Teorema de Specht

Teorema de Specht Em matemática, O teorema de Specht fornece uma condição necessária e suficiente para que duas matrizes complexas sejam unitariamente equivalentes. É nomeado após Wilhelm Specht, que provou o teorema em 1940.[1] Duas matrizes A e B com entradas de números complexos são ditas unitariamente equivalentes se existe uma matriz unitária U tal que B = U *AU.[2] Duas matrizes que são unitariamente equivalentes também são semelhantes. Duas matrizes semelhantes representam o mesmo mapa linear, mas em relação a uma base diferente; equivalência unitária corresponde a uma mudança de uma base ortonormal para outra base ortonormal.

Se A e B são unitariamente equivalentes, então tr AA* = tr BB*, onde tr denota o traço (em outras palavras, a norma de Frobenius é uma invariante unitária). Isso decorre da invariância cíclica do traço: se B = U *AU, então tr BB* = tr U *AUU *A*U = tr AUU *A*UU * = tr AA*, onde a segunda igualdade é a invariância cíclica.[3] Desta forma, tr AA* = tr BB* é uma condição necessária para a equivalência unitária, mas não é suficiente. O teorema de Specht dá infinitas condições necessárias que juntas também são suficientes. A formulação do teorema usa a seguinte definição. Uma palavra em duas variáveis, diga x e y, é uma expressão da forma {estilo de exibição W.(x,y)=x^{m_{1}}^{n_{1}}x^{m_{2}}^{n_{2}}cdots x^{m_{p}},} onde m1, n1, m2, n2, …, mp são inteiros não negativos. O grau desta palavra é {estilo de exibição m_{1}+n_{1}+m_{2}+n_{2}+cdots +m_{p}.} Teorema de Specht: Duas matrizes A e B são unitariamente equivalentes se e somente se tr W(UMA, UMA*) = tr W(B, B*) para todas as palavras W.[4] O teorema dá um número infinito de identidades de traços, mas pode ser reduzido a um subconjunto finito. Seja n o tamanho das matrizes A e B. Para o caso n = 2, as três condições a seguir são suficientes:[5] {nome do operador de estilo de exibição {tr} ,A=nome do operador {tr} ,B,nome do operador quad {tr} ,A^{2}=nome do operador {tr} ,B^{2},quadrilátero {texto{e}}nome do operador quad {tr} ,AA^{*}=nome do operador {tr} ,BB^{*}.} Para n = 3, as sete condições a seguir são suficientes: {estilo de exibição {começar{alinhado}&operatorname {tr} ,A=nome do operador {tr} ,B,nome do operador quad {tr} ,A^{2}=nome do operador {tr} ,B^{2},nome do operador quad {tr} ,AA^{*}=nome do operador {tr} ,BB^{*},nome do operador quad {tr} ,A^{3}=nome do operador {tr} ,B^{3},\&operatorname {tr} ,A^{2}A^{*}=nome do operador {tr} ,B^{2}B^{*},nome do operador quad {tr} ,A^{2}(A^{*})^{2}=nome do operador {tr} ,B^{2}(B^{*})^{2},quadrilátero {texto{e}}nome do operador quad {tr} ,A^{2}(A^{*})^{2}AA^{*}=nome do operador {tr} ,B^{2}(B^{*})^{2}BB^{*}.fim{alinhado}}} [6] Para geral n, basta mostrar que tr W(UMA, UMA*) = tr W(B, B*) para todas as palavras de grau no máximo {estilo de exibição m{quadrado {{fratura {2n^{2}}{n-1}}+{fratura {1}{4}}}}+{fratura {n}{2}}-2.} [7] Foi conjecturado que isso pode ser reduzido a uma expressão linear em n.[8] Notas ^ Pica-pau (1940) ^ Horn & Johnson (1985), Definição 2.2.1 ^ Horn & Johnson (1985), Teorema 2.2.2 ^ Horn & Johnson (1985), Teorema 2.2.6 ^ Horn & Johnson (1985), Teorema 2.2.8 ^ Siberiano (1976), p. 260, quoted by Đoković & Johnson (2007) ^ Pappacena (1997), Teorema 4.3 ^ Freedman, Gupta & Guralnick (1997), p. 160 Referências Djokovic, Dragomir Ž.; Johnson, Carlos R. (2007), "Padrões de zero unitariamente alcançáveis ​​e traços de palavras em A e A*", Álgebra Linear e suas Aplicações, 421 (1): 63-68, doi:10.1016/j.laa.2006.03.002, ISSN 0024-3795. Liberto, Allen R; Gupta, Ram Niwas; Guralnick, Roberto M. (1997), "Teorema de Shirshov e representações de semigrupos", Jornal do Pacífico de Matemática, 181 (3): 159-176, doi:10.2140/pjm.1997.181.159, ISSN 0030-8730. Buzina, Rogério A.; Johnson, Carlos R. (1985), Análise de Matriz, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-38632-6. Pappacena, Christopher J. (1997), "Um limite superior para o comprimento de uma álgebra de dimensão finita", Jornal de Álgebra, 197 (2): 535-545, doi:10.1006/Jabr. 1997.7140, ISSN 0021-8693. siberiano, K. S. (1976), Invariantes Algébricos de Equações Diferenciais e Matrizes (em russo), Publicado. "Štiinac", Kishinev. Discurso, Guilherme (1940), "Sobre a teoria das matrizes. II", Relatório anual da Associação Alemã de Matemáticos, 50: 19-23, ISSN 0012-0456. Categorias: Teoria de matrizesCombinatória em palavrasTeoremas em álgebra linear