Théorème de Specht

Théorème de Specht En mathématiques, Le théorème de Specht donne une condition nécessaire et suffisante pour que deux matrices complexes soient unitairement équivalentes. Il porte le nom de Wilhelm Specht, qui a prouvé le théorème de 1940.[1] Deux matrices A et B à nombres complexes sont dites unitairement équivalentes s'il existe une matrice unitaire U telle que B = U *AU.[2] Deux matrices qui sont unitairement équivalentes sont également similaires. Deux matrices similaires représentent la même carte linéaire, mais par rapport à une base différente; l'équivalence unitaire correspond au passage d'une base orthonormée à une autre base orthonormée.

Si A et B sont unitairement équivalents, alors tr AA* = tr BB*, où tr désigne la trace (autrement dit, la norme de Frobenius est un invariant unitaire). Cela découle de l'invariance cyclique de la trace: si B = U *AU, alors tr BB* = tr U *AUU *A*U = tr AUU *A*UU * = tr AA*, où la deuxième égalité est l'invariance cyclique.[3] Ainsi, tr AA* = tr BB* est une condition nécessaire à l'équivalence unitaire, mais ce n'est pas suffisant. Le théorème de Specht donne une infinité de conditions nécessaires qui, ensemble, sont également suffisantes. La formulation du théorème utilise la définition suivante. Un mot à deux variables, dire x et y, est une expression de la forme {style d'affichage W.(X,y)=x^{m_{1}}y ^{n_{1}}x^{m_{2}}y ^{n_{2}}cdots x^{m_{p}},} où m1, n1, m2, n2, …, mp sont des entiers non négatifs. Le degré de ce mot est {style d'affichage m_{1}+n_{1}+m_{2}+n_{2}+cdots +m_{p}.} Théorème de Specht: Deux matrices A et B sont unitairement équivalentes si et seulement si tr W(UN, UN*) = trW(B, B*) pour tous les mots W.[4] Le théorème donne un nombre infini d'identités de trace, mais il peut être réduit à un sous-ensemble fini. Soit n la taille des matrices A et B. Pour le cas n = 2, les trois conditions suivantes suffisent:[5] {nom de l'opérateur de style d'affichage {tr} ,A=nom de l'opérateur {tr} ,B,nom de l'opérateur quad {tr} ,Un ^{2}=nomopérateur {tr} ,B^{2},quad {texte{et}}nom de l'opérateur quad {tr} ,AA^{*}=nomopérateur {tr} ,BB^{*}.} Pour n = 3, les sept conditions suivantes suffisent: {style d'affichage {commencer{aligné}&operatorname {tr} ,A=nom de l'opérateur {tr} ,B,nom de l'opérateur quad {tr} ,Un ^{2}=nomopérateur {tr} ,B^{2},nom de l'opérateur quad {tr} ,AA^{*}=nomopérateur {tr} ,BB^{*},nom de l'opérateur quad {tr} ,Un ^{3}=nomopérateur {tr} ,B^{3},\&operatorname {tr} ,Un ^{2}Un ^{*}=nomopérateur {tr} ,B^{2}B^{*},nom de l'opérateur quad {tr} ,Un ^{2}(Un ^{*})^{2}=nomopérateur {tr} ,B^{2}(B^{*})^{2},quad {texte{et}}nom de l'opérateur quad {tr} ,Un ^{2}(Un ^{*})^{2}AA^{*}=nomopérateur {tr} ,B^{2}(B^{*})^{2}BB^{*}.fin{aligné}}} [6] Pour le général n, il suffit de montrer que tr W(UN, UN*) = trW(B, B*) pour tous les mots de degré au plus {displaystyle n{sqrt {{frac {2n^{2}}{n-1}}+{frac {1}{4}}}}+{frac {n}{2}}-2.} [7] Il a été conjecturé que cela peut être réduit à une expression linéaire en n.[8] Remarques ^ Pic (1940) ^ Horn & Johnson (1985), Définition 2.2.1 ^ Horn & Johnson (1985), Théorème 2.2.2 ^ Horn & Johnson (1985), Théorème 2.2.6 ^ Horn & Johnson (1985), Théorème 2.2.8 ^ Sibérien (1976), p. 260, quoted by Đoković & Johnson (2007) ^ Pappacena (1997), Théorème 4.3 ^ Freedman, Gupta & Guralnick (1997), p. 160 Références Djokovic, Dragomir ®.; Johnson, Charles R.. (2007), "Motifs zéro réalisables unitairement et traces de mots en A et A*", Algèbre linéaire et ses applications, 421 (1): 63–68, est ce que je:10.1016/j.laa.2006.03.002, ISSN 0024-3795. Affranchi, Allen R.; Gupta, Ram Niwas; Guralnick, Robert M. (1997), "Théorème de Shirshov et représentations des semi-groupes", Pacific Journal of Mathematics, 181 (3): 159–176, est ce que je:10.2140/pjm.1997.181.159, ISSN 0030-8730. Corne, RogerA.; Johnson, Charles R.. (1985), Analyse matricielle, la presse de l'Universite de Cambridge, ISBN 978-0-521-38632-6. Papacena, Christophe J.. (1997), "Une borne supérieure pour la longueur d'une algèbre de dimension finie", Journal d'algèbre, 197 (2): 535–545, est ce que je:10.1006/Jabr.1997.7140, ISSN 0021-8693. sibérien, K. S. (1976), Invariants algébriques des équations différentielles et des matrices (en russe), Publié. "Štiinac", Kichinev. Specht, Guillaume (1940), "Sur la théorie des matrices. II", Rapport annuel de l'Association allemande des mathématiciens, 50: 19–23, ISSN 0012-0456. Catégories: Théorie des matricesCombinatoire des motsThéorèmes en algèbre linéaire