lema de troca de Steinitz

lema de troca de Steinitz (Redirected from Exchange theorem) Jump to navigation Jump to search The Steinitz exchange lemma is a basic theorem in linear algebra used, por exemplo, to show that any two bases for a finite-dimensional vector space have the same number of elements. The result is named after the German mathematician Ernst Steinitz. The result is often called the Steinitz–Mac Lane exchange lemma, also recognizing the generalization[1] by Saunders Mac Lane of Steinitz's lemma to matroids.[2] Conteúdo 1 Declaração 2 Prova 3 Formulários 4 Referências 5 External links Statement Let {estilo de exibição U} e {estilo de exibição W.} be finite subsets of a vector space {estilo de exibição V} . Se {estilo de exibição U} is a set of linearly independent vectors, e {estilo de exibição W.} spans {estilo de exibição V} , então: 1. {estilo de exibição |você|leq |C|} ; 2. There is a set {displaystyle W'subseteq W} com {estilo de exibição |W'|=|C|-|você|} de tal modo que {displaystyle Ucup W'} spans {estilo de exibição V} .

Proof Suppose {estilo de exibição U={você_{1},pontos ,você_{m}}} e {estilo de exibição W ={W_{1},pontos ,W_{n}}} . We wish to show that for each {parentes de estilo de exibição {0,pontos ,m}} , nós temos isso {displaystyle kleq n} , and that the set {estilo de exibição {você_{1},dotsc ,você_{k},W_{k+1},dotsc ,W_{n}}} spans {estilo de exibição V} (onde o {displaystyle w_{j}} have possibly been reordered, and the reordering depends on {estilo de exibição k} ). We proceed by induction on {estilo de exibição k} .

For the base case, suponha {estilo de exibição k} é zero. Nesse caso, the claim holds because there are no vectors {displaystyle u_{eu}} , and the set {estilo de exibição {W_{1},dotsc ,W_{n}}} spans {estilo de exibição V} by hypothesis.

For the inductive step, assume the proposition is true for some {estilo de exibição k

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