Curva che riempie lo spazio

Curva che riempie lo spazio (Reindirizzamento dal teorema di Hahn-Mazurkiewicz) Vai alla navigazione Vai alla ricerca Tre iterazioni della costruzione della curva di Peano, il cui limite è una curva che riempie lo spazio.

Nell'analisi matematica, una curva che riempie lo spazio è una curva il cui intervallo contiene l'intero quadrato unitario bidimensionale (o più in generale un ipercubo unitario n-dimensionale). Because Giuseppe Peano (1858–1932) fu il primo a scoprirne uno, le curve che riempiono lo spazio nel piano bidimensionale sono talvolta chiamate curve di Peano, ma quella frase si riferisce anche alla curva di Peano, l'esempio specifico di una curva che riempie lo spazio trovata da Peano.

Contenuti 1 Definizione 2 Storia 3 Cenni alla costruzione di una curva riempitiva 4 Proprietà 5 Il teorema di Hahn-Mazurkiewicz 6 gruppi kleiniani 7 Integrazione 8 Guarda anche 9 Appunti 10 Riferimenti 11 Collegamenti esterni Definizione Intuitivamente, una curva in due o tre (o più alto) le dimensioni possono essere pensate come il percorso di un punto in continuo movimento. Per eliminare l'intrinseca vaghezza di questa nozione, Giordano dentro 1887 ha introdotto la seguente definizione rigorosa, che da allora è stata adottata come descrizione precisa della nozione di curva: Una curva (con punti finali) è una funzione continua il cui dominio è l'intervallo unitario [0, 1].

Nella forma più generale, la gamma di una tale funzione può trovarsi in uno spazio topologico arbitrario, ma nei casi più comunemente studiati, l'intervallo si troverà in uno spazio euclideo come il piano bidimensionale (una curva planare) o lo spazio tridimensionale (curva spaziale).

A volte, la curva è identificata con l'immagine della funzione (l'insieme di tutti i possibili valori della funzione), invece della funzione stessa. È anche possibile definire curve senza punti finali come una funzione continua sulla retta reale (o sull'intervallo unitario aperto (0, 1)).

Storia dentro 1890, Peano scoprì una curva continua, ora chiamata curva di Peano, che passa per ogni punto del quadrato unitario.[1] Il suo scopo era costruire una mappatura continua dall'intervallo unitario al quadrato unitario. Peano è stato motivato dal precedente risultato controintuitivo di Georg Cantor secondo cui il numero infinito di punti in un intervallo unitario è la stessa cardinalità del numero infinito di punti in qualsiasi varietà di dimensione finita, come il quadrato unitario. Il problema risolto da Peano era se tale mappatura potesse essere continua; cioè., una curva che riempie uno spazio. La soluzione di Peano non stabilisce una corrispondenza biunivoca continua tra l'intervallo unitario e il quadrato unitario, e infatti tale corrispondenza non esiste (vedere § Proprietà di seguito).

Era comune associare le vaghe nozioni di magrezza e unidimensionalità alle curve; tutte le curve normalmente incontrate erano differenziabili a tratti (questo è, hanno derivate continue a tratti), e tali curve non possono riempire l'intero quadrato unitario. Perciò, La curva di riempimento dello spazio di Peano si è rivelata altamente controintuitiva.

Dall'esempio di Peano, era facile dedurre curve continue i cui intervalli contenevano l'ipercubo n-dimensionale (per ogni intero positivo n). Era anche facile estendere l'esempio di Peano a curve continue senza punti finali, che riempiva l'intero spazio euclideo n-dimensionale (dove n è 2, 3, o qualsiasi altro numero intero positivo).

Le curve di riempimento dello spazio più note sono costruite in modo iterativo come limite di una sequenza di curve continue lineari a tratti, ognuno si avvicina più da vicino al limite di riempimento dello spazio.

L'innovativo articolo di Peano non conteneva illustrazioni della sua costruzione, che è definito in termini di espansioni ternarie e un operatore di mirroring. Ma la costruzione grafica gli era perfettamente chiara: realizzò una piastrellatura ornamentale che mostrava un'immagine della curva nella sua casa di Torino. L'articolo di Peano termina anche osservando che la tecnica è ovviamente estendibile ad altre basi dispari oltre alla base 3. La sua scelta di evitare ogni ricorso alla visualizzazione grafica è stata motivata dal desiderio di una dimostrazione assolutamente rigorosa che nulla deve alle immagini. A quel tempo (l'inizio della fondazione della topologia generale), gli argomenti grafici erano ancora inclusi nelle dimostrazioni, eppure stavano diventando un ostacolo alla comprensione di risultati spesso controintuitivi.

Un anno dopo, David Hilbert pubblicò sulla stessa rivista una variazione della costruzione di Peano.[2] L'articolo di Hilbert è stato il primo a includere un'immagine che aiuta a visualizzare la tecnica di costruzione, sostanzialmente uguale a quello qui illustrato. La forma analitica della curva di Hilbert, però, è più complicato di quello di Peano.

Sei iterazioni della costruzione della curva di Hilbert, la cui curva di riempimento dello spazio limite è stata ideata dal matematico David Hilbert. Cenni sulla costruzione di una curva riempitiva Let {stile di visualizzazione {matematico {C}}} denotare lo spazio di Cantor {displaystyle mathbf {2} ^{mathbb {N} }} .

Iniziamo con una funzione continua {stile di visualizzazione h} dallo spazio di Cantor {stile di visualizzazione {matematico {C}}} sull'intero intervallo unitario {stile di visualizzazione [0,,1]} . (La restrizione della funzione Cantor all'insieme Cantor è un esempio di tale funzione.) Da, otteniamo una funzione continua {stile di visualizzazione H} dal prodotto topologico {stile di visualizzazione {matematico {C}};volte ;{matematico {C}}} su tutto il quadrato unitario {stile di visualizzazione [0,,1];volte ;[0,,1]} IMPOSTANDO {stile di visualizzazione H(X,y)=(h(X),h(y)).,} Poiché l'insieme di Cantor è omeomorfo al prodotto {stile di visualizzazione {matematico {C}}volte {matematico {C}}} , c'è una biiezione continua {stile di visualizzazione g} dal Cantore impostato su {stile di visualizzazione {matematico {C}};volte ;{matematico {C}}} . La composizione {stile di visualizzazione f} di {stile di visualizzazione H} e {stile di visualizzazione g} è una funzione continua che mappa l'insieme di Cantor sull'intero quadrato unitario. (In alternativa, potremmo usare il teorema che ogni spazio metrico compatto è un'immagine continua dell'insieme di Cantor per ottenere la funzione {stile di visualizzazione f} .) Infine, si può estendere {stile di visualizzazione f} ad una funzione continua {stile di visualizzazione F} il cui dominio è l'intero intervallo unitario {stile di visualizzazione [0,,1]} . Questo può essere fatto utilizzando il teorema di estensione di Tietze su ciascuno dei componenti di {stile di visualizzazione f} , o semplicemente estendendo {stile di visualizzazione f} "linearmente" (questo è, su ciascuno degli intervalli aperti cancellati {stile di visualizzazione (un,,b)} nella costruzione dell'insieme di Cantor, definiamo la parte di estensione di {stile di visualizzazione F} Su {stile di visualizzazione (un,,b)} essere il segmento di linea all'interno del quadrato unitario che unisce i valori {stile di visualizzazione f(un)} e {stile di visualizzazione f(b)} ).

Proprietà Curve di livello di Morton e di Hilbert 6 (45=1024 celle nella partizione quadrata ricorsiva) tracciando ogni indirizzo come colore diverso nello standard RGB, e utilizzando le etichette Geohash. I quartieri hanno colori simili, ma ogni curva offre diversi modelli di raggruppamento di simili in scale più piccole.

Se una curva non è iniettiva, quindi si possono trovare due sottocurve che si intersecano della curva, ciascuno ottenuto considerando le immagini di due segmenti disgiunti dal dominio della curva (il segmento di linea unitaria). Le due sottocurve si intersecano se l'intersezione delle due immagini non è vuota. Si potrebbe essere tentati di pensare che il significato delle curve che si intersecano sia che esse necessariamente si incrociano, come il punto di intersezione di due rette non parallele, da una parte all'altra. Tuttavia, due curve (o due sottocurve di una curva) possono contattarsi senza incrociarsi, come, Per esempio, una linea tangente a un cerchio lo fa.

Una curva continua non autointersecante non può riempire il quadrato unitario perché ciò renderà la curva un omeomorfismo dall'intervallo unitario al quadrato unitario (qualsiasi biiezione continua da uno spazio compatto su uno spazio di Hausdorff è un omeomorfismo). Ma un quadrato unitario non ha punto di divisione, e quindi non può essere omeomorfo all'intervallo unitario, in cui tutti i punti tranne gli estremi sono punti di taglio. Esistono curve non autointersecanti di area diversa da zero, le curve di Osgood, ma per il teorema di Netto non riempiono lo spazio.[3] Per le classiche curve che riempiono lo spazio di Peano e Hilbert, dove si intersecano due sottocurve (in senso tecnico), c'è autocontatto senza autoattraversamento. Una curva che riempie lo spazio può essere (ovunque) autoincrociante se le sue curve di approssimazione sono autoincrocianti. Le approssimazioni di una curva che riempie lo spazio possono essere autoevitanti, come illustrano le figure sopra. In 3 dimensioni, le curve di approssimazione autoevitanti possono anche contenere nodi. Le curve di approssimazione rimangono all'interno di una porzione limitata di spazio n-dimensionale, ma la loro lunghezza aumenta senza limiti.

Le curve che riempiono lo spazio sono casi speciali di curve frattali. Non può esistere una curva di riempimento dello spazio differenziabile. In parole povere, la differenziabilità pone un limite alla velocità con cui la curva può girare.

Il teorema di Hahn-Mazurkiewicz Il teorema di Hahn-Mazurkiewicz è la seguente caratterizzazione degli spazi che sono l'immagine continua delle curve: Uno spazio topologico di Hausdorff non vuoto è un'immagine continua dell'intervallo unitario se e solo se è un compatto, collegato, localmente connesso, secondo spazio numerabile.

Gli spazi che sono l'immagine continua di un intervallo unitario sono talvolta chiamati spazi di Peano.

In molte formulazioni del teorema di Hahn-Mazurkiewicz, second-countable è sostituito da metrizable. Queste due formulazioni sono equivalenti. In una direzione uno spazio di Hausdorff compatto è uno spazio normale e, dal teorema di metrizzazione di Urysohn, secondo-numerabile implica quindi metrizzabile. al contrario, uno spazio metrico compatto è secondo numerabile.

Gruppi kleiniani Ci sono molti esempi naturali di riempimento dello spazio, o piuttosto che riempie la sfera, curve nella teoria dei gruppi kleiniani doppiamente degeneri. Per esempio, Cannon & Thurston (2007) ha mostrato che il cerchio all'infinito della copertura universale di una fibra di un toro di mappatura di una mappa pseudo-Anosov è una curva che riempie la sfera. (Qui la sfera è la sfera all'infinito del 3-spazio iperbolico.) Integrazione Wiener ha sottolineato in The Fourier Integral and Certain of its Applications che le curve di riempimento dello spazio potrebbero essere utilizzate per ridurre l'integrazione di Lebesgue in dimensioni superiori all'integrazione di Lebesgue in una dimensione.

Vedi anche Curva di Dragon Curva di Gosper Curva di Hilbert Curva di Koch Curva di Moore Poligono di Murray Curva di Sierpiński Albero che riempie lo spazio Indice spaziale Albero R di Hilbert Albero Bx Ordine Z (curva) (Ordine di Morton) Mappa Cannon–Thurston Elenco dei frattali secondo la dimensione di Hausdorff Note ^ Peano 1890. ^ Hilbert 1891. ^ Sagano 1994, p. 131. Riferimenti Cannone, Giacomo W.; Thurston, Guglielmo P. (2007) [1982], "Curve di Peano invarianti di gruppo", Geometry & Topology, 11 (3): 1315–1355, doi:10.2140/gt.2007.11.1315, ISSN 1465-3060, SIG 2326947 Hilbert, D. (1891), "Sulla mappatura continua di una linea su una superficie", Annali matematici (in tedesco), 38 (3): 459–460, doi:10.1007/BF01199431, S2CID 123643081 Mandelbrot, B. B. (1982), "cap. 7: Sfruttare le curve dei mostri di Peano", La geometria frattale della natura, w. H. Libero. McKenna, Douglas M. (1994), "SquaRecurves, E-Tour, Vortici, e Frenesie: Famiglie di base delle curve di Peano sulla griglia quadrata", nel ragazzo, Richard K.; Woodrow, Roberto E. (eds.), Il lato più leggero della matematica: Atti della Eugene Strens Memorial Conference on Recreational Mathematics and its History, Associazione Matematica d'America, pp. 49–73, ISBN 978-0-88385-516-4. Peano, G. (1890), "Su una curva, che riempie un'intera area pianeggiante", Annali matematici (in francese), 36 (1): 157–160, doi:10.1007/BF01199438, S2CID 179177780. Sagan, Hans (1994), Curve che riempiono lo spazio, Universitext, Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4612-0871-6, ISBN 0-387-94265-3, SIG 1299533. Collegamenti esterni Wikimedia Commons ha media relativi alle curve che riempiono lo spazio. Curve multidimensionali che riempiono lo spazio Prova dell'esistenza di una biiezione nelle applet Java tagliate il nodo: Curve di riempimento del piano di Peano al taglio del nodo Curve di riempimento del piano di Hilbert e Moore al taglio del nodo Tutte le curve di riempimento del piano di Peano al taglio del nodo nascondi vte Caratteristiche frattali Dimensioni frattali AssouadBox-counting HiguchiCorrelationHausdorffPackingTopologicalRecursionAutosimilarità Sistema di funzioni iterate Barnsley fernCantor setFiocco di neve di KochSpugna di MengerTappeto di SierpinskiTriangolo di SierpinskiGuarnizione ApollonianaParola di FibonacciCurva di riempimento dello spazioCurva di BlancmangeCurva di De RhamMinkowskiCurva del dragoCurva di HilbertCurva di KochCurva di Lévy CCurva di MooreCurva di PeanoCurva di SierpińskiCurva di ordine ZStringaT-squaren-flakeVicsek fractalHexaflakeCurva di GosperAlbero di PitagoraFunzione di Weierstrass Strano attrattore Sistema multifrattale L- sistema Fractal baldacchino Curva di riempimento dello spazio Albero H Escape- time fractals Burning Ship fractalJulia set FilledNewton fractalConiglio DouadyLyapunov fractalMandelbrot set Misiurewicz pointMultibrot setNewton fractalTricornoMandelboxMandelbulb Tecniche di rendering BuddhabrotOrbit trapPickover stalk Frattali casuali Moto browniano Brownian treeBrownian motorFractal landscapeLévy flightTeoria della percolazioneSelf-evitation walk Persone Michael BarnsleyGeorg CantorBill GosperFelix Hausdorff, Desmond Paul Henry, Gaston Julia, Helge von Koch, Paul Lévy, Aleksandr Lyapunov, Benoit Mandelbrot, Hamid Naderi Yeganeh, Lewis Fry RichardsonWacław Sierpiński Altro "Quanto è lunga la costa della Gran Bretagna?" Paradosso della costaArte frattaleLista dei frattali secondo la dimensione di HausdorffLa geometria frattale della natura (1982 libro)La bellezza dei frattali (1986 libro)Caos: Fare una nuova scienza (1987 libro)CaleidoscopioTeoria del caos Categorie: Mappature continue Curve frattali Frattali del sistema di funzioni iterate