Teorema di dilatazione di Stinespring

Teorema di dilatazione di Stinespring (Reindirizzato da teorema di fattorizzazione di Stinespring) Vai alla navigazione Vai alla ricerca In matematica, Teorema di dilatazione di Stinespring, chiamato anche teorema di fattorizzazione di Stinespring, intitolato a W. Forrest Stinespring, è il risultato della teoria degli operatori che rappresenta qualsiasi mappa completamente positiva su un'algebra C* come composizione di due mappe completamente positive ciascuna delle quali ha una forma speciale: A *-rappresentazione di A su uno spazio ausiliario di Hilbert K seguito da una mappa dell'operatore della forma T → V*TV.

Inoltre, Il teorema di Stinespring è un teorema di struttura da un'algebra C* nell'algebra di operatori limitati su uno spazio di Hilbert. Le mappe completamente positive sono mostrate come semplici modifiche delle *-rappresentazioni, o talvolta chiamati *-omomorfismi.

Contenuti 1 Formulazione 2 Schizzo di prova 3 Minimità 4 Unicità 5 Alcune conseguenze 5.1 Costruzione GNS 5.2 Il teorema di Choi 5.3 Teorema di dilatazione di Naimark 5.4 Teorema di dilatazione di Sz.-Nagy 6 Applicazione 7 Riferimenti Formulazione Nel caso di una C*-algebra unitaria, il risultato è il seguente: Teorema. Sia A una C*-algebra unitaria, H sia uno spazio di Hilbert, e B(H) essere gli operatori limitati su H. Per ogni completamente positivo {stile di visualizzazione Phi :Ato B(H),} esiste uno spazio di Hilbert K e un *-omomorfismo unitario {stile di visualizzazione pi :Ato B(K)} tale che {stile di visualizzazione Phi (un)=V^{ast }pi (un)V,} dove {stile di visualizzazione V:Hto K} è un operatore limitato. Inoltre, noi abbiamo {stile di visualizzazione |Phi (1)|=|V|^{2}.} In modo informale, si può dire che ogni mappa completamente positiva {stile di visualizzazione Phi } può essere "sollevato" fino a una mappa del modulo {stile di visualizzazione V^{*}(cdot )V} .

Il contrario del teorema è vero banalmente. Quindi il risultato di Stinespring classifica mappe completamente positive.

Schizzo della dimostrazione Abbozziamo ora brevemente la dimostrazione. Permettere {displaystyle K=Aotimes H} . Per {stile di visualizzazione a volte h, botimes gin K} , definire {displaystyle langle aotimes h,edizioni grangle _{K}:= angolo Phi (b^{*}un)h,graniglia _{H}= angolo h,Phi (un^{*}b)graniglia _{H}} ed estendersi per semi-linearità a tutto K. Questa è una forma sesquilineare hermitiana perché {stile di visualizzazione Phi } è compatibile con il * operazione. Completa positività di {stile di visualizzazione Phi } viene quindi utilizzato per mostrare che questa forma sesquilineare è in effetti semidefinita positiva. Poiché le forme sesquilineari hermitiane semidefinite positive soddisfano la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, il sottoinsieme {stile di visualizzazione K'={xin Kmid angolo x,angolo x _{K}=0}sottoinsieme K} è un sottospazio. Possiamo rimuovere la degenerazione considerando lo spazio quoziente {stile di visualizzazione K/K'} . Il completamento di questo spazio quoziente è quindi uno spazio di Hilbert, indicato anche da {stile di visualizzazione K} . Avanti definire {stile di visualizzazione pi (un)(pubblicazioni g)= abotime g} e {stile di visualizzazione Vh=1_{UN}a volte h} . Si può verificarlo {stile di visualizzazione pi } e {stile di visualizzazione V} avere le proprietà desiderate.

Notare che {stile di visualizzazione V} è solo l'inclusione algebrica naturale di H in K. Si può verificarlo {stile di visualizzazione V^{ast }(a volte h)=Fi (un)h} tiene. In particolare {stile di visualizzazione V^{ast }V=Fi (1)} tiene così {stile di visualizzazione V} è un'isometria se e solo se {stile di visualizzazione Phi (1)=1} . In questo caso H può essere incorporato, nel senso dello spazio di Hilbert, in K e {stile di visualizzazione V^{ast }} , agendo su K, diventa la proiezione su H. Simbolicamente, possiamo scrivere {stile di visualizzazione Phi (un)=P_{H};pi (un){Grande |}_{H}.} Nel linguaggio della teoria della dilatazione, questo per dire questo {stile di visualizzazione Phi (un)} è una compressione di {stile di visualizzazione pi (un)} . È quindi un corollario del teorema di Stinespring che ogni mappa unitaria completamente positiva è la compressione di qualche *-omomorfismo.

Minimità Il triplo (Pi, V, K) è chiamata rappresentazione Stinespring di Φ. Una domanda naturale è ora se si possa ridurre in qualche modo una data rappresentazione di Stinespring.

Sia K1 l'intervallo lineare chiuso di π(UN) VH. Per proprietà delle *-rappresentazioni in generale, K1 è un sottospazio invariante di π(un) per tutti a. Anche, K1 contiene VH. Definire {stile di visualizzazione pi _{1}(un)= pi (un){Grande |}_{K_{1}}.} Possiamo calcolare direttamente {stile di visualizzazione {inizio{allineato}pi_{1}(un)pi_{1}(b)&=pi (un){Grande |}_{K_{1}}pi (b){Grande |}_{K_{1}}\&=pi (un)pi (b){Grande |}_{K_{1}}\&=pi (ab){Grande |}_{K_{1}}\&=pi _{1}(ab)fine{allineato}}} e se k e ℓ giacciono in K1 {stile di visualizzazione {inizio{allineato}angolo pi _{1}(un^{*})K,ell rangle &=langle pi (un^{*})K,ell rangle \&=langle pi (un)^{*}K,ell rangle \&=langle k,pi (un)ell rangle \&=langle k,pi_{1}(un)ell rangle \&=langle pi _{1}(un)^{*}K,ell sonaglio .end{allineato}}} Così (p1, V, K1) è anche una rappresentazione di Stinespring di Φ e ha la proprietà aggiuntiva che K1 è l'intervallo lineare chiuso di π(UN) VH. Tale rappresentazione è chiamata rappresentazione minima di Stinespring.

Unicità Let (p1, V1, K1) e (p2, V2, K2) essere due rappresentazioni Stinespring di un dato Φ. Definire un'isometria parziale W : K1 → K2 di {stile di visualizzazione ;Wpi _{1}(un)V_{1}h=pi _{2}(un)V_{2}h.} Su V1H ⊂ K1, questo dà la relazione di intreccio {stile di visualizzazione ;Wpi _{1}=pi _{2}w.} In particolare, se entrambe le rappresentazioni di Stinespring sono minime, W è unitario. Quindi le rappresentazioni minime di Stinespring sono uniche fino a una trasformazione unitaria.

Alcune conseguenze Citiamo alcuni dei risultati che possono essere visti come conseguenze del teorema di Stinespring. Storicamente, alcuni dei risultati seguenti hanno preceduto il teorema di Stinespring.

Costruzione GNS Gelfand–Naimark–Segal (GNS) la costruzione è la seguente. Sia H nel teorema di Stinespring unidimensionale, cioè. i numeri complessi. Quindi Φ ora è un funzionale lineare positivo su A. Se assumiamo che Φ sia uno stato, questo è, Φ ha norma 1, poi l'isometria {stile di visualizzazione V:Hto K} è determinato da {stile di visualizzazione V1=xi } per alcuni {stile di visualizzazione xi in K} di norma unitaria. Così {stile di visualizzazione {inizio{allineato}Phi (un)=V^{*}pi (un)V&=langle V^{*}pi (un)V1,1angolo _{H}\&=langle pi (un)V1,V1angolo _{K}\&=langle pi (un)xi ,xi raggio _{K}fine{allineato}}} e abbiamo recuperato la rappresentazione GNS degli stati. Questo è un modo per vedere le mappe completamente positive, piuttosto che solo positivi, sono le vere generalizzazioni dei funzionali positivi.

Un funzionale lineare positivo su una C*-algebra è assolutamente continuo rispetto ad un altro funzionale simile (chiamato funzionale di riferimento) se è zero su qualsiasi elemento positivo su cui il funzionale positivo di riferimento è zero. Ciò porta a una generalizzazione non commutativa del teorema di Radon-Nikodym. Il solito operatore di densità degli stati sulle algebre matriciali rispetto alla traccia standard non è altro che la derivata Radon-Nikodym quando si sceglie il funzionale di riferimento come traccia. Belavkin ha introdotto la nozione di completa continuità assoluta di una mappa completamente positiva rispetto a un'altra (riferimento) map e ha dimostrato una variante dell'operatore del teorema di Radon-Nikodym non commutativo per mappe completamente positive. Un caso particolare di questo teorema corrispondente a una mappa di riferimento traciale completamente positiva sulle algebre matriciali porta all'operatore Choi come derivato Radon-Nikodym di una mappa CP rispetto alla traccia standard (vedi il teorema di Choi).

Il teorema di Choi È stato dimostrato da Choi che se {stile di visualizzazione Phi :B(G)essere(H)} è del tutto positivo, dove G e H sono spazi di Hilbert a dimensione finita rispettivamente di dimensioni n e m, allora Φ prende la forma: {stile di visualizzazione Phi (un)=somma _{io=1}^{nm}V_{io}^{*}di_{io}.} Questo è chiamato teorema di Choi su mappe completamente positive. Choi lo ha dimostrato usando tecniche di algebra lineare, ma il suo risultato può anche essere visto come un caso speciale del teorema di Stinespring: Permettere (Pi, V, K) essere una rappresentazione minima di Stinespring di Φ. Per minimalità, K ha dimensione minore di quella di {stile di visualizzazione C^{volte n}a volte C^{m}} . Quindi senza perdita di generalità, K può essere identificato con {displaystyle K=bigoplus _{io=1}^{nm}C_{io}^{n}.} A testa {stile di visualizzazione C_{io}^{n}} è una copia dello spazio n-dimensionale di Hilbert. Da {stile di visualizzazione pi (un)(pubblicazioni g)= abotime g} , vediamo che l'identificazione di K di cui sopra può essere organizzata così {stile di visualizzazione ;P_{io}pi (un)P_{io}=a} , dove Pi è la proiezione da K a {stile di visualizzazione C_{io}^{n}} . Permettere {stile di visualizzazione V_{io}=P_{io}V} . abbiamo {stile di visualizzazione Phi (un)=somma _{io=1}^{nm}(V^{*}P_{io})(P_{io}pi (un)P_{io})(P_{io}V)=somma _{io=1}^{nm}V_{io}^{*}di_{io}} e il risultato di Choi è dimostrato.

Il risultato di Choi è un caso particolare del teorema di Radon-Nikodym non commutativo per completamente positivo (CP) mappe corrispondenti ad una mappa di riferimento traciale completamente positiva sulle algebre matriciali. In forma di operatore forte questo teorema generale è stato dimostrato da Belavkin in 1985 che ha mostrato l'esistenza dell'operatore di densità positiva che rappresenta una mappa CP che è completamente assolutamente continua rispetto ad una mappa CP di riferimento. L'unicità di questo operatore di densità nella rappresentazione Steinspring di riferimento deriva semplicemente dalla minimalità di questa rappresentazione. così, L'operatore di Choi è il derivato Radon-Nikodym di una mappa CP a dimensione finita rispetto alla traccia standard.

Notare che, nella dimostrazione del teorema di Choi, così come il teorema di Belavkin dalla formulazione di Stinespring, l'argomento non fornisce esplicitamente gli operatori di Kraus Vi, a meno che non si espliciti la diversa identificazione degli spazi. D'altro canto, La dimostrazione originale di Choi implica il calcolo diretto di quegli operatori.

Il teorema di dilatazione di Naimark Il teorema di Naimark afferma che ogni B(H)-apprezzato, può essere una misura additiva debolmente numerabile su uno spazio X di Hausdorff compatto "sollevato" in modo che la misura diventi una misura spettrale. Si può provare combinando il fatto che C(X) è una C*-algebra commutativa e il teorema di Stinespring.

Teorema di dilatazione di Sz.-Nagy Questo risultato afferma che ogni contrazione su uno spazio di Hilbert ha una dilatazione unitaria con la proprietà di minimalità.

Applicazione Nella teoria dell'informazione quantistica, canali quantistici, o operazioni quantistiche, sono definite come mappe completamente positive tra C*-algebre. Essendo una classificazione per tutte queste mappe, Il teorema di Stinespring è importante in quel contesto. Per esempio, la parte dell'unicità del teorema è stata utilizzata per classificare alcune classi di canali quantistici.

Per il confronto di diversi canali e il calcolo delle loro reciproche fedeltà e informazioni, un'altra rappresentazione dei canali da parte loro "Radon-Nikodym" i derivati ​​introdotti da Belavkin sono utili. Nel caso a dimensione finita, Anche il teorema di Choi come variante traciale del teorema Radon-Nikodym di Belavkin per mappe completamente positive è rilevante. Gli operatori {stile di visualizzazione {V_{io}}} dall'espressione {stile di visualizzazione Phi (un)=somma _{io=1}^{nm}V_{io}^{*}di_{io}.} sono chiamati operatori di Kraus di Φ. L'espressione {somma dello stile di visualizzazione _{io=1}^{nm}V_{io}^{*}(cdot )V_{io}} è talvolta chiamato rappresentazione della somma dell'operatore di Φ.

Riferimenti M.-D. Choi, Mappe lineari completamente positive su matrici complesse, Algebra lineare e sue applicazioni, 10, 285–290 (1975). V. P. Distribuire, P. Staszewski, Teorema di Radon-Nikodym per mappe completamente positive, Relazioni sulla fisica matematica, v. 24, No 1, 49–55 (1986). V. Paulsen, Mappe completamente delimitate e algebre degli operatori, Cambridge University Press, 2003. w. F. Salto di pietra, Funzioni positive su C*-algebre, Atti dell'American Mathematical Society, 6, 211–216 (1955). nascondi vte Analisi funzionale (argomenti – glossario) Spazi BanachBesovFréchetHilbertHölderNucleareOrliczSchwartzSobolevVettore topologico Proprietà barrelledcompletatodual (algebrico/topologico)localmente convessoriflessivoseparabile TeoremiHahn–BanachRieszrappresentazionegrafo chiusoprincipio di limitatezza uniformeKakutani punto fissoKrein–Milmanmin–maxGelfand–NaimarkBanach–Alaoglu Operatori adjointboundedcompactHilbert–Schmidtnormalnucleartrace classtransposeunboundedunitary Algebres Algebra di BanachC*-algebraspettro di un'algebra C*problemi di un operatore algebra localmente compatto di un'algebra di Neumanngruppo compatto di un'algebra di Neumann Problema del sottospazio Congettura di Mahler Applicazioni Spazio di Hardy Teoria spettrale delle equazioni differenziali ordinarie Heat Kernel Teorema dell'indice Calcolo delle variazioni Calcolo funzionale Operatore integrale Polinomio di Jones Teoria dei campi quantistici topologici Geometria non commutativa Ipotesi di Riemann Distribuzione (o funzioni generalizzate) Argomenti avanzati proprietà di approssimazione insieme bilanciato Teoria di Choquet topologia debole Distanza di Banach–Mazur Teoria di Tomita–Takesaki Categorie: Teoria degli operatoriAlgebre degli operatoriTeoremi nell'analisi funzionale