Satz von Specht

Der Satz von Specht in der Mathematik, Der Satz von Specht gibt eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür an, dass zwei komplexe Matrizen unitär äquivalent sind. Es ist nach Wilhelm Specht benannt, der den Satz bewiesen hat in 1940.[1] Zwei Matrizen A und B mit komplexen Zahleneinträgen heißen unitär äquivalent, wenn es eine unitäre Matrix U gibt, so dass B = U *AU.[2] Zwei einheitlich äquivalente Matrizen sind auch ähnlich. Zwei ähnliche Matrizen repräsentieren dieselbe lineare Abbildung, aber auf einer anderen Grundlage; einheitliche Äquivalenz entspricht einem Wechsel von einer orthonormalen Basis zu einer anderen orthonormalen Basis.

Wenn A und B unitär äquivalent sind, dann tr AA* = tr BB*, wobei tr die Spur bezeichnet (mit anderen Worten, die Frobenius-Norm ist eine unitäre Invariante). Dies folgt aus der zyklischen Invarianz der Spur: wenn B = U *AU, dann tr BB* = tr U *AUU *A*U = tr AUU *A*UU * = tr AA*, wobei die zweite Gleichheit zyklische Invarianz ist.[3] Daher, tr AA* = tr BB* ist eine notwendige Bedingung für unitäre Äquivalenz, aber es ist nicht ausreichend. Der Satz von Specht gibt unendlich viele notwendige Bedingungen an, die zusammen auch hinreichend sind. Die Formulierung des Theorems verwendet die folgende Definition. Ein Wort in zwei Variablen, sag x und y, ist ein Ausdruck der Form {Anzeigestil W.(x,j)=x^{m_{1}}y^{n_{1}}x^{m_{2}}y^{n_{2}}cdots x^{m_{p}},} wo m1, n1, m2, n2, …, mp sind nicht negative ganze Zahlen. Der Grad dieses Wortes ist {Anzeigestil m_{1}+n_{1}+m_{2}+n_{2}+cdots +m_{p}.} Satz von Specht: Zwei Matrizen A und B sind unitär äquivalent genau dann, wenn tr W(EIN, EIN*) = tr W(B, B*) für alle Wörter W.[4] Der Satz gibt eine unendliche Anzahl von Spuridentitäten an, aber es kann auf eine endliche Teilmenge reduziert werden. Sei n die Größe der Matrizen A und B. Für den Fall n = 2, die folgenden drei Bedingungen sind ausreichend:[5] {Anzeigestil Betreibername {tr} ,A=Betreibername {tr} ,B,Quad-Operatorname {tr} ,A^{2}= Betreibername {tr} ,B^{2},Quad {Text{und}}Quad-Operatorname {tr} ,AA^{*}= Betreibername {tr} ,BB^{*}.} Für n = 3, die folgenden sieben Bedingungen sind ausreichend: {Anzeigestil {Start{ausgerichtet}&operatorname {tr} ,A=Betreibername {tr} ,B,Quad-Operatorname {tr} ,A^{2}= Betreibername {tr} ,B^{2},Quad-Operatorname {tr} ,AA^{*}= Betreibername {tr} ,BB^{*},Quad-Operatorname {tr} ,A^{3}= Betreibername {tr} ,B^{3},\&operatorname {tr} ,A^{2}A^{*}= Betreibername {tr} ,B^{2}B^{*},Quad-Operatorname {tr} ,A^{2}(A^{*})^{2}= Betreibername {tr} ,B^{2}(B^{*})^{2},Quad {Text{und}}Quad-Operatorname {tr} ,A^{2}(A^{*})^{2}AA^{*}= Betreibername {tr} ,B^{2}(B^{*})^{2}BB^{*}.Ende{ausgerichtet}}} [6] Für allgemeine n, es genügt zu zeigen, dass tr W(EIN, EIN*) = tr W(B, B*) für alle Worte des Grades höchstens {Anzeigestil n{quadrat {{frac {2n^{2}}{n-1}}+{frac {1}{4}}}}+{frac {n}{2}}-2.} [7] Es wurde vermutet, dass dies auf einen linearen Ausdruck in n zurückgeführt werden kann.[8] Notes ^ Specht (1940) ^ Horn & Johnson (1985), Definition 2.2.1 ^ Horn & Johnson (1985), Satz 2.2.2 ^ Horn & Johnson (1985), Satz 2.2.6 ^ Horn & Johnson (1985), Satz 2.2.8 ^ Sibirisch (1976), p. 260, quoted by Đoković & Johnson (2007) ^ Pappacena (1997), Satz 4.3 ^ Freigelassener, Gupta & Guralnick (1997), p. 160 Referenzen Djokovic, Dragomir Ž.; Johnson, Karl R. (2007), "Einheitlich erreichbare Nullmuster und Wortspuren in A und A*", Lineare Algebra und ihre Anwendungen, 421 (1): 63–68, doi:10.1016/j.laa.2006.03.002, ISSN 0024-3795. Freigelassener, Allen R.; Gupta, Ram Niwas; Guralnick, Robert m. (1997), "Satz von Shirshov und Darstellungen von Halbgruppen", Pacific Journal of Mathematics, 181 (3): 159–176, doi:10.2140/pjm.1997.181.159, ISSN 0030-8730. Horn, Roger A.; Johnson, Karl R. (1985), Matrixanalyse, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-38632-6. Pappacena, Christoph J. (1997), "Eine Obergrenze für die Länge einer endlichdimensionalen Algebra", Zeitschrift für Algebra, 197 (2): 535–545, doi:10.1006/Jabr. 1997.7140, ISSN 0021-8693. sibirisch, K. S. (1976), Algebraische Invarianten von Differentialgleichungen und Matrizen (auf Russisch), Problematisch. "Štiinac", Kischinjow. Specht, Wilhelm (1940), "Zur Theorie der Matrizen. II", Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, 50: 19–23, ISSN 0012-0456. Kategorien: MatrixtheorieKombinatorik über WörterSätze in der linearen Algebra