Il teorema di Specht

Il teorema di Specht In matematica, Il teorema di Specht fornisce una condizione necessaria e sufficiente affinché due matrici complesse siano unitariamente equivalenti. Prende il nome da Wilhelm Specht, che ha dimostrato il teorema in 1940.[1] Due matrici A e B con elementi numerici complessi si dicono unitariamente equivalenti se esiste una matrice unitaria U tale che B = U *AU.[2] Anche due matrici unitariamente equivalenti sono simili. Due matrici simili rappresentano la stessa mappa lineare, ma rispetto a una base diversa; l'equivalenza unitaria corrisponde a un passaggio da una base ortonormale a un'altra base ortonormale.

Se A e B sono unitariamente equivalenti, poi ma AA* = ma BB*, dove tr indica la traccia (in altre parole, la norma di Frobenius è un'invariante unitaria). Ciò deriva dall'invarianza ciclica della traccia: se B = U *AU, allora tr BB* = tr U *AUU *A*U = tr AUU *A*UU * = tr AA*, dove la seconda uguaglianza è l'invarianza ciclica.[3] così, tr AA* = tr BB* è una condizione necessaria per l'equivalenza unitaria, ma non è sufficiente. Il teorema di Specht fornisce infinite condizioni necessarie che insieme sono anche sufficienti. La formulazione del teorema utilizza la seguente definizione. Una parola in due variabili, dire x e y, è un'espressione della forma {stile di visualizzazione W.(X,y)=x^{m_{1}}si^{n_{1}}x^{m_{2}}si^{n_{2}}cdot x^{m_{p}},} dove m1, n1, m2, n2, …, mp sono numeri interi non negativi. Il grado di questa parola è {stile di visualizzazione m_{1}+n_{1}+m_{2}+n_{2}+cdot +m_{p}.} Il teorema di Specht: Due matrici A e B sono unitariamente equivalenti se e solo se tr W(UN, UN*) = tr W(B, B*) per tutte le parole W.[4] Il teorema fornisce un numero infinito di identità di traccia, ma può essere ridotto a un sottoinsieme finito. Sia n la dimensione delle matrici A e B. Per il caso n = 2, sono sufficienti le tre condizioni seguenti:[5] {nome dell'operatore dello stile di visualizzazione {tr} ,A=nome operatore {tr} ,B,nome operatore quad {tr} ,A^{2}=nome operatore {tr} ,B^{2},quad {testo{e}}nome operatore quad {tr} ,AA^{*}=nome operatore {tr} ,BB^{*}.} Per n = 3, le seguenti sette condizioni sono sufficienti: {stile di visualizzazione {inizio{allineato}&operatorname {tr} ,A=nome operatore {tr} ,B,nome operatore quad {tr} ,A^{2}=nome operatore {tr} ,B^{2},nome operatore quad {tr} ,AA^{*}=nome operatore {tr} ,BB^{*},nome operatore quad {tr} ,A^{3}=nome operatore {tr} ,B^{3},\&operatorname {tr} ,A^{2}A^{*}=nome operatore {tr} ,B^{2}B^{*},nome operatore quad {tr} ,A^{2}(A^{*})^{2}=nome operatore {tr} ,B^{2}(B^{*})^{2},quad {testo{e}}nome operatore quad {tr} ,A^{2}(A^{*})^{2}AA^{*}=nome operatore {tr} ,B^{2}(B^{*})^{2}BB^{*}.fine{allineato}}} [6] Per il generale n, basta mostrare che tr W(UN, UN*) = tr W(B, B*) per tutte le parole di laurea al massimo {stile di visualizzazione n{mq {{frac {2n^{2}}{n-1}}+{frac {1}{4}}}}+{frac {n}{2}}-2.} [7] Si è ipotizzato che questa si possa ridurre ad un'espressione lineare in n.[8] Note ^ Picchio (1940) ^ Horn & Johnson (1985), Definizione 2.2.1 ^ Horn & Johnson (1985), Teorema 2.2.2 ^ Horn & Johnson (1985), Teorema 2.2.6 ^ Horn & Johnson (1985), Teorema 2.2.8 ^ Siberiano (1976), p. 260, quoted by Đoković & Johnson (2007) ^ Pappacena (1997), Teorema 4.3 ^ liberto, Gupta & Guralnick (1997), p. 160 Riferimenti Djokovic, Dragomir Ž.; Johnson, Carlo R. (2007), "Modelli zero e tracce di parole ottenibili unitariamente in A e A*", Algebra lineare e sue applicazioni, 421 (1): 63–68, doi:10.1016/j.laa.2006.03.002, ISSN 0024-3795. liberto, Allen R; Gupta, Ram Niwas; Guralnick, Robert M. (1997), "Teorema di Shirshov e rappresentazioni dei semigruppi", Pacific Journal of Mathematics, 181 (3): 159–176, doi:10.2140/pjm.1997.181.159, ISSN 0030-8730. Corno, Roger A.; Johnson, Carlo R. (1985), Analisi della matrice, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-38632-6. Pappacena, Christopher J. (1997), "Un limite superiore per la lunghezza di un'algebra a dimensione finita", Giornale di algebra, 197 (2): 535–545, doi:10.1006/Jabr. 1997.7140, ISSN 0021-8693. siberiano, K. S. (1976), Invarianti algebriche di equazioni differenziali e matrici (in russo), Rilasciato. "Štiinac", Kishinev. Spet, Guglielmo (1940), "Sulla teoria delle matrici. II", Relazione annuale dell'Associazione Tedesca dei Matematici, 50: 19–23, ISSN 0012-0456. Categorie: Teoria delle matriciCombinatoria sulle paroleTeoremi in algebra lineare