Teorema di Sunshine-Mantle-Debreu

Teorema di Sunshine-Mantle-Debreu (Reindirizzato da Teorema di Sunshine–Mantle–Debreu) Salta alla navigazione Salta alla ricerca Parte di una serie sull'Economia HistoryOutlineIndex mostra Rami e classificazioni mostrano Concetti, theory and techniques show By application show Notable economists show Notable critics of economics show Lists Business and Economics portal Money portal vte The Sonnenschein–Mantel–Debreu theorem is an important result in general equilibrium economics, dimostrato da Gérard Debreu, Rolf Mantel [es], e Hugo F. Il sole negli anni '70.[1][2][3][4] Afferma che la curva di domanda in eccesso per un mercato popolato da agenti razionali che massimizzano l'utilità può assumere la forma di qualsiasi funzione continua, ha grado di omogeneità zero, ed è conforme alla legge di Walras.[5] Ciò implica che i processi di mercato non raggiungeranno necessariamente un punto di equilibrio unico e stabile.[6] Più recentemente, Giorgio Andrea, Pierre-André Chiappori, e Ivar Ekeland hanno esteso questo risultato alle curve di domanda del mercato, sia per le singole merci che per la domanda aggregata di un'economia nel suo insieme.[7][8][9][10][Nota 1] Ciò significa che le curve di domanda possono assumere forme molto irregolari, anche se tutti i singoli agenti sul mercato sono perfettamente razionali. In contrasto con le solite ipotesi, la quantità domandata di una merce non può diminuire all'aumentare del prezzo. Frank Hahn considerava il teorema una pericolosa critica all'economia neoclassica tradizionale.[11] Contenuti 1 Storia della prova 1.1 Ulteriori sviluppi 2 Significato 3 Spiegazione 4 Estensione a mercati incompleti 5 Appunti 6 Riferimenti 7 Bibliography History of the proof The concept of an excess demand function is important in general equilibrium theories, perché funge da segnale per il mercato di adeguare i prezzi.[12] Se il valore della funzione di domanda in eccesso è positivo, allora vengono richieste più unità di una merce di quante ne possano essere fornite; c'è una carenza. Se la domanda in eccesso è negativa, quindi vengono fornite più unità di quelle richieste; c'è un eccesso. L'ipotesi è che il tasso di variazione dei prezzi sarà proporzionale all'eccesso di domanda, cosicché l'adeguamento dei prezzi alla fine porterà a uno stato di equilibrio in cui la domanda in eccesso per tutte le merci è zero.[13] Negli anni '70, gli economisti matematici hanno lavorato per stabilire rigorose microfondazioni per modelli di equilibrio ampiamente utilizzati, sulla base del presupposto che gli individui siano agenti razionali che massimizzano l'utilità (il "ipotesi di utilità"). Era già noto che questa ipotesi poneva alcune restrizioni vaghe sulle funzioni di eccesso di domanda per gli individui (continuità e legge di Walras), e che queste restrizioni erano "ereditato" dalla funzione di eccesso di domanda di mercato. In un 1973 carta, Hugo Sonnenschein ha posto la questione se queste fossero le uniche restrizioni che potevano essere poste a una funzione di eccesso di domanda di mercato.[2] Ha ipotizzato che la risposta fosse "sì," e fece dei passi preliminari per dimostrarlo. Questi risultati sono stati ampliati da Rolf Mantel,[3] e poi da Gérard Debreu in 1974,[4] chi lo ha dimostrato, fintanto che ci sono almeno tanti agenti sul mercato quante sono le merci, la funzione di eccesso di domanda di mercato eredita solo le seguenti proprietà delle singole funzioni di eccesso di domanda: Continuità Omogeneità di grado zero, and Walras's law These inherited properties are not sufficient to guarantee that the excess demand curve is downward-sloping, come di solito si presume. Anche l'unicità del punto di equilibrio non è garantita. Potrebbero esserci più vettori di prezzo in corrispondenza del quale la funzione di domanda in eccesso è zero, che è la definizione standard di equilibrio in questo contesto.[13] Further developments In the wake of these initial publications, diversi studiosi hanno esteso i risultati iniziali di Sonnenschein – Mantel – Debreu in vari modi. In un 1976 carta, Rolf Mantel ha mostrato che il teorema vale anche se si aggiunge l'ipotesi molto forte che tutti i consumatori hanno preferenze omotetiche.[14] Ciò significa che l'utilità che i consumatori assegnano a una merce sarà sempre esattamente proporzionale all'importo della merce offerta; Per esempio, un milione di arance sarebbe valutato esattamente un milione di volte più di un'arancia. Inoltre, Alan Kirman e Karl-Josef Koch hanno dimostrato 1986 che il teorema SMD vale anche se si presume che tutti gli agenti abbiano preferenze identiche, e si presume che la distribuzione del reddito sia fissa nel tempo e indipendente dai prezzi.[15] L'unica distribuzione del reddito che non è consentita è quella uniforme in cui tutti gli individui hanno lo stesso reddito e quindi, visto che hanno le stesse preferenze, sono tutti identici.[16] Per un po' non è stato chiaro se i risultati in stile SMD si applicassero anche alla curva di domanda del mercato stessa, e non solo la curva di domanda in eccesso. Ma in 1982 Jordi Andreu ha stabilito un importante risultato preliminare suggerendo che questo era il caso,[9] e dentro 1999 Pierre-André Chiappori e Ivar Ekeland hanno utilizzato il calcolo vettoriale per dimostrare che i risultati di Sonnenschein–Mantel–Debreu si applicano effettivamente alla curva della domanda di mercato.[7][8][17] Ciò significa che le curve di domanda del mercato possono assumere forme molto irregolari, abbastanza diverso dai modelli dei libri di testo, anche se tutti i singoli agenti sul mercato sono perfettamente razionali.

Significance In the 1982 libro Manuale di economia matematica, Hugo Sonnenschein ha spiegato alcune delle implicazioni del suo teorema per la teoria dell'equilibrio generale: A possible market demand curve according to the Sonnenschein–Mantel–Debreu results …market demand functions need not satisfy in any way the classical restrictions which characterize consumer demand functions… The importance of the above results is clear: sono necessarie forti restrizioni per giustificare l'ipotesi che una funzione di domanda di mercato abbia le caratteristiche di una funzione di domanda dei consumatori. Solo in casi speciali ci si può aspettare che un'economia agisca come un "consumatore idealizzato". L'ipotesi dell'utilità non ci dice nulla sulla domanda di mercato a meno che non sia aumentata da requisiti aggiuntivi.[18] In altre parole, non si può presumere che la curva di domanda per un mercato unico, per non parlare di un'intera economia, deve essere dolcemente inclinato verso il basso semplicemente perché le curve di domanda dei singoli consumatori sono inclinate verso il basso. Questo è un esempio del problema di aggregazione più generale, che affronta la difficoltà teorica di modellare il comportamento di grandi gruppi di individui nello stesso modo in cui viene modellato un individuo.[19] Frank Ackerman sottolinea che è un corollario di Sonnenschein–Mantel–Debreu che un'asta walrasiana non sempre troverà un equilibrio unico e stabile, anche in condizioni ideali: In equilibrio generale walrasiano, i prezzi sono adeguati tramite un tâtonnement ('brancolare') processi: il tasso di variazione del prezzo di qualsiasi merce è proporzionale alla domanda in eccesso per la merce, e non si effettuano scambi fino al raggiungimento dei prezzi di equilibrio. Questo potrebbe non essere realistico, ma è matematicamente trattabile: fa in modo che i movimenti di prezzo per ogni merce dipendano solo dalle informazioni su quella merce. Purtroppo, come mostra il teorema SMD, tâtonnement non porta in modo affidabile alla convergenza all'equilibrio.[6] Il modello d'asta di Léon Walras prevede che il prezzo di una merce aumenterà sempre in risposta all'eccesso di domanda, e che cadrà sempre in risposta a un eccesso. Ma SMD mostra che non sarà sempre così, perché la funzione di domanda in eccesso non deve necessariamente essere uniformemente inclinata verso il basso.[13] Il teorema ha anche sollevato preoccupazioni sulla falsificabilità della teoria dell'equilibrio generale, perché sembra implicare che quasi tutti i modelli osservati sui prezzi di mercato e sui dati sulla quantità potrebbero essere interpretati come il risultato di un comportamento individuale di massimizzazione dell'utilità. In altre parole, Sonnenschein–Mantel–Debreu solleva interrogativi sul grado in cui la teoria dell'equilibrio generale può produrre previsioni verificabili sulle variabili di mercato aggregate.[20][21] Per questa ragione, Andreu Mas-Colell ha definito il teorema "Anything Goes Theorem" nel suo libro di testo di microeconomia di livello universitario.[21] Alcuni economisti hanno tentato di affrontare questo problema, con Donald Brown e Rosa Matzkin che derivano alcune restrizioni polinomiali sulle variabili di mercato modellando lo stato di equilibrio di un mercato come varietà topologica.[22] Tuttavia, Abu Turab Rizvi commenta che questo risultato non cambia praticamente molto la situazione, perché le restrizioni di Brown e Matzkin sono formulate sulla base di osservazioni a livello individuale sui vincoli di bilancio e sui redditi, mentre i modelli di equilibrio generale pretendono di spiegare i cambiamenti nei dati aggregati a livello di mercato.[23] I risultati Sonnenschein–Mantel–Debreu hanno guidato alcuni economisti, come Werner Hildenbrand, abbandonare il progetto di esplicitare le caratteristiche della curva di domanda del mercato sulla base della razionalità individuale. Invece, questi autori tentano di spiegare la legge della domanda in termini di organizzazione della società nel suo insieme, ed in particolare la distribuzione del reddito.[24][25] Explanation This section needs additional citations for verification. Aiutaci a migliorare questo articolo aggiungendo citazioni a fonti affidabili. Il materiale non fornito può essere contestato e rimosso. (Luglio 2019) (Scopri come e quando rimuovere questo messaggio modello) In termini matematici, il numero di equazioni che compongono una funzione di eccesso di domanda di mercato è uguale al numero di singole funzioni di eccesso di domanda, che a sua volta è uguale al numero di prezzi da risolvere. Per la legge di Walras, se tutte le richieste in eccesso tranne una sono zero, anche l'ultima deve essere zero. Ciò significa che esiste un'equazione ridondante e possiamo normalizzare uno dei prezzi o una combinazione di tutti i prezzi (in altre parole, vengono determinati solo i prezzi relativi; non il livello di prezzo assoluto). Dopo aver fatto questo, il numero di equazioni è uguale al numero di incognite e abbiamo un determinato sistema. Tuttavia, poiché le equazioni non sono lineari non c'è garanzia di una soluzione univoca. Inoltre, anche se ipotesi ragionevoli possono garantire che le singole funzioni di domanda in eccesso abbiano una radice univoca, queste ipotesi non garantiscono che lo faccia anche la domanda aggregata.

Ci sono diverse cose da notare. Primo, anche se possono esserci equilibri multipli, ogni equilibrio è comunque garantito, sotto ipotesi standard, essere Pareto efficiente. Tuttavia, è probabile che i diversi equilibri abbiano diverse implicazioni distributive e possano essere classificati in modo diverso da una data funzione di benessere sociale. Secondo, dal teorema dell'indice di Hopf, nelle economie regolari il numero degli equilibri sarà finito e tutti saranno localmente unici. Ciò significa che la statica comparativa, o l'analisi di come cambia l'equilibrio quando ci sono shock per l'economia, può ancora essere rilevante fintanto che gli shock non sono troppo ampi. Ma questo lascia senza risposta la questione della stabilità dell'equilibrio, poiché una prospettiva di statica comparata non ci dice cosa succede quando il mercato si allontana da un equilibrio.

Extension to incomplete markets The extension to incomplete markets was first conjectured by Andreu Mas-Colell in 1986.[26] Per fare ciò osserva che la legge di Walras e l'omogeneità di grado zero possono essere intese come il fatto che l'eccesso di domanda dipende solo dal budget prefissato. Quindi, omogeneità sta solo dicendo che la domanda in eccesso è la stessa se i set di budget sono gli stessi. Questa formulazione si estende ai mercati incompleti. Così fa la legge di Walras se vista come fattibilità di bilancio della funzione di domanda in eccesso. Il primo risultato incompleto dei mercati Sonnenschein–Mantel–Debreu è stato ottenuto da Jean-Marc Bottazzi e Thorsten Hens.[27] Altri lavori hanno ampliato il tipo di asset oltre le popolari strutture di asset reali come Chiappori ed Ekland.[17] Tutti questi risultati sono locali. In 2003 Takeshi Momi ha esteso l'approccio di Bottazzi e Hens come risultato globale.[28] Note ^ La letteratura sui risultati Sonnenschein–Mantel–Debreu generalmente non distingue tra la curva di domanda di mercato per una singola merce, e la curva di domanda aggregata per un'economia con molte materie prime diverse. È stato dimostrato che i risultati valgono per qualsiasi mercato in cui ci sono almeno tanti agenti quante sono le materie prime, quindi ne consegue banalmente che si applicano a qualsiasi mercato non vuoto per una singola merce. 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