Satz von Stolz-Cesàro

Satz von Stolz-Cesàro In der Mathematik, das Stolz-Cesàro-Theorem ist ein Kriterium zum Beweis der Konvergenz einer Folge. Der Satz ist nach den Mathematikern Otto Stolz und Ernesto Cesàro benannt, der es zum ersten Mal behauptet und bewiesen hat.

Das Stolz-Cesàro-Theorem kann als Verallgemeinerung des Cesàro-Mittelwerts angesehen werden, sondern auch als l'Hôpital-Regel für Sequenzen.

Inhalt 1 Aussage des Satzes für die ∙/∞ Fall 2 Aussage des Satzes für die 0/0 Fall 3 Beweise 3.1 Beweis des Satzes für die ∙/∞ Fall 3.2 Beweis des Satzes für die 0/0 Fall 4 Anwendungen und Beispiele 4.1 Arithmetisches Mittel 4.2 Geometrisches Mittel 4.3 Beispiele 4.3.1 Beispiel 1 4.3.2 Beispiel 2 5 Geschichte 6 Die allgemeine Form 6.1 Aussage 6.2 Nachweisen 6.2.1 Beweis der äquivalenten Aussage 6.2.2 Beweis der Originalaussage 7 Verweise 8 Externe Links 9 Hinweise Aussage des Theorems für die ∙/∞ Fall Let {Anzeigestil (a_{n})_{ngq 1}} und {Anzeigestil (b_{n})_{ngq 1}} zwei Folgen reeller Zahlen sein. Annehmen, dass {Anzeigestil (b_{n})_{ngq 1}} ist eine streng monotone und divergierende Folge (d.h. streng ansteigend und näherkommend {displaystyle +infty } , oder streng abnehmend und sich nähernd {displaystyle -infty } ) und die folgende Grenze existiert: {Anzeigestil lim _{nto infty }{frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}=l. } Dann, das Limit {Anzeigestil lim _{nto infty }{frac {a_{n}}{b_{n}}}=l. } Aussage des Satzes für die 0/0 Fall Let {Anzeigestil (a_{n})_{ngq 1}} und {Anzeigestil (b_{n})_{ngq 1}} zwei Folgen reeller Zahlen sein. Nehmen Sie jetzt an, dass {Anzeigestil (a_{n})zu 0} und {Anzeigestil (b_{n})zu 0} während {Anzeigestil (b_{n})_{ngq 1}} ist streng abnehmend. Wenn {Anzeigestil lim _{nto infty }{frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}=l, } dann {Anzeigestil lim _{nto infty }{frac {a_{n}}{b_{n}}}=l. } [1] Beweise Beweis des Satzes für die ∙/∞ Fall Fall 1: vermuten {Anzeigestil (b_{n})} streng steigend und divergierend zu {displaystyle +infty } , und {displaystyle -infty 0} es existiert {displaystyle nu >0} so dass {displaystyle forall n>nu } {Anzeigestil links|,{frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}-l,Rechts|<{frac {epsilon }{2}},} which is to say {displaystyle l-epsilon /2<{frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}nicht .} Seit {Anzeigestil (b_{n})} ist streng steigend, {Anzeigestil b_{n+1}-b_{n}>0} , und es gilt folgendes {Anzeigestil (l-epsilon /2)(b_{n+1}-b_{n})quad forall n>nu } .

Als nächstes bemerken wir das {Anzeigestil a_{n}=[(a_{n}-a_{n-1})+Punkte +(a_{nicht +2}-a_{nicht +1})]+a_{nicht +1}} daher, indem man die obige Ungleichung auf jeden der Terme in den eckigen Klammern anwendet, wir erhalten {Anzeigestil {Start{ausgerichtet}&(l-epsilon /2)(b_{n}-b_{nicht +1})+a_{nicht +1}=(l-epsilon /2)[(b_{n}-b_{n-1})+Punkte +(b_{nicht +2}-b_{nicht +1})]+a_{nicht +1}>0} so dass {Anzeigestil b_{n}>0} für alle {displaystyle n>n_{0}} , und wir können die beiden Ungleichungen durch dividieren {Anzeigestil b_{n}} für alle {displaystyle n>max{nicht ,n_{0}}} {Anzeigestil (l-epsilon /2)+{frac {a_{nicht +1}-b_{nicht +1}(l-epsilon /2)}{b_{n}}}<{frac {a_{n}}{b_{n}}}<(l+epsilon /2)+{frac {a_{nicht +1}-b_{nicht +1}(l+epsilon /2)}{b_{n}}}.} Die beiden Sequenzen (die nur für definiert sind {displaystyle n>n_{0}} wie es eine geben könnte {Anzeigestil Nleq n_{0}} so dass {Anzeigestil b_{N}=0} ) {Anzeigestil c_{n}^{pm }:={frac {a_{nicht +1}-b_{nicht +1}(lpm Epsilon /2)}{b_{n}}}} sind da unendlich klein {Anzeigestil b_{n}bis +infty } und der Zähler ist eine konstante Zahl, daher für alle {displaystyle epsilon /2>0} es existiert {Anzeigestil n_{pm }>n_{0}>0} , so dass {Anzeigestil {Start{ausgerichtet}&|c_{n}^{+}|n_{+},\&|c_{n}^{-}|n_{-},Ende{ausgerichtet}}} deshalb {displaystyle l-epsilon max lbrace nr ,n_{pm }Übersetzung =:N>0,} was den Beweis abschließt. Der Fall mit {Anzeigestil (b_{n})} streng abnehmend und divergierend zu {displaystyle -infty } , und {Anzeigestil l0} es existiert {displaystyle nu >0} so dass für alle {displaystyle n>nu } {Anzeigestil {frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}>2M.} Wieder, indem wir die obige Ungleichung auf jeden der Terme innerhalb der eckigen Klammern anwenden, erhalten wir {Anzeigestil a_{n}>2M(b_{n}-b_{nicht +1})+a_{nicht +1},quad forall n>nu ,} und {Anzeigestil {frac {a_{n}}{b_{n}}}>2M+{frac {a_{nicht +1}-2MB_{nicht +1}}{b_{n}}},quad forall n>max{nicht ,n_{0}}.} Die Sequenz {Anzeigestil (c_{n})_{n>n_{0}}} definiert von {Anzeigestil c_{n}:={frac {a_{nicht +1}-2MB_{nicht +1}}{b_{n}}}} ist unendlich klein, daher {displaystyle forall M>0,exists {Bar {n}}>n_{0}>0{Text{ so dass }}-Ml n>{Bar {n}},} Wenn wir diese Ungleichung mit der vorherigen kombinieren, schließen wir {Anzeigestil {frac {a_{n}}{b_{n}}}>2M+c_{n}>M,quad forall n>max{nicht ,{Bar {n}}}=:N.} Die Beweise der anderen Fälle mit {Anzeigestil (b_{n})} streng ansteigend oder abnehmend und sich nähern {displaystyle +infty } oder {displaystyle -infty } bzw. und {displaystyle l=pm infty } alle gehen auf die gleiche Weise vor.

Beweis des Satzes für die 0/0 Fall Fall 1: betrachten wir zunächst den Fall mit {Anzeigestil l0} , wir können schreiben {Anzeigestil a_{n}=(a_{n}-a_{n+1})+Punkte +(a_{n+nu -1}-a_{n+nu })+a_{n+nu },} und für jeden {displaystyle epsilon /2>0,} {Anzeigestil existiert n_{0}} so dass für alle {displaystyle n>n_{0}} wir haben {Anzeigestil {Start{ausgerichtet}&(l-epsilon /2)(b_{n}-b_{n+nu })+a_{n+nu }=(l-epsilon /2)[(b_{n}-b_{n+1})+Punkte +(b_{n+nu -1}-b_{n+nu })]+a_{n+nu }displaystyle epsilon /2>0} es gibt {Anzeigestil Nr. _{pm }>0} so dass {Anzeigestil {Start{ausgerichtet}&|c_{nicht }^{+}|nicht _{+},\&|c_{nicht }^{-}|nicht _{-},Ende{ausgerichtet}}} daher, wählen {Anzeigestil Nr } passend (Was ist zu sagen, unter der Grenze in Bezug auf {Anzeigestil Nr } ) wir erhalten {displaystyle l-epsilon n_{0}} was den Beweis abschließt.

Fall 2: wir nehmen an {Anzeigestil l=+infty } und {Anzeigestil (b_{n})} streng abnehmend. Für alle {displaystyle 2M>0} es existiert {Anzeigestil n_{0}>0} so dass für alle {displaystyle n>n_{0},} {Anzeigestil {frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}>2Mimplies a_{n}-a_{n+1}>2M(b_{n}-b_{n+1}).} Deswegen, für jeden {displaystyle nu >0,} {Anzeigestil {frac {a_{n}}{b_{n}}}>2M+{frac {a_{n+nu }-2MB_{n+nu }}{b_{n}}},quad forall n>n_{0}.} Die Sequenz {Anzeigestil c_{nicht }:={frac {a_{n+nu }-2MB_{n+nu }}{b_{n}}}} konvergiert zu {Anzeigestil 0} (halten {Anzeigestil n} Fest). Somit {displaystyle forall M>0,~exists {Bar {nicht }}>0} so dass {Anzeigestil -M{Bar {nicht }},} und, wählen {Anzeigestil Nr } bequem, wir schließen den Beweis ab {Anzeigestil {frac {a_{n}}{b_{n}}}>2M+c_{nicht }>M,quad forall n>n_{0}.} Anwendungen und Beispiele Der Satz über die {Anzeigestil cdot /infty } Der Fall hat einige bemerkenswerte Konsequenzen, die bei der Berechnung von Grenzwerten nützlich sind.

Arithmetisches Mittel Let {Anzeigestil (x_{n})} eine Folge reeller Zahlen sein, die gegen konvergiert {Anzeigestil l} , definieren {Anzeigestil a_{n}:= Summe _{m=1}^{n}x_{m}=x_{1}+Punkte +x_{n},Quad b_{n}:=n} dann {Anzeigestil (b_{n})} ist streng steigend und divergiert zu {displaystyle +infty } . Wir rechnen {Anzeigestil lim _{nto infty }{frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}=lim _{nto infty }x_{n+1}=lim _{nto infty }x_{n}=l} deshalb {Anzeigestil lim _{nto infty }{frac {x_{1}+Punkte +x_{n}}{n}}=lim _{nto infty }x_{n}.} Bei beliebiger Reihenfolge {Anzeigestil (x_{n})_{ngq 1}} von reellen Zahlen, nehme an, dass {Anzeigestil lim _{nto infty }x_{n}} existiert (endlich oder unendlich), dann {Anzeigestil lim _{nto infty }{frac {x_{1}+Punkte +x_{n}}{n}}=lim _{nto infty }x_{n}.} Geometrisches Mittel Let {Anzeigestil (x_{n})} eine Folge positiver reeller Zahlen sein, die gegen konvergieren {Anzeigestil l} und definieren {Anzeigestil a_{n}:= Protokoll(x_{1}cdots x_{n}),Quad b_{n}:=n,} wieder rechnen wir {Anzeigestil lim _{nto infty }{frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}=lim _{nto infty }Protokoll {Groß (}{frac {x_{1}cdots x_{n+1}}{x_{1}cdots x_{n}}}{Groß )}=lim _{nto infty }Protokoll(x_{n+1})=lim _{nto infty }Protokoll(x_{n})= Protokoll(l),} wobei wir die Tatsache ausgenutzt haben, dass der Logarithmus stetig ist. Daher {Anzeigestil lim _{nto infty }{frac {Protokoll(x_{1}cdots x_{n})}{n}}=lim _{nto infty }Protokoll {Groß (}(x_{1}cdots x_{n})^{frac {1}{n}}{Groß )}= Protokoll(l),} Da der Logarithmus sowohl stetig als auch injektiv ist, können wir darauf schließen {Anzeigestil lim _{nto infty }{quadrat[{n}]{x_{1}cdots x_{n}}}=lim _{nto infty }x_{n}} .

Bei beliebiger Reihenfolge {Anzeigestil (x_{n})_{ngq 1}} von (streng) positive reelle Zahlen, nehme an, dass {Anzeigestil lim _{nto infty }x_{n}} existiert (endlich oder unendlich), dann {Anzeigestil lim _{nto infty }{quadrat[{n}]{x_{1}cdots x_{n}}}=lim _{nto infty }x_{n}.} Angenommen, wir erhalten eine Sequenz {Anzeigestil (y_{n})_{ngq 1}} und wir werden aufgefordert zu rechnen {Anzeigestil lim _{nto infty }{quadrat[{n}]{y_{n}}},} definieren {Anzeigestil y_{0}=1} und {Anzeigestil x_{n}=y_{n}/y_{n-1}} wir erhalten {Anzeigestil lim _{nto infty }{quadrat[{n}]{x_{1}Punkte x_{n}}}=lim _{nto infty }{quadrat[{n}]{frac {y_{1}Punkte y_{n}}{y_{0}cdot y_{1}Punkte y_{n-1}}}}=lim _{nto infty }{quadrat[{n}]{y_{n}}},} wenn wir die obige Eigenschaft anwenden {Anzeigestil lim _{nto infty }{quadrat[{n}]{y_{n}}}=lim _{nto infty }x_{n}=lim _{nto infty }{frac {y_{n}}{y_{n-1}}}.} Diese letzte Form ist normalerweise am nützlichsten, um Grenzen für eine gegebene Sequenz zu berechnen {Anzeigestil (y_{n})_{ngq 1}} von (streng) positive reelle Zahlen, nehme an, dass {Anzeigestil lim _{nto infty }{frac {y_{n+1}}{y_{n}}}} existiert (endlich oder unendlich), dann {Anzeigestil lim _{nto infty }{quadrat[{n}]{y_{n}}}=lim _{nto infty }{frac {y_{n+1}}{y_{n}}}.} Beispiele Beispiel 1 {Anzeigestil lim _{nto infty }{quadrat[{n}]{n}}=lim _{nto infty }{frac {n+1}{n}}=1.} Beispiel 2 {Anzeigestil {Start{ausgerichtet}lim _{nto infty }{frac {quadrat[{n}]{n!}}{n}}&=lim _{nto infty }{frac {(n+1)!(n^{n})}{n!(n+1)^{n+1}}}\&=lim _{nto infty }{frac {n^{n}}{(n+1)^{n}}}=lim _{nto infty }{frac {1}{(1+{frac {1}{n}})^{n}}}={frac {1}{e}}Ende{ausgerichtet}}} wobei wir die Darstellung von verwendet haben {Anzeigestil e} als Grenzwert einer Folge.

Geschichte Der Fall ∞/∞ wird auf den Seiten 173—175 von Stolz angegeben und bewiesen 1885 Buch und auch auf Seite 54 von Cäsar 1888 Artikel.

Es erscheint als Problem 70 in Pólya und Szegő (1925).

Die allgemeine Form Aussage Die allgemeine Form des Stolz-Cesàro-Theorems ist die folgende:[2] Wenn {Anzeigestil (a_{n})_{ngq 1}} und {Anzeigestil (b_{n})_{ngq 1}} sind zwei Sequenzen so, dass {Anzeigestil (b_{n})_{ngq 1}} ist monoton und unbeschränkt, dann: {Anzeigestil liminf _{nto infty }{frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}leq liminf _{nto infty }{frac {a_{n}}{b_{n}}}leq limsup _{nto infty }{frac {a_{n}}{b_{n}}}leq limsup _{nto infty }{frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}.} Beweis Anstatt die vorherige Aussage zu beweisen, wir werden eine etwas andere beweisen; Zuerst führen wir eine Notation ein: Lassen {Anzeigestil (a_{n})_{ngq 1}} sei eine beliebige Folge, seine Teilsumme wird mit bezeichnet {Anzeigestil A_{n}:= Summe _{mgeq 1}^{n}a_{m}} . Die äquivalente Aussage, die wir beweisen werden, ist: Lassen {Anzeigestil (a_{n})_{ngq 1},(b_{n})_{geq 1}} zwei beliebige Folgen reeller Zahlen sein, so dass {Anzeigestil b_{n}>0,quad forall nin {mathbb {Z} }_{>0}} , {Anzeigestil lim _{nto infty }B_{n}=+infty } , dann {Anzeigestil liminf _{nto infty }{frac {a_{n}}{b_{n}}}leq liminf _{nto infty }{frac {EIN_{n}}{B_{n}}}leq limsup _{nto infty }{frac {EIN_{n}}{B_{n}}}leq limsup _{nto infty }{frac {a_{n}}{b_{n}}}.} Beweis der äquivalenten Aussage Als erstes bemerken wir das: {Anzeigestil liminf _{nto infty }{frac {EIN_{n}}{B_{n}}}leq limsup _{nto infty }{frac {EIN_{n}}{B_{n}}}} gilt per Definition von Limit Superior und Limit Inferior; {Anzeigestil liminf _{nto infty }{frac {a_{n}}{b_{n}}}leq liminf _{nto infty }{frac {EIN_{n}}{B_{n}}}} gilt genau dann wenn {displaystyle limsup _{nto infty }{frac {EIN_{n}}{B_{n}}}leq limsup _{nto infty }{frac {a_{n}}{b_{n}}}} Weil {Anzeigestil liminf _{nto infty }x_{n}=-limsup _{nto infty }(-x_{n})} für jede Folge {Anzeigestil (x_{n})_{ngq 1}} .

Deshalb brauchen wir das nur zu zeigen {displaystyle limsup _{nto infty }{frac {EIN_{n}}{B_{n}}}leq limsup _{nto infty }{frac {a_{n}}{b_{n}}}} . Wenn {Anzeigestil L:=limsup _{nto infty }{frac {a_{n}}{b_{n}}}=+infty } es gibt nichts zu beweisen, daher können wir annehmen {Anzeigestil L<+infty } (it can be either finite or {displaystyle -infty } ). By definition of {displaystyle limsup } , for all {displaystyle l>L} Es gibt eine natürliche Zahl {displaystyle nu >0} so dass {Anzeigestil {frac {a_{n}}{b_{n}}}nicht .} Wir können diese Ungleichung verwenden, um zu schreiben {Anzeigestil A_{n}=A_{nicht }+a_{nicht +1}+Punkte +a_{n}nicht ,} Da {Anzeigestil b_{n}>0} , wir haben auch {Anzeigestil B_{n}>0} und wir können dividieren durch {Anzeigestil B_{n}} bekommen {Anzeigestil {frac {EIN_{n}}{B_{n}}}<{frac {A_{nu }-lB_{nu }}{B_{n}}}+l,quad forall n>nicht .} Seit {Anzeigestil B_{n}bis +infty } wie {Anzeigestil nto +infty } , die Sequenz {Anzeigestil {frac {EIN_{nicht }-Pfund_{nicht }}{B_{n}}}zu 0{Text{ wie }}nto +infty {Text{ (halten }}nicht {Text{ Fest)}},} und wir erhalten {displaystyle limsup _{nto infty }{frac {EIN_{n}}{B_{n}}}leq l,quad forall l>L,} Per Definition der kleinsten Obergrenze, das bedeutet genau das {displaystyle limsup _{nto infty }{frac {EIN_{n}}{B_{n}}}leq L=limsup _{nto infty }{frac {a_{n}}{b_{n}}},} und wir sind fertig.

Beweis der ursprünglichen Aussage Jetzt, nehmen {Anzeigestil (a_{n}),(b_{n})} wie in der Aussage der allgemeinen Form des Satzes von Stolz-Cesàro und definieren {Anzeigestil Alpha _{1}=a_{1},Alpha _{k}=a_{k}-a_{k-1},,forall k>1quad beta _{1}=b_{1},Beta _{k}=b_{k}-b_{k-1},forall k>1} seit {Anzeigestil (b_{n})} ist streng monoton (wir können zum Beispiel streng steigend annehmen), {Anzeigestil Beta _{n}>0} für alle {Anzeigestil n} und da {Anzeigestil b_{n}bis +infty } Auch {Anzeigestil mathrm {B} _{n}=b_{1}+(b_{2}-b_{1})+Punkte +(b_{n}-b_{n-1})=b_{n}bis +infty } , somit können wir den eben bewiesenen Satz anwenden {Anzeigestil (Alpha _{n}),(Beta _{n})} (und ihre Teilsummen {Anzeigestil (Mathrm {EIN} _{n}),(Mathrm {B} _{n})} ) {displaystyle limsup _{nto infty }{frac {a_{n}}{b_{n}}}=limsup _{nto infty }{frac {Mathrm {EIN} _{n}}{Mathrm {B} _{n}}}leq limsup _{nto infty }{frac {Alpha _{n}}{Beta _{n}}}=limsup _{nto infty }{frac {a_{n}-a_{n-1}}{b_{n}-b_{n-1}}},} genau das wollten wir beweisen.

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