Teorema de Stark-Heegner

Teorema de Stark-Heegner Na teoria dos números, o teorema de Baker-Heegner-Stark[1] indica precisamente quais campos de números imaginários quadráticos admitem fatoração única em seu anel de inteiros. Ele resolve um caso especial do problema de número de classe de Gauss de determinar o número de campos quadráticos imaginários que têm um determinado número de classe fixo.

Seja Q o conjunto dos números racionais, e seja d um inteiro não quadrado. Então Q(√d) é uma extensão finita de Q de grau 2, chamado de extensão quadrática. O número da classe de Q(√d) é o número de classes de equivalência de ideais do anel de inteiros de Q(√d), onde dois ideais I e J são equivalentes se e somente se existem ideais principais (uma) e (b) de tal modo que (uma)eu = (b)J. Desta forma, o anel dos inteiros de Q(√d) é um domínio de ideal principal (e, portanto, um domínio de fatoração único) se e somente se o número da classe de Q(√d) é igual a 1. O teorema de Baker-Heegner-Stark pode então ser enunciado da seguinte forma: Se d < 0, then the class number of Q(√d) is equal to 1 if and only if {displaystyle din {,-1,-2,-3,-7,-11,-19,-43,-67,-163,}.} These are known as the Heegner numbers. This list is also written, replacing −1 with −4 and −2 with −8 (which does not change the field), as:[2] {displaystyle D=-3,-4,-7,-8,-11,-19,-43,-67,-163,,} where D is interpreted as the discriminant (either of the number field or of an elliptic curve with complex multiplication). This is more standard, as the D are then fundamental discriminants. Contents 1 History 2 Real case 3 Notes 4 References History This result was first conjectured by Gauss in Section 303 of his Disquisitiones Arithmeticae (1798). It was essentially proven by Kurt Heegner in 1952, but Heegner's proof had some minor gaps and the theorem was not accepted until Harold Stark gave a complete proof in 1967, which had many commonalities to Heegner's work, but sufficiently many differences that Stark considers the proofs to be different.[3] Heegner "died before anyone really understood what he had done".[4] Stark formally filled in the gap in Heegner's proof in 1969 (other contemporary papers produced various similar proofs by modular functions, but Stark concentrated on explicitly filling Heegner's gap).[5] Alan Baker gave a completely different proof slightly earlier (1966) than Stark's work (or more precisely Baker reduced the result to a finite amount of computation, with Stark's work in his 1963/4 thesis already providing this computation), and won the Fields Medal for his methods. Stark later pointed out that Baker's proof, involving linear forms in 3 logarithms, could be reduced to only 2 logarithms, when the result was already known from 1949 by Gelfond and Linnik.[6] Stark's 1969 paper (Stark 1969a) also cited the 1895 text by Heinrich Martin Weber and noted that if Weber had "only made the observation that the reducibility of [a certain equation] would lead to a Diophantine equation, the class-number one problem would have been solved 60 years ago". Bryan Birch notes that Weber's book, and essentially the whole field of modular functions, dropped out of interest for half a century: "Unhappily, in 1952 there was no one left who was sufficiently expert in Weber's Algebra to appreciate Heegner's achievement."[7] Deuring, Siegel, and Chowla all gave slightly variant proofs by modular functions in the immediate years after Stark.[8] Other versions in this genre have also cropped up over the years. For instance, in 1985, Monsur Kenku gave a proof using the Klein quartic (though again utilizing modular functions).[9] And again, in 1999, Imin Chen gave another variant proof by modular functions (following Siegel's outline).[10] The work of Gross and Zagier (1986) (Gross & Zagier 1986) combined with that of Goldfeld (1976) also gives an alternative proof.[11] Real case On the other hand, it is unknown whether there are infinitely many d > 0 para o qual Q(√d) tem número de classe 1. Os resultados computacionais indicam que existem muitos desses campos. Campos numéricos com a classe número um fornece uma lista de alguns desses.

Notas ^ Elkies (1999) chama isso de teorema de Stark-Heegner (cognato aos pontos Stark–Heegner como na página xiii de Darmon (2004)) mas omitir o nome de Baker é atípico. Showla (1970) adiciona gratuitamente Deuring e Siegel no título de seu artigo. ^ Elkies (1999), p. 93. ^ Austero (2011) página 42 ^ Goldfeld (1985). ^ Austero (1969uma) ^ Austero (1969b) ^ Bétula (2004) ^ Chola (1970) ^ Kenku (1985). ^ Chen (1999) ^ Goldfeld (1985) Referências Bétula, Bryan (2004), "Pontos Heegner: O começo" (PDF), Publicações MSRI, 49: 1–10 Chen, Estou dentro (1999), "Na curva modular de nível de Siegel 5 e o problema número um da classe", Jornal da Teoria dos Números, 74 (2): 278-297, doi:10.1006/jnth.1998.2320 Chowla, S. (1970), "Teorema de Heegner-Stark-Baker-Deuring-Siegel", Revista de matemática pura e aplicada, 241: 47-48, doi:10.1515/crll.1970.241.47 Darmon, Henrique (2004), "Prefácio a Heegner Points e Rankin L-Series" (PDF), Publicações MSRI, 49: ix–xiii Elkies, Noam D. (1999), "O Quártico de Klein na Teoria dos Números" (PDF), em Levy, Silvio (ed.), O Caminho Óctuplo: A beleza da curva quártica de Klein, Publicações MSRI, volume. 35, Cambridge University Press, pp. 51–101, SENHOR 1722413 Goldfeld, Dorian (1985), "Problema de número de classe de Gauss para campos quadráticos imaginários", Boletim da American Mathematical Society, 13: 23-37, doi:10.1090/S0273-0979-1985-15352-2, SENHOR 0788386 Bruto, Benedito H.; tímido, Dom B. (1986), "Pontos de Heegner e derivados da série L", Descobertas matemáticas, 84 (2): 225-320, Bibcode:1986InMat..84..225G, doi:10.1007/BF01388809, SENHOR 0833192, S2CID 125716869. Heegner, Kurt (1952), "Análise diofantina e funções modulares" [Análise Diofantina e Funções Modulares], Diário de Matemática (em alemão), 56 (3): 227-253, doi:10.1007/BF01174749, SENHOR 0053135, S2CID 120109035 Kenku, M. Q. (1985), "Uma nota sobre os pontos integrais de uma curva modular de nível 7", Matemática, 32: 45-48, doi:10.1112/S0025579300010846, SENHOR 0817106 Levy, Silvio, ed. (1999), O Caminho Óctuplo: A beleza da curva quártica de Klein, Publicações MSRI, volume. 35, Imprensa da Universidade de Cambridge Stark, H. M. (1969uma), "Sobre a lacuna no teorema de Heegner" (PDF), Jornal da Teoria dos Números, 1 (1): 16-27, Bibcode:1969JNT.....1...16S, doi:10.1016/0022-314X(69)90023-7, HDL:2027.42/33039 Rígido, H. M. (1969b), "Uma nota histórica sobre campos quadráticos complexos com a classe número um.", Anais da American Mathematical Society, 21: 254-255, doi:10.1090/S0002-9939-1969-0237461-X Stark, H. M. (2011), A Origem do "Rígido" conjecturas, volume. appearing in Arithmetic of L-functions Categories: Teoremas na teoria dos números algébricos