 link esterno 9 Note Enunciato del teorema per il ∙/∞ caso Let {stile di visualizzazione (un_{n})_{ngq 1}} e {stile di visualizzazione (b_{n})_{ngq 1}} essere due successioni di numeri reali. Supponi che {stile di visualizzazione (b_{n})_{ngq 1}} è una sequenza rigorosamente monotona e divergente (cioè. rigorosamente in aumento e in avvicinamento {displaystyle +infty } , o rigorosamente in diminuzione e in avvicinamento {displaystyle -infty } ) ed esiste il seguente limite: {displaystyle lim _{infty }{frac {un_{n+1}-un_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}= l. } Quindi, il limite {displaystyle lim _{infty }{frac {un_{n}}{b_{n}}}= l. } Enunciato del teorema per il 0/0 caso Let {stile di visualizzazione (un_{n})_{ngq 1}} e {stile di visualizzazione (b_{n})_{ngq 1}} essere due successioni di numeri reali. Supponi ora che {stile di visualizzazione (un_{n})a 0} e {stile di visualizzazione (b_{n})a 0} mentre {stile di visualizzazione (b_{n})_{ngq 1}} è rigorosamente in diminuzione. Se {displaystyle lim _{infty }{frac {un_{n+1}-un_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}= l, } poi {displaystyle lim _{infty }{frac {un_{n}}{b_{n}}}= l. } [1] Dimostrazioni Dimostrazione del teorema per il ∙/∞ caso Caso 1: supponiamo {stile di visualizzazione (b_{n})} strettamente crescente e divergente {displaystyle +infty } , e {displaystyle -infty 0} lì esiste {displaystyle nu >0} tale che {displaystyle forall n>nu } {stile di visualizzazione a sinistra|,{frac {un_{n+1}-un_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}-l,Giusto|<{frac {epsilon }{2}},} which is to say {displaystyle l-epsilon /2<{frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}non .} Da {stile di visualizzazione (b_{n})} è rigorosamente in aumento, {stile di visualizzazione b_{n+1}-b_{n}>0} , e vale quanto segue {stile di visualizzazione (l-epsilon /2)(b_{n+1}-b_{n})quad forall n>nu } .

Successivamente lo notiamo {stile di visualizzazione a_{n}=[(un_{n}-un_{n-1})+punti +(un_{non +2}-un_{non +1})]+un_{non +1}} così, applicando la suddetta disuguaglianza a ciascuno dei termini tra parentesi quadre, otteniamo {stile di visualizzazione {inizio{allineato}&(l-epsilon /2)(b_{n}-b_{non +1})+un_{non +1}=(l-epsilon /2)[(b_{n}-b_{n-1})+punti +(b_{non +2}-b_{non +1})]+un_{non +1}>0} tale che {stile di visualizzazione b_{n}>0} per tutti {displaystyle n>n_{0}} , e possiamo dividere le due disuguaglianze per {stile di visualizzazione b_{n}} per tutti {displaystyle n>max{non ,n_{0}}} {stile di visualizzazione (l-epsilon /2)+{frac {un_{non +1}-b_{non +1}(l-epsilon /2)}{b_{n}}}<{frac {a_{n}}{b_{n}}}<(l+epsilon /2)+{frac {un_{non +1}-b_{non +1}(l+epsilon /2)}{b_{n}}}.} Le due sequenze (che sono definiti solo per {displaystyle n>n_{0}} come potrebbe esserci un {stile di visualizzazione Nleq n_{0}} tale che {stile di visualizzazione b_{N}=0} ) {stile di visualizzazione c_{n}^{pm }:={frac {un_{non +1}-b_{non +1}(lpm epsilon /2)}{b_{n}}}} sono infinitesime poiché {stile di visualizzazione b_{n}a +infty } e il numeratore è un numero costante, quindi per tutti {displaystyle epsilon /2>0} lì esiste {stile di visualizzazione n_{pm }>n_{0}>0} , tale che {stile di visualizzazione {inizio{allineato}&|c_{n}^{+}|n_{+},\&|c_{n}^{-}|n_{-},fine{allineato}}} dunque {displaystyle l-epsilon supporto massimo n ,n_{pm }rbrazione =:N>0,} che conclude la dimostrazione. Il caso con {stile di visualizzazione (b_{n})} rigorosamente decrescente e divergente {displaystyle -infty } , e {stile di visualizzazione l0} lì esiste {displaystyle nu >0} tale che per tutti {displaystyle n>nu } {stile di visualizzazione {frac {un_{n+1}-un_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}>2M.} Ancora, applicando la disuguaglianza di cui sopra a ciascuno dei termini all'interno delle parentesi quadre otteniamo {stile di visualizzazione a_{n}>2M(b_{n}-b_{non +1})+un_{non +1},quad forall n>nu ,} e {stile di visualizzazione {frac {un_{n}}{b_{n}}}>2M+{frac {un_{non +1}-2Mb_{non +1}}{b_{n}}},quad forall n>max{non ,n_{0}}.} La sequenza {stile di visualizzazione (c_{n})_{n>n_{0}}} definito da {stile di visualizzazione c_{n}:={frac {un_{non +1}-2Mb_{non +1}}{b_{n}}}} è infinitesimale, così {displaystyle forall M>0,exists {sbarra {n}}>n_{0}>0{testo{ tale che }}-Ml n>{sbarra {n}},} combinando questa disuguaglianza con la precedente concludiamo {stile di visualizzazione {frac {un_{n}}{b_{n}}}>2M+c_{n}>M,quad forall n>max{non ,{sbarra {n}}}=:N.} Le prove degli altri casi con {stile di visualizzazione (b_{n})} strettamente crescente o decrescente e avvicinandosi {displaystyle +infty } o {displaystyle -infty } rispettivamente e {displaystyle l=pm infty } tutti procedono allo stesso modo.

Dimostrazione del teorema per il 0/0 caso Caso 1: consideriamo prima il caso con {stile di visualizzazione l0} , possiamo scrivere {stile di visualizzazione a_{n}=(un_{n}-un_{n+1})+punti +(un_{n+n -1}-un_{n+n })+un_{n+n },} e per qualsiasi {displaystyle epsilon /2>0,} {lo stile di visualizzazione esiste n_{0}} tale che per tutti {displaystyle n>n_{0}} noi abbiamo {stile di visualizzazione {inizio{allineato}&(l-epsilon /2)(b_{n}-b_{n+n })+un_{n+n }=(l-epsilon /2)[(b_{n}-b_{n+1})+punti +(b_{n+n -1}-b_{n+n })]+un_{n+n }displaystyle epsilon /2>0} ci sono {stile di visualizzazione no _{pm }>0} tale che {stile di visualizzazione {inizio{allineato}&|c_{non }^{+}|non _{+},\&|c_{non }^{-}|non _{-},fine{allineato}}} così, scegliendo {stile di visualizzazione n } appropriatamente (vale a dire, prendendo il limite rispetto a {stile di visualizzazione n } ) otteniamo {displaystyle l-epsilon n_{0}} che conclude la dimostrazione.

Caso 2: assumiamo {displaystyle l=+infty } e {stile di visualizzazione (b_{n})} rigorosamente decrescente. Per tutti {displaystyle 2M>0} lì esiste {stile di visualizzazione n_{0}>0} tale che per tutti {displaystyle n>n_{0},} {stile di visualizzazione {frac {un_{n+1}-un_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}>2Mimplies a_{n}-un_{n+1}>2M(b_{n}-b_{n+1}).} Perciò, per ciascuno {displaystyle nu >0,} {stile di visualizzazione {frac {un_{n}}{b_{n}}}>2M+{frac {un_{n+n }-2Mb_{n+n }}{b_{n}}},quad forall n>n_{0}.} La sequenza {stile di visualizzazione c_{non }:={frac {un_{n+n }-2Mb_{n+n }}{b_{n}}}} converge a {stile di visualizzazione 0} (mantenere {stile di visualizzazione n} fisso). Quindi {displaystyle forall M>0,~exists {sbarra {non }}>0} tale che {stile di visualizzazione -M{sbarra {non }},} e, scegliendo {stile di visualizzazione n } convenientemente, concludiamo la dimostrazione {stile di visualizzazione {frac {un_{n}}{b_{n}}}>2M+c_{non }>M,quad forall n>n_{0}.} Applicazioni ed esempi Il teorema riguardante la {displaystyle cdot /infty } caso ha alcune conseguenze notevoli che sono utili nel calcolo dei limiti.

Media aritmetica Let {stile di visualizzazione (X_{n})} essere una sequenza di numeri reali che converge a {stile di visualizzazione l} , definire {stile di visualizzazione a_{n}:=somma _{m=1}^{n}X_{m}=x_{1}+punti +x_{n},quad b_{n}:=n} poi {stile di visualizzazione (b_{n})} è strettamente crescente e diverge {displaystyle +infty } . Calcoliamo {displaystyle lim _{infty }{frac {un_{n+1}-un_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}=lim _{infty }X_{n+1}=lim _{infty }X_{n}= l} dunque {displaystyle lim _{infty }{frac {X_{1}+punti +x_{n}}{n}}=lim _{infty }X_{n}.} Data qualsiasi sequenza {stile di visualizzazione (X_{n})_{ngq 1}} di numeri reali, supporre che {displaystyle lim _{infty }X_{n}} esiste (finito o infinito), poi {displaystyle lim _{infty }{frac {X_{1}+punti +x_{n}}{n}}=lim _{infty }X_{n}.} Media geometrica Let {stile di visualizzazione (X_{n})} essere una sequenza di numeri reali positivi convergenti a {stile di visualizzazione l} e definire {stile di visualizzazione a_{n}:= registro(X_{1}cdot x_{n}),quad b_{n}:=n,} di nuovo calcoliamo {displaystyle lim _{infty }{frac {un_{n+1}-un_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}=lim _{infty }tronco d'albero {Grande (}{frac {X_{1}cdot x_{n+1}}{X_{1}cdot x_{n}}}{Grande )}=lim _{infty }tronco d'albero(X_{n+1})=lim _{infty }tronco d'albero(X_{n})= registro(l),} dove abbiamo usato il fatto che il logaritmo è continuo. così {displaystyle lim _{infty }{frac {tronco d'albero(X_{1}cdot x_{n})}{n}}=lim _{infty }tronco d'albero {Grande (}(X_{1}cdot x_{n})^{frac {1}{n}}{Grande )}= registro(l),} poiché il logaritmo è sia continuo che iniettivo possiamo concludere che {displaystyle lim _{infty }{mq[{n}]{X_{1}cdot x_{n}}}=lim _{infty }X_{n}} .

Data qualsiasi sequenza {stile di visualizzazione (X_{n})_{ngq 1}} di (rigorosamente) numeri reali positivi, supporre che {displaystyle lim _{infty }X_{n}} esiste (finito o infinito), poi {displaystyle lim _{infty }{mq[{n}]{X_{1}cdot x_{n}}}=lim _{infty }X_{n}.} Supponiamo di avere una sequenza {stile di visualizzazione (si_{n})_{ngq 1}} e ci viene chiesto di calcolare {displaystyle lim _{infty }{mq[{n}]{si_{n}}},} definendo {stile di visualizzazione y_{0}=1} e {stile di visualizzazione x_{n}=y_{n}/si_{n-1}} otteniamo {displaystyle lim _{infty }{mq[{n}]{X_{1}punti x_{n}}}=lim _{infty }{mq[{n}]{frac {si_{1}punti y_{n}}{si_{0}cdot y_{1}punti y_{n-1}}}}=lim _{infty }{mq[{n}]{si_{n}}},} se applichiamo la proprietà di cui sopra {displaystyle lim _{infty }{mq[{n}]{si_{n}}}=lim _{infty }X_{n}=lim _{infty }{frac {si_{n}}{si_{n-1}}}.} Quest'ultima forma è di solito la più utile per calcolare i limiti data qualsiasi sequenza {stile di visualizzazione (si_{n})_{ngq 1}} di (rigorosamente) numeri reali positivi, supporre che {displaystyle lim _{infty }{frac {si_{n+1}}{si_{n}}}} esiste (finito o infinito), poi {displaystyle lim _{infty }{mq[{n}]{si_{n}}}=lim _{infty }{frac {si_{n+1}}{si_{n}}}.} Esempi Esempio 1 {displaystyle lim _{infty }{mq[{n}]{n}}=lim _{infty }{frac {n+1}{n}}=1.} Esempio 2 {stile di visualizzazione {inizio{allineato}lim _{infty }{frac {mq[{n}]{n!}}{n}}&=lim _{infty }{frac {(n+1)!(n^{n})}{n!(n+1)^{n+1}}}\&=lim _{infty }{frac {n^{n}}{(n+1)^{n}}}=lim _{infty }{frac {1}{(1+{frac {1}{n}})^{n}}}={frac {1}{e}}fine{allineato}}} dove abbiamo usato la rappresentazione di {stile di visualizzazione e} come limite di una sequenza.

Storia Il caso ∞/∞ è affermato e dimostrato alle pagine 173-175 del libro di Stolz 1885 libro e anche a pagina 54 di Cesare 1888 articolo.

Appare come Problema 70 a Polia e Szegő (1925).

La forma generale Enunciato La forma generale del teorema di Stolz–Cesàro è la seguente:[2] Se {stile di visualizzazione (un_{n})_{ngq 1}} e {stile di visualizzazione (b_{n})_{ngq 1}} sono due sequenze tali che {stile di visualizzazione (b_{n})_{ngq 1}} è monotono e illimitato, poi: {displaystyle liminf _{infty }{frac {un_{n+1}-un_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}leq liminf _{infty }{frac {un_{n}}{b_{n}}}leq limsup _{infty }{frac {un_{n}}{b_{n}}}leq limsup _{infty }{frac {un_{n+1}-un_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}.} Dimostrazione Invece di dimostrare l'affermazione precedente, ne dimostreremo uno leggermente diverso; prima introduciamo una notazione: permettere {stile di visualizzazione (un_{n})_{ngq 1}} essere qualsiasi sequenza, la sua somma parziale sarà indicata con {stile di visualizzazione A_{n}:=somma _{mgq 1}^{n}un_{m}} . L'affermazione equivalente che dimostreremo è: Permettere {stile di visualizzazione (un_{n})_{ngq 1},(b_{n})_{geq 1}} essere due sequenze qualsiasi di numeri reali tali che {stile di visualizzazione b_{n}>0,quad forall nin {mathbb {Z} }_{>0}} , {displaystyle lim _{infty }B_{n}=+infty } , poi {displaystyle liminf _{infty }{frac {un_{n}}{b_{n}}}leq liminf _{infty }{frac {UN_{n}}{B_{n}}}leq limsup _{infty }{frac {UN_{n}}{B_{n}}}leq limsup _{infty }{frac {un_{n}}{b_{n}}}.} Dimostrazione dell'affermazione equivalente Per prima cosa notiamo che: {displaystyle liminf _{infty }{frac {UN_{n}}{B_{n}}}leq limsup _{infty }{frac {UN_{n}}{B_{n}}}} vale per definizione di limite superiore e limite inferiore; {displaystyle liminf _{infty }{frac {un_{n}}{b_{n}}}leq liminf _{infty }{frac {UN_{n}}{B_{n}}}} vale se e solo se {displaystyle limsup _{infty }{frac {UN_{n}}{B_{n}}}leq limsup _{infty }{frac {un_{n}}{b_{n}}}} perché {displaystyle liminf _{infty }X_{n}=-limup _{infty }(-X_{n})} per qualsiasi sequenza {stile di visualizzazione (X_{n})_{ngq 1}} .

Pertanto abbiamo solo bisogno di mostrarlo {displaystyle limsup _{infty }{frac {UN_{n}}{B_{n}}}leq limsup _{infty }{frac {un_{n}}{b_{n}}}} . Se {stile di visualizzazione L:=lim up _{infty }{frac {un_{n}}{b_{n}}}=+infty } non c'è niente da dimostrare, quindi possiamo supporre {stile di visualizzazione L<+infty } (it can be either finite or {displaystyle -infty } ). By definition of {displaystyle limsup } , for all {displaystyle l>l} esiste un numero naturale {displaystyle nu >0} tale che {stile di visualizzazione {frac {un_{n}}{b_{n}}}non .} Possiamo usare questa disuguaglianza per scrivere {stile di visualizzazione A_{n}=A_{non }+un_{non +1}+punti +a_{n}non ,} Perché {stile di visualizzazione b_{n}>0} , abbiamo anche {stile di visualizzazione B_{n}>0} e possiamo dividere per {stile di visualizzazione B_{n}} ottenere {stile di visualizzazione {frac {UN_{n}}{B_{n}}}<{frac {A_{nu }-lB_{nu }}{B_{n}}}+l,quad forall n>non .} Da {stile di visualizzazione B_{n}a +infty } come {displaystyle nto +infty } , la sequenza {stile di visualizzazione {frac {UN_{non }-libbre_{non }}{B_{n}}}a 0{testo{ come }}a +infty {testo{ (mantenere }}non {testo{ fisso)}},} e otteniamo {displaystyle limsup _{infty }{frac {UN_{n}}{B_{n}}}leq l,quad forall l>L,} Per definizione di limite minimo superiore, questo significa proprio questo {displaystyle limsup _{infty }{frac {UN_{n}}{B_{n}}}leq L=limsup _{infty }{frac {un_{n}}{b_{n}}},} e abbiamo finito.

Prova della dichiarazione originale Ora, prendere {stile di visualizzazione (un_{n}),(b_{n})} come nell'enunciato della forma generale del teorema di Stolz-Cesàro e definire {displaystyle alfa _{1}=a_{1},alfa _{K}=a_{K}-un_{k-1},,forall k>1quad beta _{1}=b_{1},beta _{K}=b_{K}-b_{k-1},forall k>1} da {stile di visualizzazione (b_{n})} è rigorosamente monotono (possiamo assumere ad esempio un aumento strettamente), {displaystyle beta _{n}>0} per tutti {stile di visualizzazione n} e da allora {stile di visualizzazione b_{n}a +infty } anche {displaystyle matematica {B} _{n}=b_{1}+(b_{2}-b_{1})+punti +(b_{n}-b_{n-1})=b_{n}a +infty } , quindi possiamo applicare il teorema che abbiamo appena dimostrato {stile di visualizzazione (alfa _{n}),(beta _{n})} (e le loro somme parziali {stile di visualizzazione (matematica {UN} _{n}),(matematica {B} _{n})} ) {displaystyle limsup _{infty }{frac {un_{n}}{b_{n}}}=lim up _{infty }{frac {matematica {UN} _{n}}{matematica {B} _{n}}}leq limsup _{infty }{frac {alfa _{n}}{beta _{n}}}=lim up _{infty }{frac {un_{n}-un_{n-1}}{b_{n}-b_{n-1}}},} che è esattamente ciò che volevamo dimostrare.

Riferimenti Muresan, Mariano (2008), Un approccio concreto all'analisi classica, Berlino: Springer, pp. 85–88, ISBN 978-0-387-78932-3. Stolz, Ottone (1885), Lezioni di aritmetica generale: secondo recenti opinioni, Lipsia: Teubner, pp. 173–175. Cesare, Ernesto (1888), "Sulla convergenza delle serie", Nuovi Annali di Matematica, Serie 3, 7: 49–59. Fasciatura, Giorgio; Un chiodo, Gabor (1925), Problemi e teoremi dall'analisi, vol. io, Berlino: Springer. UN. D. R. Choudary, Costantino Niculescu: Analisi reale sugli intervalli. Springer, 2014, ISBN 9788132221487, pp. 59-62 J. Maresciallo Cenere, Allan Berele, Stefan Catou: Estensioni plausibili e genuine della Regola dell'Ospedale. Rivista di matematica, vol. 85, No. 1 (febbraio 2012), pp. 52–60 (JSTOR) Collegamenti esterni regola dell'Hôpital e teorema di Stolz-Cesàro su imomath.com Dimostrazione del teorema di Stolz-Cesàro su PlanetMath. Note ^ Choudary, UN. D. R.; Niculescu, Costantino (2014). Analisi reale sugli intervalli. Springer India. pp. 59–60. ISBN 978-81-322-2147-0. ^ Regola di l'Hôpital e teorema di Stolz-Cesàro su imomath.com Questo articolo incorpora materiale dal teorema di Stolz-Cesaro su PlanetMath, che è concesso in licenza in base alla licenza Creative Commons Attribution/Share-Alike.

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