Solidität

Solidität (Umgeleitet vom Korrektheitssatz) Zur Navigation springen Zur Suche springen In Logik, genauer gesagt im deduktiven Denken, Ein Argument ist stichhaltig, wenn es sowohl formal gültig als auch seine Prämissen wahr sind.[1] Korrektheit hat auch eine verwandte Bedeutung in der mathematischen Logik, wobei logische Systeme genau dann korrekt sind, wenn jede im System beweisbare Formel hinsichtlich der Semantik des Systems logisch gültig ist.

Inhalt 1 Definition 2 Verwendung in der mathematischen Logik 2.1 Logische Systeme 2.1.1 Solidität 2.1.2 Starke Solidität 2.1.3 Arithmetische Solidität 2.2 Bezug auf Vollständigkeit 3 Siehe auch 4 Verweise 5 Literaturverzeichnis 6 External links Definition In deductive reasoning, Ein solides Argument ist ein Argument, das gültig ist und alle seine Prämissen wahr sind (und folglich ist auch seine Schlussfolgerung wahr). Ein Argument ist gültig, wenn, vorausgesetzt, seine Prämissen sind wahr, die Schlussfolgerung muss wahr sein. Ein Beispiel für ein stichhaltiges Argument ist der folgende wohlbekannte Syllogismus: (Firmengelände) Alle Menschen sind sterblich. Sokrates ist ein Mann. (Fazit) Deswegen, Sokrates ist sterblich.

Wegen der logischen Notwendigkeit des Schlusses, dieses argument ist gültig; und weil das Argument gültig ist und seine Prämissen wahr sind, das Argument ist stichhaltig.

Jedoch, Ein Argument kann gültig sein, ohne stichhaltig zu sein. Zum Beispiel: Alle Vögel können fliegen. Pinguine sind Vögel. Deswegen, Pinguine können fliegen.

Dieses Argument ist gültig, da die Schlussfolgerung wahr sein muss, vorausgesetzt, dass die Prämissen wahr sind. Jedoch, Die erste Prämisse ist falsch. Nicht alle Vögel können fliegen (zum Beispiel, Pinguine). Damit ein Argument stichhaltig ist, das Argument muss gültig sein und seine Prämissen müssen wahr sein.[2] Use in mathematical logic Logical systems In mathematical logic, Ein logisches System hat die Korrektheitseigenschaft genau dann, wenn jede im System beweisbare Formel bezüglich der Semantik des Systems logisch gültig ist. In den meisten Fällen, dies läuft darauf hinaus, dass seine Regeln die Eigenschaft haben, die Wahrheit zu bewahren.[3] Das Gegenteil von Solidität ist als Vollständigkeit bekannt.

Ein logisches System mit syntaktischer Folgerung {Anzeigestil vdash } und semantische Bindung {Displaystyle-Modelle } ist Ton, wenn für jede Sequenz {Anzeigestil A_{1},EIN_{2},...,EIN_{n}} von Sätzen in seiner Sprache, wenn {Anzeigestil A_{1},EIN_{2},...,EIN_{n}Vdash C} , dann {Anzeigestil A_{1},EIN_{2},...,EIN_{n}Modelle C} . Mit anderen Worten, Ein System ist in Ordnung, wenn alle seine Theoreme Tautologien sind.

Korrektheit gehört zu den grundlegendsten Eigenschaften der mathematischen Logik. Die Korrektheitseigenschaft liefert den anfänglichen Grund dafür, ein logisches System als wünschenswert zu zählen. Die Vollständigkeitseigenschaft bedeutet, dass jede Gültigkeit (Wahrheit) ist nachweisbar. Zusammen implizieren sie, dass alle und nur Gültigkeiten beweisbar sind.

Die meisten Korrektheitsbeweise sind trivial.[Zitat benötigt] Zum Beispiel, in einem axiomatischen System, Der Beweis der Solidität läuft darauf hinaus, die Gültigkeit der Axiome zu überprüfen und dass die Schlußregeln ihre Gültigkeit bewahren (oder die schwächere Eigenschaft, Wahrheit). Wenn das System einen Abzug im Hilbert-Stil zulässt, es erfordert nur die Überprüfung der Gültigkeit der Axiome und einer Schlussregel, nämlich den Modus einzustellen. (und manchmal Substitution) Soliditätseigenschaften gibt es in zwei Hauptvarianten: schwache und starke Solidität, von denen das erstere eine eingeschränkte Form des letzteren ist.

Soundness Soundness of a deductive system is the property that any sentence that is provable in that deductive system is also true on all interpretations or structures of the semantic theory for the language upon which that theory is based. In Symbolen, wobei S das deduktive System ist, L die Sprache zusammen mit ihrer semantischen Theorie, und P ein Satz von L: if ⊢S P, then also ⊨L P.

Strong soundness Strong soundness of a deductive system is the property that any sentence P of the language upon which the deductive system is based that is derivable from a set Γ of sentences of that language is also a logical consequence of that set, in dem Sinne, dass jedes Modell, das alle Mitglieder von Γ wahr macht, auch P wahr macht. In Symbolen wo Γ eine Menge von Sätzen von L ist: if Γ ⊢S P, then also Γ ⊨L P. Beachten Sie dies in der Aussage über starke Solidität, wenn Γ leer ist, wir haben die Aussage der schwachen Solidität.

Arithmetic soundness If T is a theory whose objects of discourse can be interpreted as natural numbers, wir sagen, dass T arithmetisch korrekt ist, wenn alle Theoreme von T für die mathematischen Standard-Ganzzahlen tatsächlich wahr sind. Für weitere Informationen, siehe ω-konsistente Theorie.

Relation to completeness The converse of the soundness property is the semantic completeness property. Ein deduktives System mit semantischer Theorie ist stark vollständig, wenn jeder Satz P, der eine semantische Konsequenz einer Menge von Sätzen Γ ist, im Deduktivsystem aus dieser Menge abgeleitet werden kann. In Symbolen: immer wenn Γ ⊨ P, dann auch Γ ⊢ P. Die Vollständigkeit der Logik erster Ordnung wurde erstmals explizit von Gödel festgestellt, obwohl einige der Hauptergebnisse in früheren Arbeiten von Skolem enthalten waren.

Informell, ein Korrektheitssatz für ein deduktives System drückt aus, dass alle beweisbaren Sätze wahr sind. Vollständigkeit besagt, dass alle wahren Sätze beweisbar sind.

Gödels erster Unvollständigkeitssatz zeigt, dass für Sprachen ausreichend ist, um eine bestimmte Menge an Arithmetik zu tun, Es kann kein konsistentes und effektives deduktives System geben, das in Bezug auf die beabsichtigte Interpretation der Symbolik dieser Sprache vollständig ist. Daher, nicht alle stichhaltigen deduktiven Systeme sind vollständig in diesem speziellen Sinne der Vollständigkeit, in der die Klasse der Modelle (bis auf Isomorphie) ist auf das vorgesehene beschränkt. Für alle klassischen Modelle gilt der originale Vollständigkeitsnachweis, nicht irgendeine spezielle richtige Unterklasse von beabsichtigten.

See also Philosophy portal Soundness (interaktiver Beweis) Referenzen ^ Smith, Peter (2010). "Arten von Beweissystemen" (Pdf). p. 5. ^ Henker, Harry J., 1945- (Januar 6, 2017). Einführung in die Logik (Dritte Aufl.). New York. ISBN 978-1-138-91058-4. OCLC 957680480. ^ Mindus, Patricia (2009-09-18). Ein echter Verstand: Das Leben und Werk von Axel Hägerström. Springer Science & Business Media. ISBN 978-90-481-2895-2. Bibliographie Hinman, P. (2005). Grundlagen der mathematischen Logik. A K Peters. ISBN 1-56881-262-0. Kopieren, Irving (1979), Symbolische Logik (5Das D.), Macmillan Verlag Co., ISBN 0-02-324880-7 Boolos, Bürger, Jeffrey. Berechenbarkeit und Logik, 4Das D, Cambridge, 2002. Externe Links Wiktionary enthält Definitionen zu Solidness Validity und Solidness in der Internet Encyclopedia of Philosophy. hide vte Metalogic and metamathematics Cantor's theoremEntscheidungsproblemChurch–Turing thesisConsistencyEffective methodFoundations of mathematics of geometryGödel's completeness theoremGödel's incompleteness theoremsSoundnessCompletenessDecidabilityInterpretationLöwenheim–Skolem theoremMetatheoremSatisfiabilityIndependenceType–token distinctionUse–mention distinction Categories: ArgumenteModelltheorieBeweistheorieKonzepte in der LogikDeduktives Denken