Teorema Sunshine-Mantle-Debreu

Teorema Sunshine-Mantle-Debreu (Redirecionado do Teorema Sunshine–Mantle–Debreu) Ir para a navegação Ir para a pesquisa Parte de uma série sobre Economia HistoryOutlineIndex show Ramos e classificações show Conceitos, theory and techniques show By application show Notable economists show Notable critics of economics show Lists Business and Economics portal Money portal vte The Sonnenschein–Mantel–Debreu theorem is an important result in general equilibrium economics, comprovado por Gérard Debreu, Rolf Mantel [es], e Hugo F. Sol nos anos 1970.[1][2][3][4] Ela afirma que a curva de excesso de demanda para um mercado povoado por agentes racionais maximizadores de utilidade pode assumir a forma de qualquer função que seja contínua., tem grau de homogeneidade zero, e está de acordo com a lei de Walras.[5] Isso implica que os processos de mercado não necessariamente atingirão um ponto de equilíbrio único e estável.[6] Mais recentemente, Jorge André, Pierre-André Chiappori, e Ivar Ekeland estenderam esse resultado para curvas de demanda de mercado, tanto para mercadorias individuais quanto para a demanda agregada de uma economia como um todo.[7][8][9][10][Nota 1] Isso significa que as curvas de demanda podem assumir formas altamente irregulares, mesmo que todos os agentes individuais no mercado sejam perfeitamente racionais. Em contraste com as suposições usuais, a quantidade demandada de uma mercadoria não pode diminuir quando o preço aumenta. Frank Hahn considerou o teorema como uma crítica perigosa da economia neoclássica dominante.[11] Conteúdo 1 História da prova 1.1 Desenvolvimentos adicionais 2 Significado 3 Explicação 4 Extensão a mercados incompletos 5 Notas 6 Referências 7 Bibliography History of the proof The concept of an excess demand function is important in general equilibrium theories, porque funciona como um sinal para o mercado ajustar os preços.[12] Se o valor da função de excesso de demanda for positivo, então mais unidades de uma mercadoria estão sendo demandadas do que podem ser fornecidas; há uma carência. Se o excesso de demanda for negativo, então mais unidades estão sendo fornecidas do que são demandadas; há um excesso. A suposição é que a taxa de variação dos preços será proporcional ao excesso de demanda, de modo que o ajuste de preços acabará por levar a um estado de equilíbrio em que o excesso de demanda por todas as mercadorias é zero.[13] Na década de 1970, economistas matemáticos trabalharam para estabelecer microfundamentos rigorosos para modelos de equilíbrio amplamente utilizados, com base na suposição de que os indivíduos são agentes racionais que maximizam a utilidade (a "hipótese de utilidade"). Já se sabia que essa suposição colocava certas restrições frouxas nas funções de excesso de demanda para indivíduos (continuidade e lei de Walras), e que essas restrições foram "herdado" pela função de excesso de demanda de mercado. Em um 1973 papel, Hugo Sonnenschein colocou a questão de saber se essas eram as únicas restrições que poderiam ser colocadas em uma função de excesso de demanda de mercado.[2] Ele conjecturou que a resposta era "sim," e deu passos preliminares para provar isso. Esses resultados foram estendidos por Rolf Mantel,[3] e depois por Gérard Debreu em 1974,[4] quem provou isso, contanto que haja pelo menos tantos agentes no mercado quanto mercadorias, a função de excesso de demanda de mercado herda apenas as seguintes propriedades de funções individuais de excesso de demanda: Continuidade Homogeneidade de grau zero, and Walras's law These inherited properties are not sufficient to guarantee that the excess demand curve is downward-sloping, como geralmente se supõe. A unicidade do ponto de equilíbrio também não é garantida. Pode haver mais de um vetor de preço no qual a função de excesso de demanda é zero, que é a definição padrão de equilíbrio neste contexto.[13] Further developments In the wake of these initial publications, vários estudiosos estenderam os resultados iniciais de Sonnenschein–Mantel–Debreu de várias maneiras. Em um 1976 papel, Rolf Mantel mostrou que o teorema ainda é válido mesmo se for adicionada a suposição muito forte de que todos os consumidores têm preferências homotéticas.[14] Isso significa que a utilidade que os consumidores atribuem a uma mercadoria sempre será exatamente proporcional à quantidade da mercadoria ofertada.; por exemplo, um milhão de laranjas valeria exatamente um milhão de vezes mais do que uma laranja. Além disso, Alan Kirman e Karl-Josef Koch provaram em 1986 que o teorema SMD ainda vale mesmo que todos os agentes tenham preferências idênticas, e assume-se que a distribuição de renda é fixa ao longo do tempo e independente dos preços.[15] A única distribuição de renda que não é permitida é aquela uniforme onde todos os indivíduos têm a mesma renda e, portanto,, uma vez que eles têm as mesmas preferências, são todos idênticos.[16] Por um tempo, não ficou claro se os resultados do estilo SMD também se aplicavam à própria curva de demanda do mercado, e não apenas a curva de excesso de demanda. Mas em 1982 Jordi Andreu estabeleceu um importante resultado preliminar sugerindo que este era o caso,[9] e em 1999 Pierre-André Chiappori e Ivar Ekeland usaram o cálculo vetorial para provar que os resultados de Sonnenschein–Mantel–Debreu de fato se aplicam à curva de demanda do mercado.[7][8][17] Isso significa que as curvas de demanda do mercado podem assumir formas altamente irregulares, bem ao contrário dos modelos de livros didáticos, mesmo que todos os agentes individuais no mercado sejam perfeitamente racionais.

Significance In the 1982 livro manual de economia matematica, Hugo Sonnenschein explicou algumas das implicações de seu teorema para a teoria do equilíbrio geral: A possible market demand curve according to the Sonnenschein–Mantel–Debreu results …market demand functions need not satisfy in any way the classical restrictions which characterize consumer demand functions… The importance of the above results is clear: fortes restrições são necessárias para justificar a hipótese de que uma função de demanda de mercado tem as características de uma função de demanda do consumidor. Somente em casos especiais pode-se esperar que uma economia atue como um “consumidor idealizado”.[18] Em outras palavras, não se pode presumir que a curva de demanda para um mercado único, muito menos uma economia inteira, deve ser suavemente inclinada para baixo simplesmente porque as curvas de demanda dos consumidores individuais são inclinadas para baixo. Esta é uma instância do problema de agregação mais geral, que trata da dificuldade teórica de modelar o comportamento de grandes grupos de indivíduos da mesma forma que um indivíduo é modelado.[19] Frank Ackerman aponta que é corolário de Sonnenschein–Mantel–Debreu que um leilão walrasiano nem sempre encontrará um equilíbrio único e estável, mesmo em condições ideais: No equilíbrio geral walrasiano, os preços são ajustados através de um tâtonnement ('tapalhar') processo: a taxa de variação do preço de qualquer mercadoria é proporcional ao excesso de demanda pela mercadoria, e nenhuma negociação ocorre até que os preços de equilíbrio sejam atingidos. Isso pode não ser realista, mas é matematicamente tratável: faz com que os movimentos de preços de cada mercadoria dependam apenas de informações sobre essa mercadoria. Infelizmente, como mostra o teorema SMD, tâtonnement não conduz de forma confiável à convergência para o equilíbrio.[6] O modelo de leilão de Léon Walras exige que o preço de uma mercadoria sempre suba em resposta ao excesso de demanda, e que sempre cairá em resposta a um excesso. Mas o SMD mostra que nem sempre será assim, porque a função de excesso de demanda não precisa ser uniformemente inclinada para baixo.[13] O teorema também levantou preocupações sobre a falseabilidade da teoria do equilíbrio geral, porque parece implicar que quase qualquer padrão observado de dados de preço e quantidade de mercado pode ser interpretado como resultado do comportamento individual de maximização da utilidade. Em outras palavras, Sonnenschein–Mantel–Debreu levanta questões sobre o grau em que a teoria do equilíbrio geral pode produzir previsões testáveis ​​sobre variáveis ​​de mercado agregadas.[20][21] Por esta razão, Andreu Mas-Colell se referiu ao teorema como o “Teorema de Tudo Vale” em seu livro de microeconomia de pós-graduação.[21] Alguns economistas tentaram resolver este problema, com Donald Brown e Rosa Matzkin derivando algumas restrições polinomiais sobre variáveis ​​de mercado modelando o estado de equilíbrio de um mercado como uma variedade topológica.[22] No entanto, Abu Turab Rizvi comenta que esse resultado praticamente não muda muito a situação, porque as restrições de Brown e Matzkin são formuladas com base em observações em nível individual sobre restrições orçamentárias e rendas, enquanto os modelos de equilíbrio geral pretendem explicar as mudanças nos dados agregados ao nível do mercado.[23] Os resultados Sonnenschein–Mantel–Debreu levaram alguns economistas, como Werner Hildenbrand, abandonar o projeto de explicar as características da curva de demanda de mercado com base na racionalidade individual. Em vez de, esses autores tentam explicar a lei da demanda em termos da organização da sociedade como um todo, e, em particular, a distribuição de renda.[24][25] Explanation This section needs additional citations for verification. Ajude a melhorar este artigo adicionando citações a fontes confiáveis. O material sem fonte pode ser contestado e removido. (Julho 2019) (Saiba como e quando remover esta mensagem de modelo) Em termos matemáticos, o número de equações que compõem uma função de excesso de demanda de mercado é igual ao número de funções individuais de excesso de demanda, que por sua vez é igual ao número de preços a serem resolvidos para. Pela lei de Walras, se todas as demandas em excesso, exceto uma, forem zero, a última também deverá ser zero. Isso significa que há uma equação redundante e podemos normalizar um dos preços ou uma combinação de todos os preços (em outras palavras, apenas os preços relativos são determinados; não o nível absoluto de preços). Tendo feito isso, o número de equações é igual ao número de incógnitas e temos um sistema determinado. No entanto, porque as equações são não lineares, não há garantia de uma solução única. Além disso, mesmo que suposições razoáveis ​​possam garantir que as funções individuais de excesso de demanda tenham uma raiz única, essas premissas não garantem que a demanda agregada.

Há várias coisas a serem observadas. Primeiro, mesmo que haja múltiplos equilíbrios, todo equilíbrio ainda é garantido, sob suposições padrão, ser Pareto eficiente. No entanto, os diferentes equilíbrios provavelmente terão diferentes implicações distributivas e podem ser classificados de forma diferente por qualquer função de bem-estar social.. Segundo, pelo teorema do índice de Hopf, em economias regulares o número de equilíbrios será finito e todos eles serão localmente únicos. Isso significa que a estática comparativa, ou a análise de como o equilíbrio muda quando há choques na economia, ainda pode ser relevante desde que os choques não sejam muito grandes. Mas isso deixa a questão da estabilidade do equilíbrio sem resposta, uma vez que uma perspectiva de estática comparativa não nos diz o que acontece quando o mercado se afasta de um equilíbrio.

Extension to incomplete markets The extension to incomplete markets was first conjectured by Andreu Mas-Colell in 1986.[26] Para isso ele observa que a lei de Walras e a homogeneidade do grau zero podem ser entendidas como o fato de que o excesso de demanda depende apenas do próprio orçamento estabelecido. Por isso, homogeneidade está apenas dizendo que o excesso de demanda é o mesmo se os conjuntos orçamentários forem os mesmos. Esta formulação se estende a mercados incompletos. O mesmo acontece com a lei de Walras se vista como viabilidade orçamentária da função de excesso de demanda. Os primeiros mercados incompletos do tipo Sonnenschein–Mantel–Debreu foram obtidos por Jean-Marc Bottazzi e Thorsten Hens.[27] Outros trabalhos expandiram o tipo de ativos para além das estruturas populares de ativos reais como Chiappori e Ekland.[17] Todos esses resultados são locais. Dentro 2003 Takeshi Momi ampliou a abordagem de Bottazzi e Hens como resultado global.[28] Notas ↑ A literatura sobre os resultados de Sonnenschein–Mantel–Debreu geralmente não distingue entre a curva de demanda de mercado para uma única mercadoria, e a curva de demanda agregada para uma economia com muitas commodities diferentes. Os resultados provaram ser válidos para qualquer mercado em que haja pelo menos tantos agentes quanto mercadorias, então segue trivialmente que eles se aplicam a qualquer mercado não vazio para uma única mercadoria. 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