Théorème de Stolz-Cesàro

Théorème de Stolz – Cesàro En mathématiques, le théorème de Stolz – Cesàro est un critère pour prouver la convergence d'une suite. Le théorème porte le nom des mathématiciens Otto Stolz et Ernesto Cesàro, qui l'a dit et prouvé pour la première fois.

Le théorème de Stolz – Cesàro peut être considéré comme une généralisation de la moyenne de Cesàro, mais aussi comme règle de l'Hôpital pour les séquences.

Contenu 1 Énoncé du théorème pour le ∙/∞ cas 2 Énoncé du théorème pour le 0/0 Cas 3 Preuves 3.1 Preuve du théorème pour le ∙/∞ cas 3.2 Preuve du théorème pour le 0/0 Cas 4 Applications et exemples 4.1 Moyenne arithmétique 4.2 Moyenne géométrique 4.3 Exemples 4.3.1 Exemple 1 4.3.2 Exemple 2 5 Histoire 6 La forme générale 6.1 Déclaration 6.2 Preuve 6.2.1 Preuve de la déclaration équivalente 6.2.2 Preuve de la déclaration originale 7 Références 8 Liens externes 9 Notes Énoncé du théorème pour la ∙/∞ case Let {style d'affichage (un_{n})_{ngq 1}} et {style d'affichage (b_{n})_{ngq 1}} être deux suites de nombres réels. Suppose que {style d'affichage (b_{n})_{ngq 1}} est une suite strictement monotone et divergente (c'est à dire. strictement croissante et se rapprochant {style d'affichage +infty } , ou strictement décroissant et se rapprochant {style d'affichage -infty } ) et la limite suivante existe: {style d'affichage lim _{pas trop }{frac {un_{n+1}-un_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}=l. } Alors, la limite {style d'affichage lim _{pas trop }{frac {un_{n}}{b_{n}}}=l. } Énoncé du théorème pour le 0/0 case Let {style d'affichage (un_{n})_{ngq 1}} et {style d'affichage (b_{n})_{ngq 1}} être deux suites de nombres réels. Supposons maintenant que {style d'affichage (un_{n})à 0} et {style d'affichage (b_{n})à 0} tandis que {style d'affichage (b_{n})_{ngq 1}} est strictement décroissante. Si {style d'affichage lim _{pas trop }{frac {un_{n+1}-un_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}=l, } alors {style d'affichage lim _{pas trop }{frac {un_{n}}{b_{n}}}=l. } [1] Preuves Preuve du théorème pour le ∙/∞ case Case 1: supposer {style d'affichage (b_{n})} strictement croissante et divergente de {style d'affichage +infty } , et {style d'affichage -infty 0} il existe {displaystyle nu >0} tel que {displaystyle forall n>nu } {style d'affichage à gauche|,{frac {un_{n+1}-un_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}-je,droit|<{frac {epsilon }{2}},} which is to say {displaystyle l-epsilon /2<{frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}nu .} Depuis {style d'affichage (b_{n})} is strictly increasing, {style d'affichage b_{n+1}-b_{n}>0} , and the following holds {style d'affichage (l-epsilon /2)(b_{n+1}-b_{n})quad forall n>nu } .

Next we notice that {style d'affichage a_{n}=[(un_{n}-un_{n-1})+des points +(un_{nu +2}-un_{nu +1})]+un_{nu +1}} Donc, by applying the above inequality to each of the terms in the square brackets, on obtient {style d'affichage {commencer{aligné}&(l-epsilon /2)(b_{n}-b_{nu +1})+un_{nu +1}=(l-epsilon /2)[(b_{n}-b_{n-1})+des points +(b_{nu +2}-b_{nu +1})]+un_{nu +1}nu +2}-b_{nu +1})]+un_{nu +1}=(l+epsilon /2)(b_{n}-b_{nu +1})+un_{nu +1}.fin{aligné}}} À présent, puisque {style d'affichage b_{n}à +infty } comme {style d'affichage nto infty } , there is an {displaystyle n_{0}>0} tel que {style d'affichage b_{n}>0} pour tous {displaystyle n>n_{0}} , and we can divide the two inequalities by {style d'affichage b_{n}} pour tous {displaystyle n>max{nu ,n_{0}}} {style d'affichage (l-epsilon /2)+{frac {un_{nu +1}-b_{nu +1}(l-epsilon /2)}{b_{n}}}<{frac {a_{n}}{b_{n}}}<(l+epsilon /2)+{frac {un_{nu +1}-b_{nu +1}(l+epsilon /2)}{b_{n}}}.} The two sequences (which are only defined for {displaystyle n>n_{0}} as there could be an {displaystyle Nleq n_{0}} tel que {style d'affichage b_{N}=0} ) {displaystyle c_{n}^{pm }:={frac {un_{nu +1}-b_{nu +1}(lpm epsilon /2)}{b_{n}}}} are infinitesimal since {style d'affichage b_{n}à +infty } and the numerator is a constant number, donc pour tous {displaystyle epsilon /2>0} il existe {displaystyle n_{pm }>n_{0}>0} , tel que {style d'affichage {commencer{aligné}&|c_{n}^{+}|n_{+},\&|c_{n}^{-}|n_{-},fin{aligné}}} Donc {displaystyle l-epsilon max lbrace non ,n_{pm }rbration =:N>0,} ce qui conclut la preuve. Le cas avec {style d'affichage (b_{n})} strictement décroissant et divergent à {style d'affichage -infty } , et {displaystyle l0} il existe {displaystyle nu >0} telle que pour tout {displaystyle n>nu } {style d'affichage {frac {un_{n+1}-un_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}>2M.} Encore, en appliquant l'inégalité ci-dessus à chacun des termes à l'intérieur des crochets, nous obtenons {style d'affichage a_{n}>2M(b_{n}-b_{nu +1})+un_{nu +1},quad forall n>nu ,} et {style d'affichage {frac {un_{n}}{b_{n}}}>2M+{frac {un_{nu +1}-2Mo_{nu +1}}{b_{n}}},quad forall n>max{nu ,n_{0}}.} La séquence {style d'affichage (c_{n})_{n>n_{0}}} Défini par {displaystyle c_{n}:={frac {un_{nu +1}-2Mo_{nu +1}}{b_{n}}}} est infinitésimal, Donc {displaystyle forall M>0,exists {bar {n}}>n_{0}>0{texte{ tel que }}-Ml n>{bar {n}},} en combinant cette inégalité avec la précédente on conclut {style d'affichage {frac {un_{n}}{b_{n}}}>2M+c_{n}>M,quad forall n>max{nu ,{bar {n}}}=:N} Les preuves des autres cas avec {style d'affichage (b_{n})} strictement croissante ou décroissante et se rapprochant {style d'affichage +infty } ou {style d'affichage -infty } respectivement et {displaystyle l=pm infty } procèdent tous de la même manière.

Preuve du théorème pour le 0/0 case Case 1: on considère d'abord le cas avec {displaystyle l0} , nous pouvons écrire {style d'affichage a_{n}=(un_{n}-un_{n+1})+des points +(un_{n+nu -1}-un_{n+nu })+un_{n+nu },} et pour tout {displaystyle epsilon /2>0,} {style d'affichage existe n_{0}} telle que pour tout {displaystyle n>n_{0}} Nous avons {style d'affichage {commencer{aligné}&(l-epsilon /2)(b_{n}-b_{n+nu })+un_{n+nu }=(l-epsilon /2)[(b_{n}-b_{n+1})+des points +(b_{n+nu -1}-b_{n+nu })]+un_{n+nu }l+epsilon /2)(b_{n}-b_{n+nu })+un_{n+nu }.fin{aligné}}} The two sequences {displaystyle c_{nu }^{pm }:={frac {un_{n+nu }-b_{n+nu }(lpm epsilon /2)}{b_{n}}}} sont infinitésimales puisque par hypothèse {style d'affichage a_{n+nu },b_{n+nu }à 0} comme {style d'affichage nu à infty } , donc pour tous {displaystyle epsilon /2>0} il y a {style d'affichage non _{pm }>0} tel que {style d'affichage {commencer{aligné}&|c_{nu }^{+}|ne pas _{+},\&|c_{nu }^{-}|ne pas _{-},fin{aligné}}} Donc, choisir {style d'affichage non } de manière appropriée (c'est-à-dire, prendre la limite par rapport à {style d'affichage non } ) on obtient {displaystyle l-epsilon nu }^{+}n_{0}} ce qui conclut la preuve.

Cas 2: nous supposons {displaystyle l=+infty } et {style d'affichage (b_{n})} strictement décroissant. Pour tous {displaystyle 2M>0} il existe {displaystyle n_{0}>0} telle que pour tout {displaystyle n>n_{0},} {style d'affichage {frac {un_{n+1}-un_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}>2Mimplies a_{n}-un_{n+1}>2M(b_{n}-b_{n+1}).} Par conséquent, pour chaque {displaystyle nu >0,} {style d'affichage {frac {un_{n}}{b_{n}}}>2M+{frac {un_{n+nu }-2Mo_{n+nu }}{b_{n}}},quad forall n>n_{0}.} La séquence {displaystyle c_{nu }:={frac {un_{n+nu }-2Mo_{n+nu }}{b_{n}}}} converge vers {style d'affichage 0} (en gardant {displaystyle n} fixé). Ainsi {displaystyle forall M>0,~exists {bar {nu }}>0} tel que {style d'affichage -M{bar {nu }},} et, choisir {style d'affichage non } commodément, on conclut la preuve {style d'affichage {frac {un_{n}}{b_{n}}}>2M+c_{nu }>M,quad forall n>n_{0}.} Applications and examples The theorem concerning the {style d'affichage cdot /infty } cas a quelques conséquences notables qui sont utiles dans le calcul des limites.

Arithmetic mean Let {style d'affichage (X_{n})} une suite de nombres réels qui converge vers {displaystyle l} , définir {style d'affichage a_{n}:=somme _{m=1}^{n}X_{m}=x_{1}+points +x_{n},quad b_{n}:=n} alors {style d'affichage (b_{n})} est strictement croissante et diverge vers {style d'affichage +infty } . Nous calculons {style d'affichage lim _{pas trop }{frac {un_{n+1}-un_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}=lim _{pas trop }X_{n+1}=lim _{pas trop }X_{n}=l} Donc {style d'affichage lim _{pas trop }{frac {X_{1}+points +x_{n}}{n}}=lim _{pas trop }X_{n}.} Étant donné n'importe quelle séquence {style d'affichage (X_{n})_{ngq 1}} de nombres réels, supposer que {style d'affichage lim _{pas trop }X_{n}} existe (fini ou infini), alors {style d'affichage lim _{pas trop }{frac {X_{1}+points +x_{n}}{n}}=lim _{pas trop }X_{n}.} Geometric mean Let {style d'affichage (X_{n})} une suite de nombres réels positifs convergeant vers {displaystyle l} et définir {style d'affichage a_{n}:=journal(X_{1}cdots x_{n}),quad b_{n}:=n,} on calcule à nouveau {style d'affichage lim _{pas trop }{frac {un_{n+1}-un_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}=lim _{pas trop }Journal {Gros (}{frac {X_{1}cdots x_{n+1}}{X_{1}cdots x_{n}}}{Gros )}=lim _{pas trop }Journal(X_{n+1})=lim _{pas trop }Journal(X_{n})=journal(je),} où nous avons utilisé le fait que le logarithme est continu. Ainsi {style d'affichage lim _{pas trop }{frac {Journal(X_{1}cdots x_{n})}{n}}=lim _{pas trop }Journal {Gros (}(X_{1}cdots x_{n})^{frac {1}{n}}{Gros )}=journal(je),} puisque le logarithme est à la fois continu et injectif, nous pouvons conclure que {style d'affichage lim _{pas trop }{sqrt[{n}]{X_{1}cdots x_{n}}}=lim _{pas trop }X_{n}} .

Étant donné n'importe quelle séquence {style d'affichage (X_{n})_{ngq 1}} de (strictement) nombres réels positifs, supposer que {style d'affichage lim _{pas trop }X_{n}} existe (fini ou infini), alors {style d'affichage lim _{pas trop }{sqrt[{n}]{X_{1}cdots x_{n}}}=lim _{pas trop }X_{n}.} Supposons qu'on nous donne une suite {style d'affichage (y_{n})_{ngq 1}} et on nous demande de calculer {style d'affichage lim _{pas trop }{sqrt[{n}]{y_{n}}},} définir {style d'affichage y_{0}=1} et {style d'affichage x_{n}=y_{n}/y_{n-1}} on obtient {style d'affichage lim _{pas trop }{sqrt[{n}]{X_{1}points x_{n}}}=lim _{pas trop }{sqrt[{n}]{frac {y_{1}points y_{n}}{y_{0}cdot y_{1}points y_{n-1}}}}=lim _{pas trop }{sqrt[{n}]{y_{n}}},} si on applique la propriété ci-dessus {style d'affichage lim _{pas trop }{sqrt[{n}]{y_{n}}}=lim _{pas trop }X_{n}=lim _{pas trop }{frac {y_{n}}{y_{n-1}}}.} This last form is usually the most useful to compute limits Given any sequence {style d'affichage (y_{n})_{ngq 1}} de (strictement) nombres réels positifs, supposer que {style d'affichage lim _{pas trop }{frac {y_{n+1}}{y_{n}}}} existe (fini ou infini), alors {style d'affichage lim _{pas trop }{sqrt[{n}]{y_{n}}}=lim _{pas trop }{frac {y_{n+1}}{y_{n}}}.} Exemples Exemple 1 {style d'affichage lim _{pas trop }{sqrt[{n}]{n}}=lim _{pas trop }{frac {n+1}{n}}=1.} Exemple 2 {style d'affichage {commencer{aligné}lim _{pas trop }{frac {sqrt[{n}]{n!}}{n}}&=lim _{pas trop }{frac {(n+1)!(n^{n})}{n!(n+1)^{n+1}}}\&=lim _{pas trop }{frac {n^{n}}{(n+1)^{n}}}=lim _{pas trop }{frac {1}{(1+{frac {1}{n}})^{n}}}={frac {1}{e}}fin{aligné}}} où nous avons utilisé la représentation de {style d'affichage e} comme limite d'une suite.

History The ∞/∞ case is stated and proved on pages 173—175 of Stolz's 1885 livre et aussi à la page 54 de César 1888 article.

Il apparaît comme problème 70 à Pólya et Szegő (1925).

The general form Statement The general form of the Stolz–Cesàro theorem is the following:[2] Si {style d'affichage (un_{n})_{ngq 1}} et {style d'affichage (b_{n})_{ngq 1}} sont deux suites telles que {style d'affichage (b_{n})_{ngq 1}} est monotone et illimité, alors: {style d'affichage limite _{pas trop }{frac {un_{n+1}-un_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}leq limite _{pas trop }{frac {un_{n}}{b_{n}}}leq limsup _{pas trop }{frac {un_{n}}{b_{n}}}leq limsup _{pas trop }{frac {un_{n+1}-un_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}.} Proof Instead of proving the previous statement, nous allons en prouver une légèrement différente; on introduit d'abord une notation: laisser {style d'affichage (un_{n})_{ngq 1}} être n'importe quelle séquence, sa somme partielle sera notée {style d'affichage A_{n}:=somme _{mgeq 1}^{n}un_{m}} . L'énoncé équivalent que nous prouverons est: Laisser {style d'affichage (un_{n})_{ngq 1},(b_{n})_{gq 1}} être deux suites quelconques de nombres réels telles que {style d'affichage b_{n}>0,quad forall nin {mathbb {Z} }_{>0}} , {style d'affichage lim _{pas trop }B_{n}=+infty } , alors {style d'affichage limite _{pas trop }{frac {un_{n}}{b_{n}}}leq limite _{pas trop }{frac {UN_{n}}{B_{n}}}leq limsup _{pas trop }{frac {UN_{n}}{B_{n}}}leq limsup _{pas trop }{frac {un_{n}}{b_{n}}}.} Proof of the equivalent statement First we notice that: {style d'affichage limite _{pas trop }{frac {UN_{n}}{B_{n}}}leq limsup _{pas trop }{frac {UN_{n}}{B_{n}}}} tient par définition de la limite supérieure et de la limite inférieure; {style d'affichage limite _{pas trop }{frac {un_{n}}{b_{n}}}leq limite _{pas trop }{frac {UN_{n}}{B_{n}}}} tient si et seulement si {style d'affichage limsup _{pas trop }{frac {UN_{n}}{B_{n}}}leq limsup _{pas trop }{frac {un_{n}}{b_{n}}}} car {style d'affichage limite _{pas trop }X_{n}=-limsup _{pas trop }(-X_{n})} pour toute séquence {style d'affichage (X_{n})_{ngq 1}} .

Il nous suffit donc de montrer que {style d'affichage limsup _{pas trop }{frac {UN_{n}}{B_{n}}}leq limsup _{pas trop }{frac {un_{n}}{b_{n}}}} . Si {displaystyle L:=limsup _{pas trop }{frac {un_{n}}{b_{n}}}=+infty } il n'y a rien à prouver, on peut donc supposer {displaystyle L<+infty } (it can be either finite or {displaystyle -infty } ). By definition of {displaystyle limsup } , for all {displaystyle l>L} il existe un nombre naturel {displaystyle nu >0} tel que {style d'affichage {frac {un_{n}}{b_{n}}}nu .} On peut utiliser cette inégalité pour écrire {style d'affichage A_{n}=A_{nu }+un_{nu +1}+points +a_{n}nu ,} Car {style d'affichage b_{n}>0} , Nous avons également {style d'affichage B_{n}>0} et on peut diviser par {style d'affichage B_{n}} pour obtenir {style d'affichage {frac {UN_{n}}{B_{n}}}<{frac {A_{nu }-lB_{nu }}{B_{n}}}+l,quad forall n>nu .} Depuis {style d'affichage B_{n}à +infty } comme {style d'affichage nto + infty } , la séquence {style d'affichage {frac {UN_{nu }-kg_{nu }}{B_{n}}}à 0{texte{ comme }}nto +infty {texte{ (en gardant }}nu {texte{ fixé)}},} et on obtient {style d'affichage limsup _{pas trop }{frac {UN_{n}}{B_{n}}}leq l,quad forall l>L,} Par définition de borne supérieure, cela signifie précisément que {style d'affichage limsup _{pas trop }{frac {UN_{n}}{B_{n}}}leq L=limsup _{pas trop }{frac {un_{n}}{b_{n}}},} et nous avons fini.

Proof of the original statement Now, prendre {style d'affichage (un_{n}),(b_{n})} comme dans l'énoncé de la forme générale du théorème de Stolz-Cesàro et définir {style d'affichage alpha _{1}=a_{1},Alpha _{k}=a_{k}-un_{k-1},,forall k>1quad beta _{1}=b_{1},bêta _{k}=b_{k}-b_{k-1},forall k>1} puisque {style d'affichage (b_{n})} est strictement monotone (on peut supposer strictement croissante par exemple), {style d'affichage bêta _{n}>0} pour tous {displaystyle n} et depuis {style d'affichage b_{n}à +infty } aussi {style d'affichage mathrm {B} _{n}=b_{1}+(b_{2}-b_{1})+des points +(b_{n}-b_{n-1})=b_{n}à +infty } , on peut donc appliquer le théorème que nous venons de prouver à {style d'affichage (Alpha _{n}),(bêta _{n})} (et leurs sommes partielles {style d'affichage (mathrm {UN} _{n}),(mathrm {B} _{n})} ) {style d'affichage limsup _{pas trop }{frac {un_{n}}{b_{n}}}=limsup _{pas trop }{frac {mathrm {UN} _{n}}{mathrm {B} _{n}}}leq limsup _{pas trop }{frac {Alpha _{n}}{bêta _{n}}}=limsup _{pas trop }{frac {un_{n}-un_{n-1}}{b_{n}-b_{n-1}}},} c'est exactement ce que nous voulions prouver.

Références Muresan, marial (2008), Une approche concrète de l'analyse classique, Berlin: Springer, pp. 85–88, ISBN 978-0-387-78932-3. Stolz, Otto (1885), Cours d'arithmétique générale: selon les vues récentes, Leipzig: Teubners, pp. 173–175. Cesaro, Ernesto (1888), "Sur la convergence des séries", Nouvelles annales de mathématiques, Série 3, 7: 49–59. emmailloter, George; Un ongle, Gabor (1925), Problèmes et théorèmes d'analyse, volume. je, Berlin: Springer. UN. ré. R. Choudary, Constantin Niculescu: Analyse réelle sur les intervalles. Springer, 2014, ISBN 9788132221487, pp. 59-62 J. Maréchal Frêne, Allan Berele, Stefan Catoiu: Extensions plausibles et authentiques de la règle de L'Hospital. Magazine de mathématiques, Volume. 85, Non. 1 (Février 2012), pp. 52–60 (JSTOR) Liens externes Règle de l'Hôpital et théorème de Stolz-Cesàro sur imomath.com Preuve du théorème de Stolz – Cesàro sur PlanetMath. Remarques ^ Choudary, UN. ré. R; Niculescu, Constantin (2014). Analyse réelle sur les intervalles. Springer Inde. pp. 59–60. ISBN 978-81-322-2147-0. ^ l'Hôpital's rule and Stolz-Cesàro theorem at imomath.com This article incorporates material from Stolz-Cesaro theorem on PlanetMath, qui est sous licence Creative Commons Attribution/Share-Alike License.

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