Solidité

Solidité (Redirigé à partir du théorème de solidité) Aller à la navigation Aller à la recherche Dans la logique, plus précisément dans le raisonnement déductif, un argument est valable s'il est à la fois valide dans sa forme et si ses prémisses sont vraies.[1] La solidité a également une signification connexe dans la logique mathématique, où les systèmes logiques sont valables si et seulement si chaque formule qui peut être prouvée dans le système est logiquement valide par rapport à la sémantique du système.

Contenu 1 Définition 2 Utilisation en logique mathématique 2.1 Systèmes logiques 2.1.1 Solidité 2.1.2 Forte solidité 2.1.3 Solidité arithmétique 2.2 Relation à l'exhaustivité 3 Voir également 4 Références 5 Bibliographie 6 External links Definition In deductive reasoning, un bon argument est un argument valable et toutes ses prémisses sont vraies (et par conséquent sa conclusion est également vraie). Un argument est valide si, en supposant que ses prémisses sont vraies, la conclusion doit être vraie. Un exemple d'argument valable est le syllogisme bien connu suivant: (locaux) Tous les hommes sont mortels. Socrate est un homme. (conclusion) Par conséquent, Socrate est mortel.

En raison de la nécessité logique de la conclusion, cet argument est valable; et parce que l'argument est valide et ses prémisses sont vraies, l'argument est valable.

Cependant, un argument peut être valide sans être valable. Par exemple: Tous les oiseaux peuvent voler. Les pingouins sont des oiseaux. Par conséquent, les pingouins peuvent voler.

Cet argument est valable car la conclusion doit être vraie en supposant que les prémisses sont vraies. Cependant, la première prémisse est fausse. Tous les oiseaux ne peuvent pas voler (par exemple, pingouins). Pour qu'un argument soit solide, l'argument doit être valide et ses prémisses doivent être vraies.[2] Use in mathematical logic Logical systems In mathematical logic, un système logique a la propriété de justesse si et seulement si chaque formule qui peut être prouvée dans le système est logiquement valide par rapport à la sémantique du système. Dans la plupart des cas, cela revient à ce que ses règles aient la propriété de conserver la vérité.[3] L'inverse de la solidité est connu sous le nom d'exhaustivité.

Un système logique avec implication syntaxique {style d'affichage vdash } et implication sémantique {modèles de style d'affichage } est son si pour n'importe quelle séquence {style d'affichage A_{1},UN_{2},...,UN_{n}} de phrases dans sa langue, si {style d'affichage A_{1},UN_{2},...,UN_{n}vdash C} , alors {style d'affichage A_{1},UN_{2},...,UN_{n}modèles C} . Autrement dit, un système est sain lorsque tous ses théorèmes sont des tautologies.

La justesse est l'une des propriétés les plus fondamentales de la logique mathématique. La propriété de solidité fournit la raison initiale pour compter un système logique comme souhaitable. La propriété de complétude signifie que toute validité (vérité) est prouvable. Ensemble, ils impliquent que toutes et seules les validités sont prouvables.

La plupart des preuves de solidité sont triviales.[citation requise] Par exemple, dans un système axiomatique, la preuve du bien-fondé revient à vérifier la validité des axiomes et que les règles d'inférence préservent la validité (ou la propriété la plus faible, vérité). Si le système permet la déduction de type Hilbert, il suffit de vérifier la validité des axiomes et une règle d'inférence, à savoir régler le mode. (et parfois substitution) Les propriétés de solidité se déclinent en deux variétés principales: solidité faible et forte, dont le premier est une forme restreinte du second.

Soundness Soundness of a deductive system is the property that any sentence that is provable in that deductive system is also true on all interpretations or structures of the semantic theory for the language upon which that theory is based. En symboles, où S est le système déductif, L la langue avec sa théorie sémantique, et P une phrase de L: if ⊢S P, then also ⊨L P.

Strong soundness Strong soundness of a deductive system is the property that any sentence P of the language upon which the deductive system is based that is derivable from a set Γ of sentences of that language is also a logical consequence of that set, en ce sens que tout modèle qui rend tous les membres de Γ vrais rendra également P vrai. Dans les symboles où Γ est un ensemble de phrases de L: if Γ ⊢S P, then also Γ ⊨L P. Remarquez que dans l'énoncé de solidité forte, quand Γ est vide, nous avons l'énoncé de solidité faible.

Arithmetic soundness If T is a theory whose objects of discourse can be interpreted as natural numbers, nous disons que T est arithmétiquement correct si tous les théorèmes de T sont réellement vrais sur les nombres entiers mathématiques standard. Pour plus d'informations, voir la théorie ω-cohérente.

Relation to completeness The converse of the soundness property is the semantic completeness property. Un système déductif avec une théorie sémantique est fortement complet si chaque phrase P qui est une conséquence sémantique d'un ensemble de phrases Γ peut être dérivée dans le système de déduction à partir de cet ensemble. En symboles: chaque fois que Γ ⊨ P, alors aussi Γ ⊢ P. La complétude de la logique du premier ordre a d'abord été explicitement établie par Gödel, bien que certains des principaux résultats aient été contenus dans les travaux antérieurs de Skolem.

Informellement, un théorème de justesse pour un système déductif exprime que toutes les phrases prouvables sont vraies. L'exhaustivité indique que toutes les phrases vraies sont prouvables.

Le premier théorème d'incomplétude de Gödel montre que pour les langues suffisantes pour faire une certaine quantité d'arithmétique, il ne peut y avoir de système déductif cohérent et efficace qui soit complet en ce qui concerne l'interprétation voulue du symbolisme de cette langue. Ainsi, tous les systèmes déductifs sonores ne sont pas complets dans ce sens particulier de complétude, dans laquelle la classe de modèles (jusqu'à l'isomorphisme) est limité à celui prévu. La preuve de complétude originale s'applique à tous les modèles classiques, pas une sous-classe spéciale appropriée de celles prévues.

See also Philosophy portal Soundness (preuve interactive) Références ^ Smith, Pierre (2010). "Types de système de preuve" (PDF). p. 5. ^ Bourreau, Harry J., 1945- (Janvier 6, 2017). Introduction à la logique (Third ed.). New York. ISBN 978-1-138-91058-4. OCLC 957680480. ^ Mindus, Patricia (2009-09-18). Un vrai esprit: La vie et l'œuvre d'Axel Hägerström. Springer Science & Business Media. ISBN 978-90-481-2895-2. Bibliographie Hinman, P. (2005). Fondamentaux de la logique mathématique. AK Peters. ISBN 1-56881-262-0. Copie, Irving (1979), Logique symbolique (5e éd.), Macmillan Publishing Co., ISBN 0-02-324880-7 Boolos, Bourgeois, Jeffrey. Calculabilité et logique, 4e éd., Cambridge, 2002. Liens externes Wiktionnaire a des définitions liées à la validité et à la solidité dans l'encyclopédie Internet de la philosophie. hide vte Metalogic and metamathematics Cantor's theoremEntscheidungsproblemChurch–Turing thesisConsistencyEffective methodFoundations of mathematics of geometryGödel's completeness theoremGödel's incompleteness theoremsSoundnessCompletenessDecidabilityInterpretationLöwenheim–Skolem theoremMetatheoremSatisfiabilityIndependenceType–token distinctionUse–mention distinction Categories: ArgumentsThéorie des modèlesThéorie de la preuveConcepts en logiqueRaisonnement déductif

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