Teorema estrela de David

Teorema da Estrela de David O Teorema da Estrela de David (as linhas do triângulo Pascal são mostradas como colunas aqui).

O teorema da Estrela de David é um resultado matemático sobre propriedades aritméticas de coeficientes binomiais. Foi descoberto por Henry W. Gould em 1972.

Conteúdo 1 Declaração 2 Exemplos 3 Generalização 4 Resultados relacionados 5 Veja também 6 Referências 7 External links Statement The greatest common divisors of the binomial coefficients forming each of the two triangles in the Star of David shape in Pascal's triangle are equal: {estilo de exibição {começar{alinhado}&gcd left{{alguns deles {n-1}{k-1}},{alguns deles {n}{k+1}},{alguns deles {n+1}{k}}certo}\[8pt]={}&gcd left{{alguns deles {n-1}{k}},{alguns deles {n}{k-1}},{alguns deles {n+1}{k+1}}certo}.fim{alinhado}}} Examples Rows 8, 9, e 10 do triângulo de Pascal são 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 Para n=9, k=3 ou n=9, k=6, o elemento 84 está cercado por, em sequência, os elementos 28, 56, 126, 210, 120, 36. Tomando valores alternados, nós temos mdc(28, 126, 120) = 2 = mdc(56, 210, 36).

O elemento 36 é cercado pela sequência 8, 28, 84, 120, 45, 9, e tomando valores alternados temos mdc(8, 84, 45) = 1 = mdc(28, 120, 9).

Generalization The above greatest common divisor also equals {displaystyle gcd esquerdo({n-1 escolha k-2},{n-1 escolha k-1},{n-1 escolha k},{n-1 escolha k+1}certo).} [1] Assim, no exemplo acima para o elemento 84 (em sua aparência mais à direita), também temos gd(70, 56, 28, 8) = 2. Este resultado, por sua vez, tem outras generalizações.

Related results The two sets of three numbers which the Star of David theorem says have equal greatest common divisors also have equal products.[1] Por exemplo, novamente observando que o elemento 84 está cercado por, em sequência, os elementos 28, 56, 126, 210, 120, 36, e novamente tomando valores alternados, temos 28×126×120 = 26×33×5×72 = 56×210×36. Este resultado pode ser confirmado escrevendo cada coeficiente binomial na forma fatorial, usando {estilo de exibição {a escolha b}={fratura {uma!}{(a-b)!b!}}.} Veja também Lista de tópicos fatoriais e binomiais Referências ^ Saltar para: a b Weisstein, Eric W. "Teorema Estrela de David." De MathWorld - Um recurso da Web da Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/StarofDavidTheorem.html H. C. Gould, "Uma nova propriedade do máximo divisor comum dos coeficientes binomiais", Fibonacci Trimestral 10 (1972), 579-584. Teorema estrela de David, de MathForum. Teorema estrela de David, postagem do blog. Links externos Demonstração do teorema da Estrela de David, em matemática. Categorias: Teoremas em matemática discretaCombinatóriaTópicos fatoriais e binomiais