Teorema di Stark-Heegner

Teorema di Stark-Heegner Nella teoria dei numeri, il teorema di Baker-Heegner-Stark[1] indica precisamente quali campi numerici immaginari quadratici ammettono una fattorizzazione unica nel loro anello di interi. Risolve un caso speciale del problema del numero di classe di Gauss di determinare il numero di campi quadratici immaginari che hanno un dato numero di classe fisso.

Sia Q l'insieme dei numeri razionali, e sia d un intero non quadrato. Poi Q(√d) è un'estensione finita di Q di grado 2, chiamata estensione quadratica. Il numero di classe di Q(√d) è il numero di classi di equivalenza degli ideali dell'anello degli interi di Q(√d), dove due ideali I e J sono equivalenti se e solo se esistono ideali principali (un) e (b) tale che (un)io = (b)J. così, l'anello degli interi di Q(√d) è un dominio ideale principale (e quindi un dominio di fattorizzazione unico) se e solo se il numero di classe di Q(√d) è uguale a 1. Il teorema di Baker-Heegner-Stark può quindi essere affermato come segue: Se d < 0, then the class number of Q(√d) is equal to 1 if and only if {displaystyle din {,-1,-2,-3,-7,-11,-19,-43,-67,-163,}.} These are known as the Heegner numbers. This list is also written, replacing −1 with −4 and −2 with −8 (which does not change the field), as:[2] {displaystyle D=-3,-4,-7,-8,-11,-19,-43,-67,-163,,} where D is interpreted as the discriminant (either of the number field or of an elliptic curve with complex multiplication). This is more standard, as the D are then fundamental discriminants. Contents 1 History 2 Real case 3 Notes 4 References History This result was first conjectured by Gauss in Section 303 of his Disquisitiones Arithmeticae (1798). It was essentially proven by Kurt Heegner in 1952, but Heegner's proof had some minor gaps and the theorem was not accepted until Harold Stark gave a complete proof in 1967, which had many commonalities to Heegner's work, but sufficiently many differences that Stark considers the proofs to be different.[3] Heegner "died before anyone really understood what he had done".[4] Stark formally filled in the gap in Heegner's proof in 1969 (other contemporary papers produced various similar proofs by modular functions, but Stark concentrated on explicitly filling Heegner's gap).[5] Alan Baker gave a completely different proof slightly earlier (1966) than Stark's work (or more precisely Baker reduced the result to a finite amount of computation, with Stark's work in his 1963/4 thesis already providing this computation), and won the Fields Medal for his methods. Stark later pointed out that Baker's proof, involving linear forms in 3 logarithms, could be reduced to only 2 logarithms, when the result was already known from 1949 by Gelfond and Linnik.[6] Stark's 1969 paper (Stark 1969a) also cited the 1895 text by Heinrich Martin Weber and noted that if Weber had "only made the observation that the reducibility of [a certain equation] would lead to a Diophantine equation, the class-number one problem would have been solved 60 years ago". Bryan Birch notes that Weber's book, and essentially the whole field of modular functions, dropped out of interest for half a century: "Unhappily, in 1952 there was no one left who was sufficiently expert in Weber's Algebra to appreciate Heegner's achievement."[7] Deuring, Siegel, and Chowla all gave slightly variant proofs by modular functions in the immediate years after Stark.[8] Other versions in this genre have also cropped up over the years. For instance, in 1985, Monsur Kenku gave a proof using the Klein quartic (though again utilizing modular functions).[9] And again, in 1999, Imin Chen gave another variant proof by modular functions (following Siegel's outline).[10] The work of Gross and Zagier (1986) (Gross & Zagier 1986) combined with that of Goldfeld (1976) also gives an alternative proof.[11] Real case On the other hand, it is unknown whether there are infinitely many d > 0 per cui Q(√d) ha il numero di classe 1. I risultati computazionali indicano che esistono molti di questi campi. I campi numerici con la classe numero uno forniscono un elenco di alcuni di questi.

Note ^ Elkies (1999) lo chiama il teorema di Stark-Heegner (affine ai punti Stark-Heegner come a pagina xiii di Darmon (2004)) ma omettere il nome di Baker è atipico. Showla (1970) aggiunge gratuitamente Deuring e Siegel nel titolo del suo articolo. ^ Elkies (1999), p. 93. ^ Stark (2011) pagina 42 ^ Goldfeld (1985). ^ Stark (1969un) ^ Stark (1969b) ^ Betulla (2004) ^ Chola (1970) ^ Kenku (1985). ^ Chen (1999) ^ Goldfeld (1985) Riferimenti Betulla, Bryan (2004), "Punti Heegner: Gli inizi" (PDF), Pubblicazioni MSRI, 49: 1–10 Chen, Sono dentro (1999), "Sulla curva di livello modulare di Siegel 5 e il problema numero uno della classe", Rivista di teoria dei numeri, 74 (2): 278–297, doi:10.1006/jnth.1998.2320 Chowla, S. (1970), "Il teorema di Heegner-Stark-Baker-Deuring-Siegel", Diario di matematica pura e applicata, 241: 47–48, doi:10.1515/crll.1970.241.47 Darmon, Henri (2004), "Prefazione a punti Heegner e Rankin serie L" (PDF), Pubblicazioni MSRI, 49: ix–xiii Elkies, Noam D. (1999), "La Quartica Klein nella Teoria dei Numeri" (PDF), in Levy, Silvio (ed.), L'Ottuplice Modo: La bellezza della curva quartica di Klein, Pubblicazioni MSRI, vol. 35, Cambridge University Press, pp. 51–101, SIG 1722413 Goldfeld, Dorian (1985), "Problema dei numeri di classe di Gauss per campi quadratici immaginari", Bollettino dell'American Mathematical Society, 13: 23–37, doi:10.1090/S0273-0979-1985-15352-2, SIG 0788386 Schifoso, Benedetto H.; timido, Don B. (1986), "Punti di Heegner e derivate della serie L", Scoperte matematiche, 84 (2): 225–320, Bibcode:1986InMat..84..225G, doi:10.1007/BF01388809, SIG 0833192, S2CID 125716869. Heegner, Kurt (1952), "Analisi diofantea e funzioni modulari" [Analisi diofantea e funzioni modulari], Giornale di matematica (in tedesco), 56 (3): 227–253, doi:10.1007/BF01174749, SIG 0053135, S2CID 120109035 Kenku, M. Q. (1985), "Una nota sui punti integrali di una curva di livello modulare 7", Matematica, 32: 45–48, doi:10.1112/S0025579300010846, SIG 0817106 Levy, Silvio, ed. (1999), L'Ottuplice Modo: La bellezza della curva quartica di Klein, Pubblicazioni MSRI, vol. 35, Cambridge University Press Stark, H. M. (1969un), "Sul gap nel teorema di Heegner" (PDF), Rivista di teoria dei numeri, 1 (1): 16–27, Bibcode:1969JNT.....1...16S, doi:10.1016/0022-314X(69)90023-7, hdl:2027.42/33039 Stark, H. M. (1969b), "Una nota storica sui campi quadratici complessi con la classe numero uno.", Atti dell'American Mathematical Society, 21: 254–255, doi:10.1090/S0002-9939-1969-0237461-X Stark, H. M. (2011), L'origine del "Stark" congetture, vol. appearing in Arithmetic of L-functions Categories: Teoremi nella teoria algebrica dei numeri