Sperners Theorie

Satz von Sperner Für den Satz über Simplexe, siehe Sperners Lemma.

Sperners Theorie, in der diskreten Mathematik, beschreibt die größtmöglichen Familien von endlichen Mengen, von denen keine andere Mengen in der Familie enthalten. Sie ist eines der zentralen Ergebnisse der Extremalmengentheorie. Es ist nach Emanuel Sperner benannt, wer es veröffentlicht hat 1928.

Dieses Ergebnis wird manchmal Sperners Lemma genannt, aber der Name "Sperners Thema" bezieht sich auch auf ein unabhängiges Ergebnis von Farbtriangulationen. Um die beiden Ergebnisse zu unterscheiden, Das Ergebnis über die Größe einer Sperner-Familie ist heute allgemein als Sperner-Theorem bekannt.

Inhalt 1 Aussage 2 Teilaufträge 3 Nachweisen 4 Verallgemeinerungen 4.1 Keine langen Ketten 4.2 p-Kompositionen einer Menge 4.3 Keine langen Ketten in p-Kompositionen einer Menge 4.4 Analog zur projektiven Geometrie 4.5 Keine langen Ketten in p-Kompositionen eines projektiven Raums 5 Siehe auch 6 Verweise 7 External links Statement A family of sets in which none of the sets is a strict subset of another is called a Sperner family, oder eine Antikette von Mengen, oder ein Durcheinander. Zum Beispiel, die Familie der k-elementigen Teilmengen einer n-elementigen Menge ist eine Sperner-Familie. Kein Satz in dieser Familie kann einen der anderen enthalten, weil eine enthaltende Menge strikt größer sein muss als die Menge, die sie enthält, und in dieser Familie haben alle Mengen die gleiche Größe. Der Wert von k, der dafür sorgt, dass dieses Beispiel so viele Mengen wie möglich hat, ist n/2, wenn n gerade ist, oder eine der nächsten ganzen Zahlen zu n/2, wenn n ungerade ist. Für diese Wahl, die Anzahl der Sätze in der Familie ist {Anzeigestil {tbinom {n}{lfloor n/2rfloor }}} .

Der Satz von Sperner besagt, dass diese Beispiele die größtmöglichen Sperner-Familien über einer Menge mit n Elementen sind. Formal, der Satz besagt das, für jede Sperner-Familie S, deren Vereinigung insgesamt n Elemente hat, {Anzeigestil |S|leq {manche von ihnen {n}{lfloor n/2rfloor }},} und Gleichheit gilt genau dann, wenn S aus allen Teilmengen einer n-elementigen Menge besteht, die eine Größe haben {displaystyle lfloor n/2rfloor } oder alle, die Größe haben {displaystyle lceil n/2rceil } . Partial orders Sperner's theorem can also be stated in terms of partial order width. Die Familie aller Teilmengen einer n-elementigen Menge (seine Macht eingestellt) können teilweise per Set-Inklusive bestellt werden; in dieser Teilreihenfolge, zwei verschiedene Elemente werden als unvergleichbar bezeichnet, wenn keines von ihnen das andere enthält. Die Breite einer Teilordnung ist die größte Anzahl von Elementen in einer Antichain, eine Menge paarweise unvergleichbarer Elemente. Übersetzung dieser Terminologie in die Sprache der Mengen, Eine Antikette ist nur eine Sperner-Familie, und die Breite der Teilordnung ist die maximale Anzahl von Mengen in einer Sperner-Familie. Daher, Eine andere Möglichkeit, den Satz von Sperner zu formulieren, besteht darin, dass die Breite der Inklusionsreihenfolge auf einer Potenzmenge ist {Anzeigestil {manche von ihnen {n}{lfloor n/2rfloor }}} .

Eine abgestufte teilweise geordnete Menge hat die Sperner-Eigenschaft, wenn eine ihrer größten Antiketten aus einer Menge von Elementen besteht, die alle den gleichen Rang haben. In dieser Terminologie, Der Satz von Sperner besagt, dass die teilweise geordnete Menge aller Teilmengen einer endlichen Menge ist, teilweise nach Set-Inklusion geordnet, hat die Sperner-Eigenschaft.

Proof There are many proofs of Sperner's theorem, jede führt zu unterschiedlichen Verallgemeinerungen (siehe Anderson (1987)).

Der folgende Beweis stammt von Lubell (1966). Sei sk die Anzahl der k-Mengen in S. Für alle 0 ≤ k ≤ n, {Anzeigestil {n Wählen Sie lfloor {n/2}rfloor }geq {n wähle k}} und, daher, {Anzeigestil {s_{k} Über {n Wählen Sie lfloor {n/2}rfloor }}leq {s_{k} Über {n wähle k}}.} Da S eine Antikette ist, wir können über die obige Ungleichung von k = summieren 0 auf n und wenden Sie dann die LYM-Ungleichung an, um zu erhalten {Anzeigestil Summe _{k=0}^{n}{s_{k} Über {n Wählen Sie lfloor {n/2}rfloor }}Leq-Summe _{k=0}^{n}{s_{k} Über {n wähle k}}leq 1,} was bedeutet {Anzeigestil |S|= Summe _{k=0}^{n}s_{k}leq {n Wählen Sie lfloor {n/2}rfloor }.} Damit ist der Teilnachweis abgeschlossen 1.

Gleichberechtigung haben, alle Ungleichungen im vorhergehenden Beweis müssen Gleichheiten sein. Seit {Anzeigestil {n Wählen Sie lfloor {n/2}rfloor }={n wähle k}} dann und nur dann, wenn {Anzeigestil k=lfloor {n/2}rfloor } oder {displaystyle lceil {n/2}rcel ,} wir schließen daraus, dass Gleichheit impliziert, dass S nur aus Mengen von Größen besteht {displaystyle lfloor {n/2}rfloor } oder {displaystyle lceil {n/2}rcel .} Für gerade n ist damit der Teilbeweis abgeschlossen 2.

Für ungerade n gibt es mehr Arbeit zu tun, die wir hier weglassen, weil es kompliziert ist. Siehe Anderson (1987), pp. 3–4.

Generalizations There are several generalizations of Sperner's theorem for subsets of {Anzeigestil {mathematisch {P}}(E),} das Poset aller Teilmengen von E.

No long chains A chain is a subfamily {Anzeigestil {S_{0},S_{1},Punkte ,S_{r}}subsetq {mathematisch {P}}(E)} das ist total geordnet, d.h., {Anzeigestil S_{0}Teilmenge S_{1}Teilmenge Punkte Teilmenge S_{r}} (eventuell nach Umnummerierung). Die Kette hat r + 1 Mitglieder und Länge r. Eine R-Ketten-freie Familie (auch R-Familie genannt) ist eine Familie von Teilmengen von E, die keine Kette der Länge r enthält. Wald (1945) bewiesen, dass die größte Größe einer r-kettenfreien Familie die Summe der r größten Binomialkoeffizienten ist {Anzeigestil {manche von ihnen {n}{ich}}} . Der Fall r = 1 ist Sperners Theorie.

p-compositions of a set In the set {Anzeigestil {mathematisch {P}}(E)^{p}} von p-Tupeln von Teilmengen von E, wir sagen ein p-Tupel {Anzeigestil (S_{1},Punkte ,S_{p})} ist ≤ ein anderer, {Anzeigestil (T_{1},Punkte ,T_{p}),} wenn {Anzeigestil S_{ich}subsetq T_{ich}} für jedes i = 1,2,...,p. Wir nennen {Anzeigestil (S_{1},Punkte ,S_{p})} eine p-Komposition von E, wenn die Mengen {Anzeigestil S_{1},Punkte ,S_{p}} eine Partition von E bilden. Meshalkin (1963) bewiesen, dass die maximale Größe einer Antikette von p-Kompositionen der größte p-Multinomialkoeffizient ist {Anzeigestil {manche von ihnen {n}{n_{1} n_{2} dots n_{p}}},} das ist, der Koeffizient, bei dem alle ni möglichst gleich sind (d.h., sie unterscheiden sich um höchstens 1). Meshalkin bewies dies, indem er eine verallgemeinerte LYM-Ungleichung bewies.

Der Fall p = 2 ist Sperners Theorie, weil dann {Anzeigestil S_{2}=Einstellenminus S_{1}} und die Annahmen reduzieren sich auf die Mengen {Anzeigestil S_{1}} eine Familie Sperner zu sein.

No long chains in p-compositions of a set Beck & Zaslavsky (2002) kombinierte die Sätze von Erdös und Meshalkin, indem er Meshalkins Beweis seiner verallgemeinerten LYM-Ungleichung anpasste. Sie zeigten, dass die größte Größe einer Familie von p-Kompositionen so ist, dass die Sätze in der i-ten Position der p-Tupel sind, Duplikate ignorieren, sind r-Ketten-frei, für jeden {Anzeigestil i=1,2,Punkte ,p-1} (aber nicht unbedingt für i = p), ist nicht größer als die Summe der {Anzeigestil r^{p-1}} größten p-multinomialen Koeffizienten.

Projective geometry analog In the finite projective geometry PG(d, Fq) der Dimension d über einem endlichen Körper der Ordnung q, Lassen {Anzeigestil {mathematisch {L}}(p,F_{q})} sei die Familie aller Unterräume. Bei Teilbestellung nach Satzeinschluss, diese Familie ist ein Gitter. Rota & Harper (1971) hat bewiesen, dass der größte Umfang einer Antikette in {Anzeigestil {mathematisch {L}}(p,F_{q})} ist der größte Gaußsche Koeffizient {Anzeigestil {Start{bMatrix}d+1bekannt{bMatrix}};} Dies ist das Analogon zur projektiven Geometrie, oder q-analog, von Sperners Theorie.

Sie bewiesen ferner, dass die größte Größe einer r-Ketten-freien Familie in {Anzeigestil {mathematisch {L}}(p,F_{q})} die Summe der r größten Gaußschen Koeffizienten ist. Ihr Beweis erfolgt durch ein projektives Analogon der LYM-Ungleichung.

No long chains in p-compositions of a projective space Beck & Zaslavsky (2003) erhielten eine Meshalkin-ähnliche Verallgemeinerung des Rota-Harper-Theorems. In PG(d, Fq), eine Meshalkin-Folge der Länge p ist eine Folge {Anzeigestil (EIN_{1},Punkte ,EIN_{p})} von projektiven Unterräumen, so dass es keinen echten Unterraum von PG gibt(d, Fq) enthält sie alle und ihre Dimensionen summieren sich auf {Anzeigestil d-p+1} . Der Satz besagt, dass eine Familie von Meshalkin-Sequenzen der Länge p in PG(d, Fq), so dass die an Position i der Folgen auftretenden Unterräume jeweils keine Kette der Länge r enthalten {Anzeigestil i=1,2,Punkte ,p-1,} ist nicht mehr als die Summe der größten {Anzeigestil r^{p-1}} der Mengen {Anzeigestil {Start{bMatrix}d+1n_{1} n_{2} dots n_{p}Ende{bMatrix}}q^{s_{2}(n_{1},Punkte ,n_{p})},} wo {Anzeigestil {Start{bMatrix}d+1n_{1} n_{2} dots n_{p}Ende{bMatrix}}} (wobei wir davon ausgehen {Anzeigestil d+1=n_{1}+cdots +n_{p}} ) bezeichnet den p-Gauß-Koeffizienten {Anzeigestil {Start{bMatrix}d+1n_{1}Ende{bMatrix}}{Start{bMatrix}d+1-n_{1}\n_{2}Ende{bMatrix}}cdots {Start{bMatrix}d+1-(n_{1}+cdots +n_{p-1})\n_{p}Ende{bMatrix}}} und {Anzeigestil s_{2}(n_{1},Punkte ,n_{p}):=n_{1}n_{2}+n_{1}n_{3}+n_{2}n_{3}+n_{1}n_{4}+cdots +n_{p-1}n_{p},} die zweite elementare symmetrische Funktion der Zahlen {Anzeigestil n_{1},n_{2},Punkte ,n_{p}.} See also Mathematics portal Dilworth's theorem References Anderson, Jan (1987), Kombinatorik endlicher Mengen, Oxford University Press. Beck, Mathias; Zaslavsky, Thomas (2002), "Ein kürzer, einfacher, stärkerer Beweis der Meshalkin-Hochberg-Hirsch-Grenzen auf komponentenweisen Antiketten", Zeitschrift für kombinatorische Theorie, Serie A, 100 (1): 196–199, arXiv:math/0112068, doi:10.1006/jcta.2002.3295, HERR 1932078, S2CID 8136773. Beck, Mathias; Zaslavsky, Thomas (2003), "Ein Meshalkin-Theorem für projektive Geometrien", Zeitschrift für kombinatorische Theorie, Serie A, 102 (2): 433–441, arXiv:math/0112069, doi:10.1016/S0097-3165(03)00049-9, HERR 1979545, S2CID 992137. Engel, Konrad (1997), Sperner-Theorie, Enzyklopädie der Mathematik und ihrer Anwendungen, vol. 65, Cambridge: Cambridge University Press, p. x+417, doi:10.1017/CBO9780511574719, ISBN 0-521-45206-6, HERR 1429390. Engel, K. (2001) [1994], "Satz von Sperner", Enzyklopädie der Mathematik, EMS Press Erdős, P. (1945), "Auf einem Lemma von Littlewood und Offord" (Pdf), Bulletin der American Mathematical Society, 51 (12): 898–902, doi:10.1090/S0002-9904-1945-08454-7, HERR 0014608 Lubell, D. (1966), "Ein kurzer Beweis von Sperners Lemma", Zeitschrift für kombinatorische Theorie, 1 (2): 299, doi:10.1016/S0021-9800(66)80035-2, HERR 0194348. Meshalkin, L.D.. (1963), "Verallgemeinerung des Satzes von Sperner über die Anzahl der Teilmengen einer endlichen Menge", Wahrscheinlichkeitstheorie und ihre Anwendungen (auf Russisch), 8 (2): 203–204, doi:10.1137/1108023. Rota, Gian-Carlo; Harper, L. H. (1971), "Passende Theorie, eine Einleitung", Fortschritte in der Wahrscheinlichkeitsrechnung und verwandten Themen, Vol. 1, New York: Dekker, pp. 169–215, HERR 0282855. Sperner, Emmanuel (1928), "Ein Satz über Untermengen einer endlichen Menge", Mathematische Zeitschrift (auf Deutsch), 27 (1): 544–548, doi:10.1007/BF01171114, hdl:10338.dmlcz/127405, JFM 54.0090.06, S2CID 123451223. Externe Links Sperners Theorem bei cut-the-knot Sperners Theorem in den polymath1-Wiki-Kategorien: Legen Sie Familienthemen für Fakultäten und Binomiale fest