Stinespring-Dilatationssatz

Stinespring-Dilatationssatz (Umgeleitet vom Faktorisierungssatz von Stinespring) Zur Navigation springen Zur Suche springen In der Mathematik, Dilatationssatz von Stinespring, auch Faktorisierungssatz von Stinespring genannt, benannt nach w. Wald Stinespring, ist ein Ergebnis der Operatortheorie, das jede vollständig positive Abbildung auf einer C*-Algebra als eine Zusammensetzung von zwei vollständig positiven Abbildungen darstellt, von denen jede eine spezielle Form hat: Eine *-Darstellung von A auf einem Hilbert-Hilfsraum K gefolgt von einer Operatorabbildung der Form T → V*TV.

Darüber hinaus, Der Satz von Stinespring ist ein Struktursatz von einer C*-Algebra in die Algebra beschränkter Operatoren auf einem Hilbert-Raum. Vollständig positive Abbildungen erweisen sich als einfache Modifikationen von *-Darstellungen, oder manchmal *-Homomorphismen genannt.

Inhalt 1 Formulierung 2 Beweisskizze 3 Minimalität 4 Einzigartigkeit 5 Einige Folgen 5.1 GNS-Konstruktion 5.2 Satz von Choi 5.3 Dilatationssatz von Naimark 5.4 Dilatationssatz von Sz.-Nagy 6 Anwendung 7 References Formulation In the case of a unital C*-algebra, das Ergebnis ist wie folgt: Satz. Sei A eine unitale C*-Algebra, H sei ein Hilbertraum, und B(H) seien die beschränkten Operatoren auf H. Für jeden rundum positiv {Anzeigestil Phi :A nach B(H),} es gibt einen Hilbertraum K und einen unitalen *-Homomorphismus {Anzeigestil pi :A nach B(K)} so dass {Anzeigestil Phi (a)=V^{Ast }Pi (a)v,} wo {Anzeigestil V:Hto K} ist ein beschränkter Operator. Außerdem, wir haben {Anzeigestil |Phi (1)|=|v|^{2}.} Informell, man kann sagen das jede komplett positive karte ist {Anzeigestil Phi } kann sein "aufgehoben" bis zu einer Karte des Formulars {Anzeigestil V^{*}(cdot )v} .

Die Umkehrung des Satzes gilt trivialerweise. Das Ergebnis von Stinespring klassifiziert also völlig positive Karten.

Sketch of proof We now briefly sketch the proof. Lassen {Anzeigestil K=Aotimes H} . Zum {displaystyle aotimes h, Botimes Gin K} , definieren {displaystyle langle aotimes h,Grangle-Editionen _{K}:= Langle Phi (b^{*}a)h,grangle _{H}=lang h,Phi (ein^{*}b)grangle _{H}} und erweitern sich durch Halblinearität auf ganz K. Dies ist eine hermitische Sesquilinearform, weil {Anzeigestil Phi } ist kompatibel mit der * Betrieb. Vollständige Positivität von {Anzeigestil Phi } wird dann verwendet, um zu zeigen, dass diese sesquilineare Form tatsächlich positiv semidefinit ist. Da positiv semidefinite hermitische Sesquilinearformen die Cauchy-Schwarz-Ungleichung erfüllen, die Teilmenge {Anzeigestil K'={xin Kmid langle x,xrangle _{K}=0}Teilmenge K} ist ein Unterraum. Wir können die Entartung beseitigen, indem wir den Quotientenraum betrachten {Anzeigestil K/K'} . Die Vervollständigung dieses Quotientenraums ist dann ein Hilbertraum, auch bezeichnet mit {Anzeigestil K} . Als nächstes definieren {Anzeigestil pi (a)(Veröffentlichungen g)=abotimes g} und {Anzeigestil Vh=1_{EIN}omal h} . Das kann man überprüfen {Anzeigestil pi } und {Anzeigestil V} die gewünschten Eigenschaften haben.

Beachte das {Anzeigestil V} ist nur die natürliche algebraische Einbettung von H in K. Das kann man verifizieren {Anzeigestil V^{Ast }(aotimes h)= Phi (a)h} hält. Im Speziellen {Anzeigestil V^{Ast }V=Phi (1)} hält damit {Anzeigestil V} ist genau dann eine Isometrie {Anzeigestil Phi (1)=1} . In diesem Fall kann H eingebettet werden, im Sinne des Hilbertraums, in K und {Anzeigestil V^{Ast }} , wirkt auf K, wird zur Projektion auf H. Symbolisch, wir können schreiben {Anzeigestil Phi (a)=P_{H};Pi (a){Groß |}_{H}.} In der Sprache der Dilatationstheorie, das ist so zu sagen {Anzeigestil Phi (a)} ist eine Komprimierung von {Anzeigestil pi (a)} . Es ist daher eine Folge des Satzes von Stinespring, dass jede unitale vollständig positive Abbildung die Kompression eines *-Homomorphismus ist.

Minimality The triple (Pi, v, K) wird als Stinespring-Darstellung von Φ bezeichnet. Eine natürliche Frage ist nun, ob man eine gegebene Stinespring-Darstellung in gewisser Weise reduzieren kann.

Sei K1 die geschlossene lineare Spanne von π(EIN) VH. Durch Eigenschaft von *-Darstellungen im Allgemeinen, K1 ist ein invarianter Unterraum von π(a) für alle a. Ebenfalls, K1 enthält VH. Definieren {Anzeigestil pi _{1}(a)=pi (a){Groß |}_{K_{1}}.} Wir können direkt rechnen {Anzeigestil {Start{ausgerichtet}Pi _{1}(a)Pi _{1}(b)&=pi (a){Groß |}_{K_{1}}Pi (b){Groß |}_{K_{1}}\&=pi (a)Pi (b){Groß |}_{K_{1}}\&=pi (ab){Groß |}_{K_{1}}\&=pi _{1}(ab)Ende{ausgerichtet}}} und wenn k und ℓ in K1 liegen {Anzeigestil {Start{ausgerichtet}Winkel Pi _{1}(ein^{*})k,ell rangle &=langle pi (ein^{*})k,ell rangle \&=langle pi (a)^{*}k,ell rangle \&=langle k,Pi (a)ell rangle \&=langle k,Pi _{1}(a)ell rangle \&=langle pi _{1}(a)^{*}k,ell rasseln .ende{ausgerichtet}}} So (p1, v, K1) ist auch eine Stinespring-Darstellung von Φ und hat die zusätzliche Eigenschaft, dass K1 die geschlossene lineare Spanne von π ist(EIN) VH. Eine solche Darstellung wird als minimale Stinespring-Darstellung bezeichnet.

Uniqueness Let (p1, V1, K1) und (p2, V2, K2) seien zwei Stinespring-Darstellungen eines gegebenen Φ. Define a partial isometry W : K1 → K2 durch {Anzeigestil ;Wpi _{1}(a)V_{1}h=pi _{2}(a)V_{2}h.} Auf V1H ⊂ K1, dies ergibt die Verflechtungsbeziehung {Anzeigestil ;Wpi _{1}=pi _{2}W.} Im Speziellen, wenn beide Stinespring-Darstellungen minimal sind, W ist unitär. Somit sind minimale Stinespring-Darstellungen bis auf eine unitäre Transformation eindeutig.

Some consequences We mention a few of the results which can be viewed as consequences of Stinespring's theorem. Historisch, Einige der folgenden Ergebnisse gingen dem Satz von Stinespring voraus.

GNS construction The Gelfand–Naimark–Segal (GNS) Aufbau ist wie folgt. Sei H im Satz von Stinespring eindimensional, d.h. die komplexen Zahlen. Also ist Φ jetzt eine positive lineare Funktion auf A. Nehmen wir an, dass Φ ein Zustand ist, das ist, Φ hat Norm 1, dann die Isometrie {Anzeigestil V:Hto K} wird bestimmt durch {Anzeigestil V1=xi } für einige {Anzeigestil xi in K} der Einheitsnorm. So {Anzeigestil {Start{ausgerichtet}Phi (a)=V^{*}Pi (a)V&=langle V^{*}Pi (a)V1,1Bereich _{H}\&=langle pi (a)V1,V1Bereich _{K}\&=langle pi (a)xi ,xi Bereich _{K}Ende{ausgerichtet}}} und wir haben die GNS-Darstellung von Zuständen wiederhergestellt. Dies ist eine Möglichkeit, diese vollständig positiven Karten zu sehen, nicht nur positive, sind die wahren Verallgemeinerungen positiver Funktionale.

Ein lineares positives Funktional auf einer C*-Algebra ist bezüglich eines anderen solchen Funktionales absolut stetig (wird Referenzfunktional genannt) wenn es auf irgendeinem positiven Element null ist, auf dem die positive Referenzfunktion null ist. Dies führt zu einer nichtkommutativen Verallgemeinerung des Radon-Nikodym-Theorems. Der übliche Dichteoperator von Zuständen auf den Matrixalgebren in Bezug auf die Standardspur ist nichts anderes als die Radon-Nikodym-Ableitung, wenn das Referenzfunktional als Spur gewählt wird. Belavkin führte den Begriff der vollständigen absoluten Kontinuität einer vollständig positiven Karte in Bezug auf eine andere ein (Hinweis) Karte und bewies eine Operatorvariante des nichtkommutativen Radon-Nikodym-Theorems für vollständig positive Karten. Ein Sonderfall dieses Theorems, der einer vollständig positiven Referenzkarte für die Tranzialität in den Matrixalgebren entspricht, führt zum Choi-Operator als Radon-Nikodym-Derivat einer CP-Karte in Bezug auf die Standardspur (siehe Satz von Choi).

Choi's theorem It was shown by Choi that if {Anzeigestil Phi :B(G)zu B(H)} ist absolut positiv, wobei G und H endlichdimensionale Hilbert-Räume der Dimensionen n bzw. m sind, dann nimmt Φ die Form an: {Anzeigestil Phi (a)= Summe _{i=1}^{nm}V_{ich}^{*}von_{ich}.} Dies wird als Satz von Choi auf vollständig positiven Abbildungen bezeichnet. Choi bewies dies mit Techniken der linearen Algebra, sein Ergebnis kann aber auch als Spezialfall des Satzes von Stinespring angesehen werden: Lassen (Pi, v, K) sei eine minimale Stinespring-Darstellung von Φ. Durch Minimalität, K hat eine kleinere Dimension als die von {Anzeigestil C^{nmal n}otimes C^{m}} . Also ohne Beschränkung der Allgemeinheit, K kann mit identifiziert werden {Anzeigestil K=bigoplus _{i=1}^{nm}C_{ich}^{n}.} Jeder {Anzeigestil C_{ich}^{n}} ist eine Kopie des n-dimensionalen Hilbert-Raums. Aus {Anzeigestil pi (a)(Veröffentlichungen g)=abotimes g} , wir sehen, dass die obige Identifizierung von K so arrangiert werden kann {Anzeigestil ;P_{ich}Pi (a)P_{ich}= ein} , wobei Pi die Projektion von K nach ist {Anzeigestil C_{ich}^{n}} . Lassen {Anzeigestil V_{ich}=P_{ich}v} . Wir haben {Anzeigestil Phi (a)= Summe _{i=1}^{nm}(V^{*}P_{ich})(P_{ich}Pi (a)P_{ich})(P_{ich}v)= Summe _{i=1}^{nm}V_{ich}^{*}von_{ich}} und Chois Ergebnis ist bewiesen.

Chois Ergebnis ist ein besonderer Fall des nichtkommutativen Radon-Nikodym-Theorems für vollständig positiv (CP) Karten, die einer tracial vollständig positiven Referenzkarte auf den Matrixalgebren entsprechen. In starker Operatorform wurde dieser allgemeine Satz von Belavkin in bewiesen 1985 die die Existenz des positiven Dichteoperators zeigten, der eine CP-Karte darstellt, die in Bezug auf eine Referenz-CP-Karte vollständig absolut kontinuierlich ist. Die Eindeutigkeit dieses Dichteoperators in der Steinspring-Referenzdarstellung folgt einfach aus der Minimalität dieser Darstellung. Daher, Der Choi-Operator ist die Radon-Nikodym-Ableitung einer endlichdimensionalen CP-Karte in Bezug auf die Standardspur.

Beachte das, beim Beweis des Satzes von Choi, sowie der Satz von Belavkin aus der Formulierung von Stinespring, Das Argument gibt die Kraus-Operatoren Vi nicht explizit an, es sei denn, man macht die verschiedenen Identifikationen von Räumen explizit. Auf der anderen Seite, Chois ursprünglicher Beweis beinhaltet die direkte Berechnung dieser Operatoren.

Naimark's dilation theorem Naimark's theorem says that every B(H)-geschätzt, schwach abzählbar-additives Maß auf einem kompakten Hausdorff-Raum X sein kann "aufgehoben" so dass das Maß ein spektrales Maß wird. Es kann bewiesen werden, indem man die Tatsache kombiniert, dass C(X) ist eine kommutative C*-Algebra und der Satz von Stinespring.

Sz.-Nagy's dilation theorem This result states that every contraction on a Hilbert space has a unitary dilation with the minimality property.

Application In quantum information theory, Quantenkanäle, oder Quantenoperationen, sind als vollständig positive Abbildungen zwischen C*-Algebren definiert. Eine Klassifizierung für alle diese Karten sein, Der Satz von Stinespring ist in diesem Zusammenhang wichtig. Zum Beispiel, Der Eindeutigkeitsteil des Theorems wurde verwendet, um bestimmte Klassen von Quantenkanälen zu klassifizieren.

Für den Vergleich verschiedener Kanäle und die Berechnung ihrer gegenseitigen Treuen und Informationen eine andere Darstellung der Kanäle durch ihre "Radon-Nikodym" Derivate eingeführt von Belavkin ist nützlich. Im endlichdimensionalen Fall, Der Satz von Choi als rassische Variante des Radon-Nikodym-Satzes von Belavkin für vollständig positive Karten ist ebenfalls relevant. Die Betreiber {Anzeigestil {V_{ich}}} aus dem Ausdruck {Anzeigestil Phi (a)= Summe _{i=1}^{nm}V_{ich}^{*}von_{ich}.} heißen die Kraus-Operatoren von Φ. Der Ausdruck {Anzeigestil Summe _{i=1}^{nm}V_{ich}^{*}(cdot )V_{ich}} wird manchmal als Operatorsummendarstellung von Φ bezeichnet.

Referenzen M.-D. Choi, Vollständig positive lineare Abbildungen auf komplexen Matrizen, Lineare Algebra und ihre Anwendungen, 10, 285–290 (1975). v. P. Verteilen, P. Staszewski, Radon-Nikodym-Theorem für vollständig positive Karten, Berichte zur Mathematischen Physik, v. 24, Nein 1, 49–55 (1986). v. Paulsen, Vollständig begrenzte Abbildungen und Operatoralgebren, Cambridge University Press, 2003. W. F. Steinsprung, Positive Funktionen auf C*-Algebren, Verfahren der American Mathematical Society, 6, 211–216 (1955). verbergen vte Funktionsanalyse (Themen – Glossar) Leerzeichen BanachBesovFréchetHilbertHölderNuclearOrliczSchwartzSobolevtopological vector Properties barrelledcompletedual (algebraisch/topologisch)lokal konvexreflexivseparable Theoreme Hahn-BanachRiesz-Darstellunggeschlossener Graphgleichmäßiges BeschränktheitsprinzipKakutani-FixpunktKrein–Milmanmin–maxGelfand–NaimarkBanach–Alaoglu Operatoren adjointboundcompactHilbert–Schmidtnormalnucleartrace classtransposeunboundedunitary Algebren Banach-AlgebraC*-AlgebraSpektrum einer C*-AlgebraOperator-Algebravon Gruppenalgebra einer lokalvariant-kompakten Gruppe SubraumproblemMahlersche Vermutung Anwendungen Hardy-RaumSpektraltheorie gewöhnlicher DifferentialgleichungenWärmekernindexsatzVariationsrechnungFunktionsrechnungIntegraloperatorJones-PolynomTopologische QuantenfeldtheorieNichtkommutative GeometrieRiemann-HypotheseVerteilung (oder verallgemeinerte Funktionen) Fortgeschrittene Themen Approximation PropertyBalanced SetChoquet-TheorieSchwache TopologieBanach-Mazur-AbstandTomita-Takesaki-Theorie Kategorien: OperatortheorieOperatoralgebrenTheoreme in der Funktionalanalysis