Théorème de dilatation de Stinespring

Théorème de dilatation de Stinespring (Redirigé depuis le théorème de factorisation de Stinespring) Aller à la navigation Aller à la recherche En mathématiques, Théorème de dilatation de Stinespring, également appelé théorème de factorisation de Stinespring, nommé d'après W. Forrest Stinespring, est un résultat de la théorie des opérateurs qui représente toute carte complètement positive sur une algèbre C * comme une composition de deux cartes complètement positives dont chacune a une forme spéciale: Une *-représentation de A sur un espace de Hilbert auxiliaire K suivi de Une carte d'opérateurs de la forme T → V*TV.

En outre, Le théorème de Stinespring est un théorème de structure d'une algèbre C * dans l'algèbre des opérateurs bornés sur un espace de Hilbert. Les cartes complètement positives se révèlent être de simples modifications des représentations *, ou parfois appelés *-homomorphismes.

Contenu 1 Formulation 2 Esquisse de preuve 3 Minimalité 4 Unicité 5 Quelques conséquences 5.1 Construction GNS 5.2 Théorème de Choi 5.3 Théorème de dilatation de Naimark 5.4 Théorème de dilatation de Sz.-Nagy 6 Application 7 References Formulation In the case of a unital C*-algebra, le résultat est le suivant: Théorème. Soit A une C*-algèbre unitaire, H être un espace de Hilbert, et B(H) les opérateurs bornés sur H. Pour chaque complètement positif {style d'affichage Phi :A à B(H),} il existe un espace de Hilbert K et un *-homomorphisme unitaire {style d'affichage pi :A à B(K)} tel que {style d'affichage Phi (un)=V^{dernièrement }pi (un)V,} où {style d'affichage V:H à K} est un opérateur borné. Par ailleurs, Nous avons {style d'affichage |Phi (1)|=|V|^{2}.} Informellement, on peut dire que toute carte complètement positive {style d'affichage Phi } peut être "levé" jusqu'à une carte de la forme {style d'affichage V^{*}(cdot )V} .

La réciproque du théorème est vraie trivialement. Ainsi, le résultat de Stinespring classe les cartes complètement positives.

Sketch of proof We now briefly sketch the proof. Laisser {style d'affichage K=Aotimes H} . Pour {style d'affichage parfois h, botimes gin K} , définir {displaystyle langle aotimes h,éditions grangle _{K}:= angle Phi (b^{*}un)h,grangler _{H}=angle h,Phi (un ^{*}b)grangler _{H}} et étendre par semi-linéarité à tout K. Il s'agit d'une forme hermitienne sesquilinéaire car {style d'affichage Phi } est compatible avec le * opération. Positivité complète de {style d'affichage Phi } est ensuite utilisée pour montrer que cette forme sesquilinéaire est en fait semi-définie positive. Puisque les formes sesquilinéaires hermitiennes semi-définies positives satisfont l'inégalité de Cauchy-Schwarz, le sous-ensemble {style d'affichage K'={xin Kmi langle x,xangle _{K}=0}sous-ensemble K} est un sous-espace. Nous pouvons supprimer la dégénérescence en considérant l'espace quotient {style d'affichage K/K'} . La complétion de cet espace quotient est alors un espace de Hilbert, également désigné par {style d'affichage K} . Définir ensuite {style d'affichage pi (un)(publicationsg)= plus de g} et {style d'affichage Vh=1_{UN}parfois h} . On peut vérifier que {style d'affichage pi } et {style d'affichage V} avoir les propriétés recherchées.

Remarquerez que {style d'affichage V} est juste le plongement algébrique naturel de H dans K. On peut vérifier que {style d'affichage V^{dernièrement }(parfois h)=Phi (un)h} détient. En particulier {style d'affichage V^{dernièrement }V=Phi (1)} tient pour que {style d'affichage V} est une isométrie si et seulement si {style d'affichage Phi (1)=1} . Dans ce cas H peut être plongé, au sens de l'espace de Hilbert, en K et {style d'affichage V^{dernièrement }} , agissant sur K, devient la projection sur H. Symboliquement, nous pouvons écrire {style d'affichage Phi (un)=P_{H};pi (un){Gros |}_{H}.} Dans le langage de la théorie de la dilatation, c'est pour dire que {style d'affichage Phi (un)} est une compression de {style d'affichage pi (un)} . C'est donc un corollaire du théorème de Stinespring que toute application unitaire complètement positive est la compression d'un *-homomorphisme.

Minimality The triple (Pi, V, K) est appelée une représentation de Stinespring de Φ. Une question naturelle est maintenant de savoir si l'on peut réduire une représentation de Stinespring donnée dans un certain sens.

Soit K1 la plage linéaire fermée de π(UN) VH. Par propriété des *-représentations en général, K1 est un sous-espace invariant de π(un) pour tous un. Aussi, K1 contient VH. Définir {style d'affichage pi _{1}(un)=pi (un){Gros |}_{K_{1}}.} On peut calculer directement {style d'affichage {commencer{aligné}pi _{1}(un)pi _{1}(b)&=pi (un){Gros |}_{K_{1}}pi (b){Gros |}_{K_{1}}\&=pi (un)pi (b){Gros |}_{K_{1}}\&=pi (un B){Gros |}_{K_{1}}\&=pi _{1}(un B)fin{aligné}}} et si k et ℓ sont dans K1 {style d'affichage {commencer{aligné}langle pi _{1}(un ^{*})k,ell rangle &=langle pi (un ^{*})k,ell rangle \&=langle pi (un)^{*}k,ell rangle \&=langle k,pi (un)ell rangle \&=langle k,pi _{1}(un)ell rangle \&=langle pi _{1}(un)^{*}k,ell hochet .fin{aligné}}} Alors (p1, V, K1) est également une représentation de Stinespring de Φ et a la propriété supplémentaire que K1 est la plage linéaire fermée de π(UN) VH. Une telle représentation est appelée une représentation minimale de Stinespring.

Uniqueness Let (p1, V1, K1) et (p2, V2, K2) être deux représentations de Stinespring d'un Φ donné. Define a partial isometry W : K1 → K2 par {style d'affichage ;Wpi _{1}(un)V_{1}h=pi _{2}(un)V_{2}h.} Sur V1H ⊂ K1, cela donne la relation d'entrelacement {style d'affichage ;Wpi _{1}=pi _{2}W} En particulier, si les deux représentations de Stinespring sont minimales, W est unitaire. Ainsi, les représentations minimales de Stinespring sont uniques à une transformation unitaire près.

Some consequences We mention a few of the results which can be viewed as consequences of Stinespring's theorem. Historiquement, certains des résultats ci-dessous ont précédé le théorème de Stinespring.

GNS construction The Gelfand–Naimark–Segal (GNS) la construction est la suivante. Soit H dans le théorème de Stinespring à 1 dimension, c'est à dire. les nombres complexes. Alors Φ est maintenant une fonctionnelle linéaire positive sur A. Si nous supposons que Φ est un état, C'est, Φ a la norme 1, puis l'isométrie {style d'affichage V:H à K} est déterminé par {style d'affichage V1=xi } pour certains {style d'affichage xi en K} de la norme unitaire. Alors {style d'affichage {commencer{aligné}Phi (un)=V^{*}pi (un)V&=langle V^{*}pi (un)V1,1angle _{H}\&=langle pi (un)V1,V1angle _{K}\&=langle pi (un)xii ,xi gamme _{K}fin{aligné}}} et nous avons récupéré la représentation GNS des états. C'est une façon de voir que des cartes complètement positives, plutôt que simplement positifs, sont les vraies généralisations des fonctionnelles positives.

Une fonctionnelle positive linéaire sur une algèbre C * est absolument continue par rapport à une autre fonctionnelle de ce type (appelée fonctionnelle de référence) s'il est nul sur tout élément positif dont la fonctionnelle positive de référence est nulle. Cela conduit à une généralisation non commutative du théorème de Radon-Nikodym. L'opérateur de densité habituel des états sur les algèbres matricielles par rapport à la trace standard n'est rien d'autre que la dérivée de Radon – Nikodym lorsque la fonctionnelle de référence est choisie comme trace. Belavkin a introduit la notion de continuité absolue complète d'une carte complètement positive par rapport à une autre (référence) carte et prouvé une variante d'opérateur du théorème non commutatif de Radon – Nikodym pour des cartes complètement positives. Un cas particulier de ce théorème correspondant à une carte de référence traciale complètement positive sur les algèbres matricielles conduit à l'opérateur Choi comme dérivée de Radon – Nikodym d'une carte CP par rapport à la trace standard (voir le théorème de Choi).

Choi's theorem It was shown by Choi that if {style d'affichage Phi :B(g)à B(H)} est tout à fait positif, où G et H sont des espaces de Hilbert de dimension finie de dimensions n et m respectivement, alors Φ prend la forme: {style d'affichage Phi (un)=somme _{je=1}^{nm}V_{je}^{*}de_{je}.} C'est ce qu'on appelle le théorème de Choi sur les cartes complètement positives. Choi l'a prouvé en utilisant des techniques d'algèbre linéaire, mais son résultat peut aussi être considéré comme un cas particulier du théorème de Stinespring: Laisser (Pi, V, K) être une représentation minimale de Stinespring de Φ. Par minimalité, K a une dimension inférieure à celle de {displaystyle C^{n fois n}parfois C^{m}} . Donc sans perte de généralité, K peut être identifié avec {style d'affichage K=bigoplus _{je=1}^{nm}C_{je}^{n}.} Chaque {displaystyle C_{je}^{n}} est une copie de l'espace de Hilbert à n dimensions. De {style d'affichage pi (un)(publicationsg)= plus de g} , nous voyons que l'identification ci-dessus de K peut être arrangée de sorte {style d'affichage ;P_{je}pi (un)P_{je}=un} , où Pi est la projection de K sur {displaystyle C_{je}^{n}} . Laisser {style d'affichage V_{je}=P_{je}V} . Nous avons {style d'affichage Phi (un)=somme _{je=1}^{nm}(V^{*}P_{je})(P_{je}pi (un)P_{je})(P_{je}V)=somme _{je=1}^{nm}V_{je}^{*}de_{je}} et le résultat de Choi est prouvé.

Le résultat de Choi est un cas particulier de théorème de Radon-Nikodym non commutatif pour complètement positif (CP) cartes correspondant à une carte traciale de référence complètement positive sur les algèbres matricielles. Sous forme d'opérateur fort, ce théorème général a été prouvé par Belavkin dans 1985 qui a montré l'existence de l'opérateur de densité positive représentant une carte CP qui est complètement absolument continue par rapport à une carte CP de référence. L'unicité de cet opérateur de densité dans la représentation de référence de Steinspring découle simplement de la minimalité de cette représentation. Ainsi, L'opérateur de Choi est la dérivée de Radon – Nikodym d'une carte CP de dimension finie par rapport à la trace standard.

Remarquerez que, en prouvant le théorème de Choi, ainsi que le théorème de Belavkin de la formulation de Stinespring, l'argument ne donne pas explicitement les opérateurs de Kraus Vi, à moins que l'on n'explicite les diverses identifications d'espaces. D'autre part, La preuve originale de Choi implique le calcul direct de ces opérateurs.

Naimark's dilation theorem Naimark's theorem says that every B(H)-estimé, mesure faiblement dénombrable-additive sur un espace de Hausdorff compact X peut être "levé" pour que la mesure devienne une mesure spectrale. On peut le prouver en combinant le fait que C(X) est une algèbre C* commutative et le théorème de Stinespring.

Sz.-Nagy's dilation theorem This result states that every contraction on a Hilbert space has a unitary dilation with the minimality property.

Application In quantum information theory, canaux quantiques, ou opérations quantiques, sont définies comme étant des applications complètement positives entre les algèbres C *. Être une classification pour toutes ces cartes, Le théorème de Stinespring est important dans ce contexte. Par exemple, la partie d'unicité du théorème a été utilisée pour classer certaines classes de canaux quantiques.

Pour la comparaison des différents canaux et le calcul de leurs fidélités et informations mutuelles, une autre représentation des canaux par leur "Radon–Nikodym" dérivés introduits par Belavkin est utile. Dans le cas de dimension finie, Le théorème de Choi en tant que variante traciale du théorème de Radon-Nikodym de Belavkin pour des cartes complètement positives est également pertinent. Les opérateurs {style d'affichage {V_{je}}} de l'expression {style d'affichage Phi (un)=somme _{je=1}^{nm}V_{je}^{*}de_{je}.} sont appelés les opérateurs de Kraus de Φ. L'expression {somme de style d'affichage _{je=1}^{nm}V_{je}^{*}(cdot )V_{je}} est parfois appelée la représentation somme de l'opérateur de Φ.

Références M.-D. Choi, Cartes linéaires complètement positives sur des matrices complexes, Algèbre linéaire et ses applications, 10, 285–290 (1975). V. P. Distribuer, P. Staszewski, Théorème de Radon-Nikodym pour les cartes complètement positives, Rapports sur la physique mathématique, v. 24, Non 1, 49–55 (1986). V. Paulsen, Cartes complètement bornées et algèbres d'opérateurs, la presse de l'Universite de Cambridge, 2003. O. F. Saut de pierre, Fonctions positives sur les C*-algèbres, Actes de l'American Mathematical Society, 6, 211–216 (1955). cacher vte Analyse fonctionnelle (sujets – glossaire) Espaces BanachBesovFréchetHilbertHölderNucléaireOrliczSchwartzSobolevvecteur topologique Propriétés tonneaucomplètedouble (algébrique/topologique)localement convexe réflexif séparable Théorèmes Hahn–Banach Représentation de Riesz graphe fermé principe de délimitation uniforme Kakutani virgule fixeKrein–Milmanmin–maxGelfand–NaimarkBanach–Alaoglu Opérateurs adjointlimitécompactHilbert–Schmidtnormalnucléairetraceclasstransposéillimitéunitaire problème de sous-espaceconjecture de MahlerApplicationsespace de Hardythéorie spectrale des équations différentielles ordinairesnoyau de chaleurthéorème d'indexcalcul des variationscalcul fonctionnelopérateur intégralpolynôme de Jonesthéorie des champs quantiques topologiquesgéométrie non commutativehypothèse de Riemanndistribution (ou fonctions généralisées) Sujets avancés propriété d'approximationensemble équilibréThéorie de Choquettopologie faibleDistance de Banach–MazurThéorie de Tomita–Takesaki Catégories: Théorie des opérateursAlgèbres d'opérateursThéorèmes en analyse fonctionnelle