Teorema da dilatação de Stinespring

Teorema da dilatação de Stinespring (Redirecionado do teorema de fatoração de Stinespring) Ir para a navegação Ir para a pesquisa Em matemática, Teorema da dilatação de Stinespring, também chamado de teorema de fatoração de Stinespring, com o nome de W. Forrest Stinespring, é um resultado da teoria do operador que representa qualquer mapa completamente positivo em uma C*-álgebra como uma composição de dois mapas completamente positivos, cada um com uma forma especial: Uma *-representação de A em algum espaço auxiliar de Hilbert K seguido por um mapa de operador da forma T → V*TV.

Além disso, O teorema de Stinespring é um teorema de estrutura de uma C*-álgebra para a álgebra de operadores limitados em um espaço de Hilbert. Mapas completamente positivos são mostrados como simples modificações de *-representações, ou às vezes chamados de *-homomorfismos.

Conteúdo 1 Formulação 2 Esboço de prova 3 Minimalidade 4 Singularidade 5 Algumas consequências 5.1 Construção GNS 5.2 Teorema de Choi 5.3 Teorema da dilatação de Naimark 5.4 Teorema da dilatação de Sz.-Nagy 6 Inscrição 7 References Formulation In the case of a unital C*-algebra, O resultado é o seguinte: Teorema. Seja A uma C*-álgebra unitária, H é um espaço de Hilbert, e B(H) sejam os operadores limitados em H. Para cada totalmente positivo {estilo de exibição Phi :A para B(H),} existe um espaço de Hilbert K e um *-homomorfismo unitário {estilo de exibição pi :A para B(K)} de tal modo que {estilo de exibição Phi (uma)=V^{ast }pi (uma)V,} Onde {estilo de exibição V:Hto K} é um operador limitado. Além disso, temos {estilo de exibição |Phi (1)|=|V|^{2}.} Informalmente, pode-se dizer que todo mapa completamente positivo {estilo de exibição Phi } pode ser "levantado" até um mapa do formulário {estilo de exibição V^{*}(cdot )V} .

A recíproca do teorema é verdadeira trivialmente. Assim, o resultado de Stinespring classifica mapas completamente positivos.

Sketch of proof We now briefly sketch the proof. Deixar {estilo de exibição K=Aotimes H} . Por {estilo de exibição ao vezes h, botimes gin K} , definir {displaystyle lang aotimes h,edições grangle _{K}:= lang Phi (b^{*}uma)h,grangle _{H}=lângulo h,Phi (um^{*}b)grangle _{H}} e estender por semi-linearidade para todo K. Esta é uma forma sesquilinear hermitiana porque {estilo de exibição Phi } é compatível com o * Operação. Positividade completa de {estilo de exibição Phi } é então usado para mostrar que esta forma sesquilinear é de fato semidefinida positiva. Como as formas sesquilineares hermitianas semidefinidas positivas satisfazem a desigualdade de Cauchy-Schwarz, o subconjunto {estilo de exibição K'={xin Kmid lang,xrangle _{K}=0}subconjunto K} é um subespaço. Podemos remover a degenerescência considerando o espaço quociente {estilo de exibição K/K'} . A conclusão deste espaço quociente é então um espaço de Hilbert, também denotado por {estilo de exibição K} . Próxima definição {estilo de exibição pi (uma)(publicações g)= abotimes g} e {estilo de exibição Vh=1_{UMA}às vezes h} . Pode-se verificar que {estilo de exibição pi } e {estilo de exibição V} tem as propriedades desejadas.

Notar que {estilo de exibição V} é apenas a incorporação algébrica natural de H em K. Pode-se verificar que {estilo de exibição V^{ast }(às vezes h)=Phi (uma)h} detém. Em particular {estilo de exibição V^{ast }V=Phi (1)} segura para que {estilo de exibição V} é uma isometria se e somente se {estilo de exibição Phi (1)=1} . Neste caso H pode ser incorporado, no sentido do espaço de Hilbert, em K e {estilo de exibição V^{ast }} , agindo em K, torna-se a projeção em H. Simbolicamente, nós podemos escrever {estilo de exibição Phi (uma)=P_{H};pi (uma){Grande |}_{H}.} Na linguagem da teoria da dilatação, isso é dizer que {estilo de exibição Phi (uma)} é uma compressão de {estilo de exibição pi (uma)} . É, portanto, um corolário do teorema de Stinespring que todo mapa unitário completamente positivo é a compressão de algum *-homomorfismo.

Minimality The triple (Pi, V, K) é chamada de representação Stinespring de Φ. Uma questão natural agora é se é possível reduzir uma determinada representação de Stinespring em algum sentido.

Seja K1 o vão linear fechado de π(UMA) VH. Por propriedade de *-representações em geral, K1 é um subespaço invariante de π(uma) para todos um. Também, K1 contém VH. Definir {estilo de exibição pi _{1}(uma)=pi (uma){Grande |}_{K_{1}}.} Podemos calcular diretamente {estilo de exibição {começar{alinhado}pi_{1}(uma)pi_{1}(b)&=pi (uma){Grande |}_{K_{1}}pi (b){Grande |}_{K_{1}}\&=pi (uma)pi (b){Grande |}_{K_{1}}\&=pi (ab){Grande |}_{K_{1}}\&=pi _{1}(ab)fim{alinhado}}} e se k e ℓ estão em K1 {estilo de exibição {começar{alinhado}ângulo pi _{1}(um^{*})k,ell rangle &=langle pi (um^{*})k,ell rangle \&=langle pi (uma)^{*}k,ell rangle \&=langle k,pi (uma)ell rangle \&=langle k,pi_{1}(uma)ell rangle \&=langle pi _{1}(uma)^{*}k,ell chocalho .end{alinhado}}} Então (p1, V, K1) é também uma representação de Stinespring de Φ e tem a propriedade adicional de que K1 é o vão linear fechado de π(UMA) VH. Tal representação é chamada de representação mínima de Stinespring.

Uniqueness Let (p1, V1, K1) e (p2, V2, K2) ser duas representações Stinespring de um determinado Φ. Define a partial isometry W : K1 → K2 por {estilo de exibição ;Wpi_{1}(uma)V_{1}h=pi_{2}(uma)V_{2}h.} Em V1H ⊂ K1, isso dá a relação de entrelaçamento {estilo de exibição ;Wpi_{1}=pi_{2}C.} Em particular, se ambas as representações de Stinespring forem mínimas, W é unitário. Assim, representações mínimas de Stinespring são únicas até uma transformação unitária.

Some consequences We mention a few of the results which can be viewed as consequences of Stinespring's theorem. Historicamente, alguns dos resultados abaixo precederam o teorema de Stinespring.

GNS construction The Gelfand–Naimark–Segal (GNS) construção é a seguinte. Seja H no teorema de Stinespring unidimensional, ou seja. os números complexos. Então Φ agora é um funcional linear positivo em A. Se assumirmos que Φ é um estado, isso é, Φ tem norma 1, então a isometria {estilo de exibição V:Hto K} é determinado por {estilo de exibição V1=xi } para alguns {estilo de exibição xi em K} da norma da unidade. Então {estilo de exibição {começar{alinhado}Phi (uma)=V^{*}pi (uma)V&=langle V^{*}pi (uma)V1,1rangle _{H}\&=langle pi (uma)V1,V1rangle _{K}\&=langle pi (uma)XI ,xi faixa _{K}fim{alinhado}}} e recuperamos a representação GNS dos estados. Esta é uma maneira de ver que mapas completamente positivos, ao invés de meramente positivos, são as verdadeiras generalizações de funcionais positivos.

Um funcional linear positivo em uma C*-álgebra é absolutamente contínuo em relação a outro funcional. (chamado de funcional de referência) se for zero em qualquer elemento positivo no qual o funcional positivo de referência é zero. Isso leva a uma generalização não comutativa do teorema Radon-Nikodym. O operador de densidade usual de estados nas álgebras de matriz em relação ao traço padrão nada mais é do que a derivada Radon-Nikodym quando o funcional de referência é escolhido para ser traço. Belavkin introduziu a noção de continuidade absoluta completa de um mapa completamente positivo em relação a outro (referência) map e provou uma variante de operador do teorema Radon–Nikodym não comutativo para mapas completamente positivos. Um caso particular deste teorema correspondendo a um mapa de referência completamente positivo na matriz álgebra leva ao operador Choi como uma derivada Radon–Nikodym de um mapa CP em relação ao traço padrão (veja o teorema de Choi).

Choi's theorem It was shown by Choi that if {estilo de exibição Phi :B(G)para B(H)} é totalmente positivo, onde G e H são espaços de Hilbert de dimensão finita de dimensões n e m, respectivamente, então Φ assume a forma: {estilo de exibição Phi (uma)=soma _{i=1}^{nm}V_{eu}^{*}do_{eu}.} Isso é chamado de teorema de Choi em mapas completamente positivos. Choi provou isso usando técnicas de álgebra linear, mas seu resultado também pode ser visto como um caso especial do teorema de Stinespring: Deixar (Pi, V, K) seja uma representação mínima de Stinespring de Φ. Por minimalidade, K tem dimensão menor que a de {estilo de exibição C^{vezes n}às vezes C^{m}} . Assim, sem perda de generalidade, K pode ser identificado com {estilo de exibição K = bigoplus _{i=1}^{nm}C_{eu}^{n}.} Cada {estilo de exibição C_{eu}^{n}} é uma cópia do espaço de Hilbert n-dimensional. A partir de {estilo de exibição pi (uma)(publicações g)= abotimes g} , vemos que a identificação acima de K pode ser arranjada de modo {estilo de exibição ;P_{eu}pi (uma)P_{eu}=a} , onde Pi é a projeção de K para {estilo de exibição C_{eu}^{n}} . Deixar {estilo de exibição V_{eu}=P_{eu}V} . Nós temos {estilo de exibição Phi (uma)=soma _{i=1}^{nm}(V^{*}P_{eu})(P_{eu}pi (uma)P_{eu})(P_{eu}V)=soma _{i=1}^{nm}V_{eu}^{*}do_{eu}} e o resultado de Choi é provado.

O resultado de Choi é um caso particular do teorema Radon–Nikodym não comutativo para valores completamente positivos (PC) mapas correspondentes a um mapa de referência completamente positivo na matriz álgebras. Na forma de operador forte este teorema geral foi provado por Belavkin em 1985 que mostrou a existência do operador densidade positiva representando um mapa CP que é absolutamente absolutamente contínuo em relação a um mapa CP de referência. A singularidade deste operador de densidade na representação Steinspring de referência simplesmente decorre da minimalidade desta representação. Desta forma, O operador de Choi é a derivada Radon–Nikodym de um mapa CP de dimensão finita em relação ao traço padrão.

Notar que, provando o teorema de Choi, bem como o teorema de Belavkin da formulação de Stinespring, o argumento não dá aos operadores de Kraus Vi explicitamente, a menos que se torne explícitas as várias identificações de espaços. Por outro lado, A prova original de Choi envolve o cálculo direto desses operadores.

Naimark's dilation theorem Naimark's theorem says that every B(H)-valorizado, medida aditiva fracamente contável em algum espaço compacto de Hausdorff X pode ser "levantado" para que a medida se torne uma medida espectral. Pode ser provado combinando o fato de que C(X) é uma C*-álgebra comutativa e o teorema de Stinespring.

Sz.-Nagy's dilation theorem This result states that every contraction on a Hilbert space has a unitary dilation with the minimality property.

Application In quantum information theory, canais quânticos, ou operações quânticas, são definidos como mapas completamente positivos entre C*-álgebras. Sendo uma classificação para todos esses mapas, O teorema de Stinespring é importante nesse contexto. Por exemplo, a parte de singularidade do teorema tem sido usada para classificar certas classes de canais quânticos.

Para a comparação de diferentes canais e cálculo de suas fidelidades mútuas e informações, outra representação dos canais por seus "Radon–Nikodym" derivados introduzidos por Belavkin é útil. No caso de dimensão finita, O teorema de Choi como a variante tracial do teorema Radon-Nikodym de Belavkin para mapas completamente positivos também é relevante. Os operadores {estilo de exibição {V_{eu}}} da expressão {estilo de exibição Phi (uma)=soma _{i=1}^{nm}V_{eu}^{*}do_{eu}.} são chamados de operadores de Kraus de Φ. A expressão {soma de estilo de exibição _{i=1}^{nm}V_{eu}^{*}(cdot )V_{eu}} às vezes é chamado de representação de soma de operadores de Φ.

Referências M.-D. Choi, Mapas lineares completamente positivos em matrizes complexas, Álgebra Linear e suas Aplicações, 10, 285-290 (1975). V. P. Distribuir, P. Staszewski, Teorema Radon-Nikodym para Mapas Completamente Positivos, Relatórios sobre Física Matemática, v. 24, Não 1, 49-55 (1986). V. Paulsen, Mapas completamente delimitados e álgebras de operador, Cambridge University Press, 2003. C. F. Salto de pedra, Funções Positivas em C*-álgebras, Anais da American Mathematical Society, 6, 211-216 (1955). hide vte Functional analysis (tópicos – glossário) Spaces BanachBesovFréchetHilbertHölderNuclearOrliczSchwartzSobolevtopological vector Properties barrelledcompletedual (algébrico/topológico)locally convexreflexiveseparable Theorems Hahn–BanachRiesz representationclosed graphuniform boundedness principleKakutani fixed-pointKrein–Milmanmin–maxGelfand–NaimarkBanach–Alaoglu Operators adjointboundedcompactHilbert–Schmidtnormalnucleartrace classtransposeunboundedunitary Algebras Banach algebraC*-algebraspectrum of a C*-algebraoperator algebragroup algebra of a locally compact groupvon Neumann algebra Open problems invariant subspace problemMahler's conjecture Applications Hardy spacespectral theory of ordinary differential equationsheat kernelindex theoremcalculus of variationsfunctional calculusintegral operatorJones polynomialtopological quantum field theorynoncommutative geometryRiemann hypothesisdistribution (ou funções generalizadas) Advanced topics approximation propertybalanced setChoquet theoryweak topologyBanach–Mazur distanceTomita–Takesaki theory Categories: Teoria de operadoresÁlgebras de operadoresTeoremas em análise funcional