Théorème de Stark-Heegner

Théorème de Stark-Heegner En théorie des nombres, le théorème de Baker-Heegner-Stark[1] indique précisément quels champs de nombres imaginaires quadratiques admettent une factorisation unique dans leur anneau d'entiers. Il résout un cas particulier du problème de numéro de classe de Gauss consistant à déterminer le nombre de champs quadratiques imaginaires qui ont un numéro de classe fixe donné.

Soit Q l'ensemble des nombres rationnels, et soit d un entier non carré. Alors Q(√d) est une extension finie de Q de degré 2, appelée extension quadratique. Le numéro de classe de Q(√d) est le nombre de classes d'équivalence des idéaux de l'anneau des entiers de Q(√d), où deux idéaux I et J sont équivalents si et seulement s'il existe des idéaux principaux (un) et (b) tel que (un)je = (b)J. Ainsi, l'anneau des entiers de Q(√d) est un domaine idéal principal (et donc un domaine de factorisation unique) si et seulement si le numéro de classe de Q(√d) est égal à 1. Le théorème de Baker – Heegner – Stark peut alors s'énoncer comme suit: Si d < 0, then the class number of Q(√d) is equal to 1 if and only if {displaystyle din {,-1,-2,-3,-7,-11,-19,-43,-67,-163,}.} These are known as the Heegner numbers. This list is also written, replacing −1 with −4 and −2 with −8 (which does not change the field), as:[2] {displaystyle D=-3,-4,-7,-8,-11,-19,-43,-67,-163,,} where D is interpreted as the discriminant (either of the number field or of an elliptic curve with complex multiplication). This is more standard, as the D are then fundamental discriminants. Contents 1 History 2 Real case 3 Notes 4 References History This result was first conjectured by Gauss in Section 303 of his Disquisitiones Arithmeticae (1798). It was essentially proven by Kurt Heegner in 1952, but Heegner's proof had some minor gaps and the theorem was not accepted until Harold Stark gave a complete proof in 1967, which had many commonalities to Heegner's work, but sufficiently many differences that Stark considers the proofs to be different.[3] Heegner "died before anyone really understood what he had done".[4] Stark formally filled in the gap in Heegner's proof in 1969 (other contemporary papers produced various similar proofs by modular functions, but Stark concentrated on explicitly filling Heegner's gap).[5] Alan Baker gave a completely different proof slightly earlier (1966) than Stark's work (or more precisely Baker reduced the result to a finite amount of computation, with Stark's work in his 1963/4 thesis already providing this computation), and won the Fields Medal for his methods. Stark later pointed out that Baker's proof, involving linear forms in 3 logarithms, could be reduced to only 2 logarithms, when the result was already known from 1949 by Gelfond and Linnik.[6] Stark's 1969 paper (Stark 1969a) also cited the 1895 text by Heinrich Martin Weber and noted that if Weber had "only made the observation that the reducibility of [a certain equation] would lead to a Diophantine equation, the class-number one problem would have been solved 60 years ago". Bryan Birch notes that Weber's book, and essentially the whole field of modular functions, dropped out of interest for half a century: "Unhappily, in 1952 there was no one left who was sufficiently expert in Weber's Algebra to appreciate Heegner's achievement."[7] Deuring, Siegel, and Chowla all gave slightly variant proofs by modular functions in the immediate years after Stark.[8] Other versions in this genre have also cropped up over the years. For instance, in 1985, Monsur Kenku gave a proof using the Klein quartic (though again utilizing modular functions).[9] And again, in 1999, Imin Chen gave another variant proof by modular functions (following Siegel's outline).[10] The work of Gross and Zagier (1986) (Gross & Zagier 1986) combined with that of Goldfeld (1976) also gives an alternative proof.[11] Real case On the other hand, it is unknown whether there are infinitely many d > 0 pour laquelle Q(√d) a un numéro de classe 1. Les résultats de calcul indiquent qu'il existe de nombreux champs de ce type. Les champs numériques avec le numéro de classe un fournissent une liste de certains d'entre eux.

Remarques ^ Elkies (1999) appelle cela le théorème de Stark-Heegner (apparenté aux points Stark – Heegner comme à la page xiii de Darmon (2004)) mais omettre le nom de Baker est atypique. Afficherla (1970) ajoute gratuitement Deuring et Siegel dans le titre de son article. ^ Elkis (1999), p. 93. ^ Starck (2011) page 42 ^ Goldfeld (1985). ^ Starck (1969un) ^ Starck (1969b) ^ Bouleau (2004) ^ Chola (1970) ^ Kenku (1985). ^ Chen (1999) ^ Goldfeld (1985) Références Bouleau, Bryan (2004), "Pointes Heegner: Les débuts" (PDF), Publications de l'IRSM, 49: 1–10 Chen, J'en suis (1999), "Sur la courbe de niveau modulaire de Siegel 5 et le problème de classe numéro un", Journal de la théorie des nombres, 74 (2): 278–297, est ce que je:10.1006/jnth.1998.2320 Chowla, S. (1970), "Le théorème de Heegner-Stark-Baker-Deuring-Siegel", Revue de mathématiques pures et appliquées, 241: 47–48, est ce que je:10.1515/crll.1970.241.47 Darmon, Henri (2004), "Préface aux points Heegner et à la série Rankin L" (PDF), Publications de l'IRSM, 49: ix–xiii Elkies, Noam D. (1999), "La quartique de Klein en théorie des nombres" (PDF), à Lévy, Silvio (éd.), La voie octuple: La beauté de la courbe quartique de Klein, Publications de l'IRSM, volume. 35, la presse de l'Universite de Cambridge, pp. 51–101, M 1722413 Goldfeld, Dorien (1985), "Problème de numéro de classe de Gauss pour les champs quadratiques imaginaires", Bulletin de l'American Mathematical Society, 13: 23–37, est ce que je:10.1090/S0273-0979-1985-15352-2, M 0788386 Brut, Benoît H.; timide, Don B. (1986), "Points de Heegner et dérivés de la série L", Découvertes mathématiques, 84 (2): 225–320, Code bib:1986Mat..84..225G, est ce que je:10.1007/BF01388809, M 0833192, S2CID 125716869. Heegner, Kurt (1952), "Analyse diophantienne et fonctions modulaires" [Analyse diophantienne et fonctions modulaires], Journal mathématique (en allemand), 56 (3): 227–253, est ce que je:10.1007/BF01174749, M 0053135, S2CID 120109035 Kenku, M. Q. (1985), "Remarque sur les points intégraux d'une courbe modulaire de niveau 7", Mathématiques, 32: 45–48, est ce que je:10.1112/S0025579300010846, M 0817106 Levy, Silvio, éd. (1999), La voie octuple: La beauté de la courbe quartique de Klein, Publications de l'IRSM, volume. 35, Presse de l'Université de Cambridge Stark, H. M. (1969un), "Sur l'écart dans le théorème de Heegner" (PDF), Journal de la théorie des nombres, 1 (1): 16–27, Code bib:1969JNT.....1...16S, est ce que je:10.1016/0022-314X(69)90023-7, hdl:2027.42/33039 Rigide, H. M. (1969b), "Une note historique sur les champs quadratiques complexes avec la classe numéro un.", Actes de l'American Mathematical Society, 21: 254–255, est ce que je:10.1090/S0002-9939-1969-0237461-X Stark, H. M. (2011), L'origine de la "Rigide" conjectures, volume. appearing in Arithmetic of L-functions Categories: Théorèmes en théorie algébrique des nombres