Solidez

Solidez (Redirecionado de Teorema da solidez) Ir para a navegação Ir para a pesquisa Na lógica, mais precisamente no raciocínio dedutivo, um argumento é válido se for válido na forma e se suas premissas forem verdadeiras.[1] A solidez também tem um significado relacionado na lógica matemática, em que os sistemas lógicos são sólidos se e somente se cada fórmula que pode ser provada no sistema é logicamente válida em relação à semântica do sistema.

Conteúdo 1 Definição 2 Use em lógica matemática 2.1 Sistemas lógicos 2.1.1 Solidez 2.1.2 Solidez forte 2.1.3 Solidez aritmética 2.2 Relação com a completude 3 Veja também 4 Referências 5 Bibliografia 6 External links Definition In deductive reasoning, um argumento sólido é um argumento que é válido e todas as suas premissas são verdadeiras (e, como consequência, sua conclusão também é verdadeira). Um argumento é válido se, supondo que suas premissas sejam verdadeiras, a conclusão deve ser verdadeira. Um exemplo de um argumento sólido é o seguinte silogismo bem conhecido: (instalações) Todos os homens são mortais. Sócrates é um homem. (conclusão) Portanto, Sócrates é mortal.

Por causa da necessidade lógica da conclusão, este argumento é válido; e porque o argumento é válido e suas premissas são verdadeiras, o argumento é bom.

No entanto, um argumento pode ser válido sem ser sólido. Por exemplo: Todos os pássaros podem voar. Pinguins são pássaros. Portanto, pinguins podem voar.

Este argumento é válido, pois a conclusão deve ser verdadeira assumindo que as premissas são verdadeiras. No entanto, a primeira premissa é falsa. Nem todos os pássaros podem voar (por exemplo, pinguins). Para um argumento ser sólido, o argumento deve ser válido e suas premissas devem ser verdadeiras.[2] Use in mathematical logic Logical systems In mathematical logic, um sistema lógico tem a propriedade de solidez se e somente se toda fórmula que pode ser provada no sistema é logicamente válida em relação à semântica do sistema. Na maioria dos casos, isso se resume a que suas regras tenham a propriedade de preservar a verdade.[3] O inverso da solidez é conhecido como completude.

Um sistema lógico com implicação sintática {estilo de exibição vdash } e vinculação semântica {modelos de estilo de exibição } é bom se para qualquer sequência {estilo de exibição A_{1},UMA_{2},...,UMA_{n}} de frases em sua língua, E se {estilo de exibição A_{1},UMA_{2},...,UMA_{n}vdash C} , então {estilo de exibição A_{1},UMA_{2},...,UMA_{n}modelos C} . Em outras palavras, um sistema é sólido quando todos os seus teoremas são tautologias.

A solidez está entre as propriedades mais fundamentais da lógica matemática. A propriedade de solidez fornece a razão inicial para contar um sistema lógico como desejável. A propriedade de completude significa que toda validade (verdade) é comprovável. Juntos, eles implicam que todas e apenas as validades são prováveis.

A maioria das provas de solidez são triviais.[citação necessária] Por exemplo, em um sistema axiomático, prova de solidez equivale a verificar a validade dos axiomas e que as regras de inferência preservam a validade (ou a propriedade mais fraca, verdade). Se o sistema permite dedução estilo Hilbert, requer apenas verificar a validade dos axiomas e uma regra de inferência, ou seja, definir o modo. (e às vezes substituição) Propriedades de solidez vêm em duas variedades principais: solidez fraca e forte, dos quais o primeiro é uma forma restrita do último.

Soundness Soundness of a deductive system is the property that any sentence that is provable in that deductive system is also true on all interpretations or structures of the semantic theory for the language upon which that theory is based. Em símbolos, onde S é o sistema dedutivo, L a linguagem junto com sua teoria semântica, e P uma sentença de L: if ⊢S P, then also ⊨L P.

Strong soundness Strong soundness of a deductive system is the property that any sentence P of the language upon which the deductive system is based that is derivable from a set Γ of sentences of that language is also a logical consequence of that set, no sentido de que qualquer modelo que torne todos os membros de Γ verdadeiros também tornará P verdadeiro. Em símbolos onde Γ é um conjunto de sentenças de L: if Γ ⊢S P, then also Γ ⊨L P. Observe que na afirmação de forte solidez, quando Γ está vazio, temos a declaração de solidez fraca.

Arithmetic soundness If T is a theory whose objects of discourse can be interpreted as natural numbers, dizemos que T é aritmeticamente correto se todos os teoremas de T são realmente verdadeiros sobre os inteiros matemáticos padrão. Para mais informações, ver teoria ω-consistente.

Relation to completeness The converse of the soundness property is the semantic completeness property. Um sistema dedutivo com uma teoria semântica é fortemente completo se cada sentença P que é uma consequência semântica de um conjunto de sentenças Γ pode ser derivada no sistema de dedução desse conjunto. Em símbolos: sempre que Γ ⊨ P, então também Γ ⊢ P. A completude da lógica de primeira ordem foi explicitamente estabelecida pela primeira vez por Gödel, embora alguns dos principais resultados estivessem contidos em trabalhos anteriores de Skolem.

Informalmente, um teorema de solidez para um sistema dedutivo expressa que todas as sentenças demonstráveis ​​são verdadeiras. A completude afirma que todas as sentenças verdadeiras são demonstráveis.

O primeiro teorema da incompletude de Gödel mostra que para linguagens suficientes para fazer uma certa quantidade de aritmética, não pode haver nenhum sistema dedutivo consistente e eficaz que seja completo no que diz respeito à interpretação pretendida do simbolismo dessa linguagem. Desta forma, nem todos os sistemas dedutivos de som são completos nesse sentido especial de completude, em que a classe de modelos (até o isomorfismo) é restrito ao pretendido. A prova de completude original se aplica a todos os modelos clássicos, não alguma subclasse própria especial das pretendidas.

See also Philosophy portal Soundness (prova interativa) Referências ^ Smith, Peter (2010). "Tipos de sistema de prova" (PDF). p. 5. ^ Carrasco, Harry J., 1945- (Janeiro 6, 2017). Introdução à lógica (Third ed.). Nova york. ISBN 978-1-138-91058-4. OCLC 957680480. ^ Mindus, Patrícia (2009-09-18). Uma Mente Verdadeira: A vida e obra de Axel Hägerström. Springer Science & Business Media. ISBN 978-90-481-2895-2. Bibliografia Hinman, P. (2005). Fundamentos de lógica matemática. A K Peters. ISBN 1-56881-262-0. cópia de, Irving (1979), Lógica Simbólica (5ª edição), Macmillan Publishing Co., ISBN 0-02-324880-7 Boolos, Cidadão, Jeffrey. Computabilidade e lógica, 4ª Ed, Cambridge, 2002. Links externos O Wikcionário tem definições relacionadas à Validade e Solidez na Internet Enciclopédia de Filosofia. hide vte Metalogic and metamathematics Cantor's theoremEntscheidungsproblemChurch–Turing thesisConsistencyEffective methodFoundations of mathematics of geometryGödel's completeness theoremGödel's incompleteness theoremsSoundnessCompletenessDecidabilityInterpretationLöwenheim–Skolem theoremMetatheoremSatisfiabilityIndependenceType–token distinctionUse–mention distinction Categories: ArgumentosTeoria do modeloTeoria da provaConceitos em lógicaRaciocínio dedutivo

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