Solidità

Solidità (Reindirizzato da Teorema di solidità) Vai alla navigazione Vai alla ricerca Nella logica, più precisamente nel ragionamento deduttivo, un argomento è valido se è valido nella forma e le sue premesse sono vere.[1] La solidità ha anche un significato correlato nella logica matematica, in cui i sistemi logici sono validi se e solo se ogni formula che può essere dimostrata nel sistema è logicamente valida rispetto alla semantica del sistema.

Contenuti 1 Definizione 2 Utilizzare nella logica matematica 2.1 Sistemi logici 2.1.1 Solidità 2.1.2 Solidità forte 2.1.3 Solidità aritmetica 2.2 Relazione con la completezza 3 Guarda anche 4 Riferimenti 5 Bibliografia 6 External links Definition In deductive reasoning, un argomento valido è un argomento valido e tutte le sue premesse sono vere (e di conseguenza anche la sua conclusione è vera). Un argomento è valido se, ammesso che le sue premesse siano vere, la conclusione deve essere vera. Un esempio di un valido argomento è il seguente ben noto sillogismo: (locali) Tutti gli uomini sono mortali. Socrate è un uomo. (conclusione) Perciò, Socrate è mortale.

Per la logica necessità della conclusione, questo argomento è valido; e perché l'argomento è valido e le sue premesse sono vere, l'argomento è valido.

Tuttavia, un argomento può essere valido senza essere valido. Per esempio: Tutti gli uccelli possono volare. I pinguini sono uccelli. Perciò, i pinguini possono volare.

Questo argomento è valido in quanto la conclusione deve essere vera assumendo che le premesse siano vere. Tuttavia, la prima premessa è falsa. Non tutti gli uccelli possono volare (Per esempio, pinguini). Perché un argomento sia valido, l'argomento deve essere valido e le sue premesse devono essere vere.[2] Use in mathematical logic Logical systems In mathematical logic, un sistema logico ha la proprietà della solidità se e solo se ogni formula che può essere dimostrata nel sistema è logicamente valida rispetto alla semantica del sistema. Nella maggior parte dei casi, questo si riduce alle sue regole che hanno la proprietà di preservare la verità.[3] Il contrario della solidità è noto come completezza.

Un sistema logico con implicazione sintattica {displaystyle vdash } e implicazione semantica {modelli di stile di visualizzazione } è suono se per qualsiasi sequenza {stile di visualizzazione A_{1},UN_{2},...,UN_{n}} di frasi nella sua lingua, Se {stile di visualizzazione A_{1},UN_{2},...,UN_{n}vdash C} , poi {stile di visualizzazione A_{1},UN_{2},...,UN_{n}modelli C} . In altre parole, un sistema è sano quando tutti i suoi teoremi sono tautologie.

La solidità è tra le proprietà fondamentali della logica matematica. La proprietà della solidità fornisce la ragione iniziale per contare un sistema logico come desiderabile. La proprietà completezza significa che ogni validità (verità) è dimostrabile. Insieme implicano che tutte e solo le validità sono dimostrabili.

La maggior parte delle prove di solidità sono banali.[citazione necessaria] Per esempio, in un sistema assiomatico, la prova di solidità equivale a verificare la validità degli assiomi e che le regole di inferenza preservano la validità (o la proprietà più debole, verità). Se il sistema consente la detrazione in stile Hilbert, richiede solo la verifica della validità degli assiomi e una regola di inferenza, vale a dire l'impostazione della modalità. (e talvolta sostituzione) Le proprietà di solidità sono disponibili in due varietà principali: solidità debole e forte, di cui la prima è una forma ristretta della seconda.

Soundness Soundness of a deductive system is the property that any sentence that is provable in that deductive system is also true on all interpretations or structures of the semantic theory for the language upon which that theory is based. Nei simboli, dove S è il sistema deduttivo, L il linguaggio insieme alla sua teoria semantica, e P una frase di L: if ⊢S P, then also ⊨L P.

Strong soundness Strong soundness of a deductive system is the property that any sentence P of the language upon which the deductive system is based that is derivable from a set Γ of sentences of that language is also a logical consequence of that set, nel senso che qualsiasi modello che renda veri tutti i membri di Γ renderà vero anche P. Nei simboli dove Γ è un insieme di frasi di L: if Γ ⊢S P, then also Γ ⊨L P. Si noti che nella dichiarazione di forte solidità, quando Γ è vuoto, abbiamo l'affermazione di debole solidità.

Arithmetic soundness If T is a theory whose objects of discourse can be interpreted as natural numbers, diciamo che T è aritmeticamente valido se tutti i teoremi di T sono effettivamente veri sugli interi matematici standard. Per maggiori informazioni, vedi teoria ω-consistente.

Relation to completeness The converse of the soundness property is the semantic completeness property. Un sistema deduttivo con una teoria semantica è fortemente completo se ogni frase P che è una conseguenza semantica di un insieme di enunciati Γ può essere derivata nel sistema di deduzione da quell'insieme. Nei simboli: ogni volta che Γ ⊨ P, allora anche Γ ⊢ P. La completezza della logica del primo ordine è stata esplicitamente stabilita per la prima volta da Gödel, sebbene alcuni dei risultati principali fossero contenuti in precedenti lavori di Skolem.

In modo informale, un teorema di solidità per un sistema deduttivo esprime che tutte le proposizioni dimostrabili sono vere. La completezza afferma che tutte le frasi vere sono dimostrabili.

Il primo teorema di incompletezza di Gödel mostra che per le lingue è sufficiente fare una certa quantità di aritmetica, non può esistere un sistema deduttivo coerente ed efficace che sia completo rispetto all'interpretazione voluta del simbolismo di quella lingua. così, non tutti i sistemi sonori deduttivi sono completi in questo speciale senso di completezza, in cui la classe dei modelli (fino all'isomorfismo) è limitato a quello previsto. La prova di completezza originale si applica a tutti i modelli classici, non una speciale sottoclasse propria di quelli previsti.

See also Philosophy portal Soundness (prova interattiva) Riferimenti ^ Smith, Peter (2010). "Tipi di sistema di prova" (PDF). p. 5. ^ Boia, Harry J., 1945- (Gennaio 6, 2017). Introduzione alla logica (Third ed.). New York. ISBN 978-1-138-91058-4. OCLC 957680480. ^ Mente, Patrizia (2009-09-18). Una vera mente: La vita e l'opera di Axel Hägerström. Springer Science & Business Media. ISBN 978-90-481-2895-2. Bibliografia Hinman, P. (2005). Fondamenti di logica matematica. AK Peters. ISBN 1-56881-262-0. copia, Irving (1979), Logica simbolica (5th ed.), Macmillan Publishing Co., ISBN 0-02-324880-7 Boolo, Burgess, Jeffrey. Calcolabilità e logica, 4esimo ed, Cambridge, 2002. Collegamenti esterni Wikizionario ha definizioni relative a Solidità Validità e Solidità nell'Enciclopedia della Filosofia di Internet. hide vte Metalogic and metamathematics Cantor's theoremEntscheidungsproblemChurch–Turing thesisConsistencyEffective methodFoundations of mathematics of geometryGödel's completeness theoremGödel's incompleteness theoremsSoundnessCompletenessDecidabilityInterpretationLöwenheim–Skolem theoremMetatheoremSatisfiabilityIndependenceType–token distinctionUse–mention distinction Categories: ArgomentiTeoria dei modelliTeoria della dimostrazioneConcetti in logicaRagionamento deduttivo