Theorem von Stein-Strömberg

Theorem von Stein-Strömberg In der Mathematik, Das Stein-Strömberg-Theorem oder die Stein-Strömberg-Ungleichung ist ein Ergebnis der Maßtheorie bezüglich des Hardy-Littlewood-Maximaloperators. Das Ergebnis ist grundlegend für die Untersuchung des Problems der Ableitung von Integralen. Das Ergebnis ist nach dem Mathematiker Elias M. Stein und Jan-Olov Strömberg.

Statement of the theorem Let λn denote n-dimensional Lebesgue measure on n-dimensional Euclidean space Rn and let M denote the Hardy–Littlewood maximal operator: for a function f : Rn → R, Mf : Rn → R is defined by {Anzeigestil Mf(x)=sup _{r>0}{frac {1}{Lambda ^{n}{groß (}B_{r}(x){groß )}}}int _{B_{r}(x)}|f(j)|,Mathrm {d} Lambda ^{n}(j),} wo Br(x) bezeichnet die offene Kugel vom Radius r mit Mittelpunkt x. Dann, for each p > 1, there is a constant Cp > 0 so dass, for all natural numbers n and functions f ∈ Lp(Rn; R), {Anzeigestil |Mf|_{L^{p}}leq C_{p}|f|_{L^{p}}.} Im Algemeinen, ein maximaler Operator M heißt starker Typ (p, p) wenn {Anzeigestil |Mf|_{L^{p}}leq C_{p,n}|f|_{L^{p}}} for all f ∈ Lp(Rn; R). Daher, Das Stein-Strömberg-Theorem ist die Aussage, dass der Hardy-Littlewood-Maximaloperator vom starken Typ ist (p, p) gleichmäßig bezüglich der Dimension n.

Referenzen Stein, Elias M.; Stromberg, Jan-Olov (1983). "Verhalten maximaler Funktionen im Rn für große n". Arche. Matte. 21 (2): 259–269. doi:10.1007/BF02384314. MR727348 Tišer, Jaroslav (1988). "Differenzierungssatz für Gaußsche Maße im Hilbertraum". Trans. Amer. Mathematik. Soc. 308 (2): 655–666. doi:10.2307/2001096. MR951621 Kategorien: UngleichungenTheoreme der MaßtheorieOperatortheorie