Satz von Stark-Heegner

Satz von Stark-Heegner In der Zahlentheorie, das Baker-Heegner-Stark-Theorem[1] gibt genau an, welche quadratischen imaginären Zahlenkörper eine eindeutige Faktorisierung in ihrem Ring aus ganzen Zahlen zulassen. Es löst einen Spezialfall des Klassenzahlproblems von Gauß, bei dem es darum geht, die Anzahl der imaginären quadratischen Körper zu bestimmen, die eine bestimmte feste Klassenzahl haben.

Sei Q die Menge der rationalen Zahlen, und sei d eine nicht-quadratische ganze Zahl. Dann Q(√d) ist eine endliche Erweiterung von Q vom Grad 2, wird als quadratische Erweiterung bezeichnet. Die Klassennummer von Q(√d) ist die Anzahl der Äquivalenzklassen von Idealen des Rings der ganzen Zahlen von Q(√d), wobei zwei Ideale I und J genau dann äquivalent sind, wenn es Hauptideale gibt (a) und (b) so dass (a)Ich = (b)J. Daher, der Ring der ganzen Zahlen von Q(√d) ist ein Hauptidealbereich (und damit eine eindeutige Faktorisierungsdomäne) genau dann, wenn die Klassennummer von Q(√d) ist gleich 1. Der Satz von Baker-Heegner-Stark kann dann wie folgt formuliert werden: Wenn d < 0, then the class number of Q(√d) is equal to 1 if and only if {displaystyle din {,-1,-2,-3,-7,-11,-19,-43,-67,-163,}.} These are known as the Heegner numbers. This list is also written, replacing −1 with −4 and −2 with −8 (which does not change the field), as:[2] {displaystyle D=-3,-4,-7,-8,-11,-19,-43,-67,-163,,} where D is interpreted as the discriminant (either of the number field or of an elliptic curve with complex multiplication). This is more standard, as the D are then fundamental discriminants. Contents 1 History 2 Real case 3 Notes 4 References History This result was first conjectured by Gauss in Section 303 of his Disquisitiones Arithmeticae (1798). It was essentially proven by Kurt Heegner in 1952, but Heegner's proof had some minor gaps and the theorem was not accepted until Harold Stark gave a complete proof in 1967, which had many commonalities to Heegner's work, but sufficiently many differences that Stark considers the proofs to be different.[3] Heegner "died before anyone really understood what he had done".[4] Stark formally filled in the gap in Heegner's proof in 1969 (other contemporary papers produced various similar proofs by modular functions, but Stark concentrated on explicitly filling Heegner's gap).[5] Alan Baker gave a completely different proof slightly earlier (1966) than Stark's work (or more precisely Baker reduced the result to a finite amount of computation, with Stark's work in his 1963/4 thesis already providing this computation), and won the Fields Medal for his methods. Stark later pointed out that Baker's proof, involving linear forms in 3 logarithms, could be reduced to only 2 logarithms, when the result was already known from 1949 by Gelfond and Linnik.[6] Stark's 1969 paper (Stark 1969a) also cited the 1895 text by Heinrich Martin Weber and noted that if Weber had "only made the observation that the reducibility of [a certain equation] would lead to a Diophantine equation, the class-number one problem would have been solved 60 years ago". Bryan Birch notes that Weber's book, and essentially the whole field of modular functions, dropped out of interest for half a century: "Unhappily, in 1952 there was no one left who was sufficiently expert in Weber's Algebra to appreciate Heegner's achievement."[7] Deuring, Siegel, and Chowla all gave slightly variant proofs by modular functions in the immediate years after Stark.[8] Other versions in this genre have also cropped up over the years. For instance, in 1985, Monsur Kenku gave a proof using the Klein quartic (though again utilizing modular functions).[9] And again, in 1999, Imin Chen gave another variant proof by modular functions (following Siegel's outline).[10] The work of Gross and Zagier (1986) (Gross & Zagier 1986) combined with that of Goldfeld (1976) also gives an alternative proof.[11] Real case On the other hand, it is unknown whether there are infinitely many d > 0 wofür Q(√d) hat Klassennummer 1. Berechnungsergebnisse zeigen, dass es viele solcher Felder gibt. Zahlenfelder mit der Klasse Nummer eins bieten eine Liste mit einigen davon.

Anmerkungen ^ Elkies (1999) nennt dies das Stark-Heegner-Theorem (verwandt mit Stark-Heegner-Punkten wie auf Seite xiii von Darmon (2004)) aber Bakers Namen wegzulassen ist untypisch. Schaula (1970) fügt unentgeltlich Deuring und Siegel im Titel seiner Arbeit hinzu. ^ Elkies (1999), p. 93. ^ stark (2011) Seite 42 ^ Goldfeld (1985). ^ stark (1969a) ^ stark (1969b) ^ Birke (2004) ^ Chola (1970) ^ Kenku (1985). ^ Chen (1999) ^ Goldfeld (1985) Referenzen Birke, Bryan (2004), "Heegner-Punkte: Die Anfänge" (Pdf), MSRI-Veröffentlichungen, 49: 1–10 Chen, Ich bin dabei (1999), "Auf Siegels modularer Niveaukurve 5 und das Problem der Klasse Nummer eins", Zeitschrift für Zahlentheorie, 74 (2): 278–297, doi:10.1006/jnth.1998.2320 Chowla, S. (1970), "Das Heegner-Stark-Baker-Deuring-Siegel-Theorem", Journal für die reine und angewandte Mathematik, 241: 47–48, doi:10.1515/crll.1970.241.47 Darmon, Henri (2004), "Vorwort zu Heegner Points und Rankin L-Series" (Pdf), MSRI-Veröffentlichungen, 49: ix–xiii Elkies, Noam D. (1999), "Das Kleinquartikum in der Zahlentheorie" (Pdf), in Levy, Silvio (ed.), Der achtfache Weg: Die Schönheit von Kleins Quartic Curve, MSRI-Veröffentlichungen, vol. 35, Cambridge University Press, pp. 51–101, HERR 1722413 Goldfeld, Dorian (1985), "Gaußsches Klassenzahlproblem für imaginäre quadratische Körper", Bulletin der American Mathematical Society, 13: 23–37, doi:10.1090/S0273-0979-1985-15352-2, HERR 0788386 Grob, Benedikt H.; Zagier, Don B. (1986), "Heegner-Punkte und Ableitungen der L-Reihe", Mathematische Entdeckungen, 84 (2): 225–320, Bibcode:1986InMat..84..225G, doi:10.1007/BF01388809, HERR 0833192, S2CID 125716869. Heegner, Kurt (1952), "Diophantische Analysis und Modulfunktionen" [Diophantische Analyse und modulare Funktionen], Mathematische Zeitschrift (auf Deutsch), 56 (3): 227–253, doi:10.1007/BF01174749, HERR 0053135, S2CID 120109035 Kenku, M. Q. (1985), "Eine Anmerkung zu den integralen Punkten einer modularen Niveaukurve 7", Mathematik, 32: 45–48, doi:10.1112/S0025579300010846, HERR 0817106 Erheben, Silvio, ed. (1999), Der achtfache Weg: Die Schönheit von Kleins Quartic Curve, MSRI-Veröffentlichungen, vol. 35, Cambridge University Press Stark, H. M. (1969a), "Über die Lücke im Satz von Heegner" (Pdf), Zeitschrift für Zahlentheorie, 1 (1): 16–27, Bibcode:1969JNT.....1...16S, doi:10.1016/0022-314X(69)90023-7, hdl:2027.42/33039 Stark, H. M. (1969b), "Eine historische Anmerkung zu komplexen quadratischen Körpern mit der Klassennummer eins.", Verfahren der American Mathematical Society, 21: 254–255, doi:10.1090/S0002-9939-1969-0237461-X Stark, H. M. (2011), Der Ursprung der "Stark" Vermutungen, vol. appearing in Arithmetic of L-functions Categories: Sätze in der algebraischen Zahlentheorie

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