Théorème Sunshine-Mantle-Debreu

Théorème Sunshine-Mantle-Debreu (Redirigé à partir du théorème Sunshine – Mantle – Debreu) Aller à la navigation Aller à la recherche Partie d'une série sur l'histoire de l'économieAperçuIndex afficher Branches et classifications afficher Concepts, theory and techniques show By application show Notable economists show Notable critics of economics show Lists Business and Economics portal Money portal vte The Sonnenschein–Mantel–Debreu theorem is an important result in general equilibrium economics, prouvé par Gérard Debreu, Rolf Mantel [es], et Hugo F.. Soleil des années 1970.[1][2][3][4] Il stipule que la courbe de demande excédentaire pour un marché peuplé d'agents rationnels maximisant l'utilité peut prendre la forme de n'importe quelle fonction continue, a un degré d'homogénéité nul, et est conforme à la loi de Walras.[5] Cela implique que les processus de marché n'atteindront pas nécessairement un point d'équilibre unique et stable.[6] Plus récemment, Georges André, Pierre-André Chiappori, et Ivar Ekeland ont étendu ce résultat aux courbes de demande du marché, à la fois pour les produits individuels et pour la demande globale d'une économie dans son ensemble.[7][8][9][10][Remarque 1] Cela signifie que les courbes de demande peuvent prendre des formes très irrégulières, même si tous les agents individuels du marché sont parfaitement rationnels. Contrairement aux hypothèses habituelles, la quantité demandée d'une marchandise ne peut pas diminuer lorsque le prix augmente. Frank Hahn considérait le théorème comme une critique dangereuse de l'économie néoclassique dominante.[11] Contenu 1 Histoire de la preuve 1.1 Développements ultérieurs 2 Importance 3 Explication 4 Extension aux marchés incomplets 5 Remarques 6 Références 7 Bibliography History of the proof The concept of an excess demand function is important in general equilibrium theories, parce qu'il agit comme un signal pour que le marché ajuste les prix.[12] Si la valeur de la fonction de demande excédentaire est positive, alors plus d'unités d'un produit sont demandées qu'il n'est possible d'en fournir; il y a pénurie. Si la demande excédentaire est négative, alors plus d'unités sont fournies que demandées; il y a une surabondance. L'hypothèse est que le taux de variation des prix sera proportionnel à la demande excédentaire, de sorte que l'ajustement des prix conduira finalement à un état d'équilibre dans lequel la demande excédentaire pour tous les produits est nulle.[13] Dans les années 1970, les économistes mathématiciens ont travaillé pour établir des microfondations rigoureuses pour des modèles d'équilibre largement utilisés, sur la base de l'hypothèse que les individus sont des agents rationnels maximisant l'utilité (la "hypothèse d'utilité"). On savait déjà que cette hypothèse imposait certaines restrictions lâches aux fonctions de demande excédentaire pour les individus (continuité et loi de Walras), et que ces restrictions étaient "hérité" par la fonction de demande excédentaire du marché. Dans un 1973 papier, Hugo Sonnenschein a posé la question de savoir s'il s'agissait des seules restrictions qui pouvaient être imposées à une fonction de demande excédentaire du marché.[2] Il conjectura que la réponse était "oui," et fait des démarches préliminaires pour le prouver. Ces résultats ont été étendus par Rolf Mantel,[3] puis par Gérard Debreu dans 1974,[4] qui a prouvé que, tant qu'il y a au moins autant d'agents sur le marché qu'il y a de marchandises, la fonction de demande excédentaire du marché hérite uniquement des propriétés suivantes des fonctions de demande excédentaire individuelles: Continuité Homogénéité du degré zéro, and Walras's law These inherited properties are not sufficient to guarantee that the excess demand curve is downward-sloping, comme on le suppose habituellement. L'unicité du point d'équilibre n'est pas non plus garantie. Il peut y avoir plus d'un vecteur de prix pour lequel la fonction de demande excédentaire est nulle, qui est la définition standard de l'équilibre dans ce contexte.[13] Further developments In the wake of these initial publications, plusieurs chercheurs ont étendu les résultats initiaux de Sonnenschein – Mantel – Debreu de diverses manières. Dans un 1976 papier, Rolf Mantel a montré que le théorème tient toujours même si l'on ajoute l'hypothèse très forte que tous les consommateurs ont des préférences homothétiques.[14] Cela signifie que l'utilité que les consommateurs attribuent à une marchandise sera toujours exactement proportionnelle à la quantité de marchandise offerte.; par exemple, un million d'oranges valent exactement un million de fois plus qu'une orange. Par ailleurs, Alan Kirman et Karl-Josef Koch ont prouvé dans 1986 que le théorème SMD tient toujours même si tous les agents sont supposés avoir des préférences identiques, et la répartition des revenus est supposée être fixe dans le temps et indépendante des prix.[15] La seule répartition des revenus qui n'est pas autorisée est une distribution uniforme où tous les individus ont le même revenu et donc, puisqu'ils ont les mêmes préférences, ils sont tous identiques.[16] Pendant un certain temps, il était difficile de savoir si les résultats de style SMD s'appliquaient également à la courbe de demande du marché elle-même., et pas seulement la courbe de la demande excédentaire. Mais en 1982 Jordi Andreu a établi un résultat préliminaire important suggérant que c'était le cas,[9] et en 1999 Pierre-André Chiappori et Ivar Ekeland ont utilisé le calcul vectoriel pour prouver que les résultats de Sonnenschein – Mantel – Debreu s'appliquent bien à la courbe de demande du marché.[7][8][17] Cela signifie que les courbes de demande du marché peuvent prendre des formes très irrégulières, tout à fait différent des modèles de manuels, même si tous les agents individuels du marché sont parfaitement rationnels.

Significance In the 1982 livre Manuel d'économie mathématique, Hugo Sonnenschein a expliqué certaines des implications de son théorème pour la théorie de l'équilibre général: A possible market demand curve according to the Sonnenschein–Mantel–Debreu results …market demand functions need not satisfy in any way the classical restrictions which characterize consumer demand functions… The importance of the above results is clear: de fortes restrictions sont nécessaires pour justifier l'hypothèse selon laquelle une fonction de demande du marché a les caractéristiques d'une fonction de demande des consommateurs. Ce n'est que dans des cas particuliers que l'on peut s'attendre à ce qu'une économie agisse comme un «consommateur idéal». L'hypothèse de l'utilité ne nous dit rien sur la demande du marché à moins qu'elle ne soit augmentée par des exigences supplémentaires.[18] Autrement dit, on ne peut supposer que la courbe de demande d'un marché unique, sans parler de toute une économie, doit être en pente douce vers le bas simplement parce que les courbes de demande des consommateurs individuels sont en pente descendante. Ceci est un exemple du problème d'agrégation plus général, qui traite de la difficulté théorique de modéliser le comportement de grands groupes d'individus de la même manière qu'un individu est modélisé.[19] Frank Ackerman souligne que c'est un corollaire de Sonnenschein-Mantel-Debreu qu'une enchère walrasienne ne trouvera pas toujours un équilibre unique et stable, même dans des conditions idéales: En équilibre général walrasien, les prix sont ajustés par un tâtonnement ('tâtonner') traiter: le taux de variation du prix de tout produit est proportionnel à la demande excédentaire pour le produit, et aucune transaction n'a lieu tant que les prix d'équilibre n'ont pas été atteints. Ce n'est peut-être pas réaliste, mais c'est mathématiquement traitable: il fait dépendre les mouvements de prix de chaque produit uniquement des informations sur ce produit. Malheureusement, comme le montre le théorème SMD, le tâtonnement ne conduit pas de manière fiable à la convergence vers l'équilibre.[6] Le modèle d'enchères de Léon Walras exige que le prix d'une marchandise augmente toujours en réponse à une demande excédentaire, et qu'il tombera toujours en réponse à une surabondance. Mais SMD montre que ce ne sera pas toujours le cas, parce que la fonction de demande excédentaire n'a pas besoin d'être uniformément décroissante.[13] Le théorème a également soulevé des inquiétudes quant à la falsifiabilité de la théorie de l'équilibre général, parce que cela semble impliquer que presque tous les modèles observés de données sur les prix et les quantités du marché pourraient être interprétés comme étant le résultat d'un comportement individuel de maximisation de l'utilité. Autrement dit, Sonnenschein–Mantel–Debreu soulève des questions sur la mesure dans laquelle la théorie de l'équilibre général peut produire des prédictions vérifiables sur les variables globales du marché.[20][21] Pour cette raison, Andreu Mas-Colell a qualifié le théorème de «théorème de tout» dans son manuel de microéconomie de niveau universitaire.[21] Certains économistes ont tenté de résoudre ce problème, avec Donald Brown et Rosa Matzkin dérivant certaines restrictions polynomiales sur les variables de marché en modélisant l'état d'équilibre d'un marché comme une variété topologique.[22] Cependant, Abu Turab Rizvi commente que ce résultat ne change pratiquement pas grand-chose à la situation, parce que les restrictions de Brown et Matzkin sont formulées sur la base d'observations au niveau individuel sur les contraintes budgétaires et les revenus, tandis que les modèles d'équilibre général prétendent expliquer les changements dans les données agrégées au niveau du marché.[23] Les résultats de Sonnenschein-Mantel-Debreu ont conduit certains économistes, comme Werner Hildenbrand, abandonner le projet d'expliquer les caractéristiques de la courbe de demande du marché sur la base de la rationalité individuelle. À la place, ces auteurs tentent d'expliquer la loi de la demande en termes d'organisation de la société dans son ensemble, et en particulier la répartition des revenus.[24][25] Explanation This section needs additional citations for verification. Aidez-nous à améliorer cet article en ajoutant des citations à des sources fiables. Le matériel non sourcé peut être contesté et supprimé. (Juillet 2019) (Découvrez comment et quand supprimer ce modèle de message) En termes mathématiques, le nombre d'équations qui composent une fonction de demande excédentaire du marché est égal au nombre de fonctions de demande excédentaire individuelles, qui à son tour est égal au nombre de prix à résoudre pour. Par la loi de Walras, si toutes les demandes excédentaires sauf une sont nulles, la dernière doit également être nulle. Cela signifie qu'il existe une équation redondante et que nous pouvons normaliser l'un des prix ou une combinaison de tous les prix (autrement dit, seuls les prix relatifs sont déterminés; pas le niveau de prix absolu). Ayant fait cela, le nombre d'équations est égal au nombre d'inconnues et nous avons un système déterminé. Cependant, parce que les équations ne sont pas linéaires, il n'y a aucune garantie d'une solution unique. Par ailleurs, même si des hypothèses raisonnables peuvent garantir que les fonctions de demande excédentaire individuelles ont une racine unique, ces hypothèses ne garantissent pas que la demande globale soit aussi bonne.

Il y a plusieurs choses à noter. Première, même s'il peut y avoir plusieurs équilibres, tout équilibre est encore garanti, sous des hypothèses standard, être efficace au sens de Pareto. Cependant, les différents équilibres sont susceptibles d'avoir des implications distributionnelles différentes et peuvent être classés différemment par une fonction de bien-être social donnée. Deuxième, par le théorème de l'indice de Hopf, dans les économies régulières, le nombre d'équilibres sera fini et tous seront localement uniques. Cela signifie que la statique comparative, ou l'analyse de la façon dont l'équilibre change lorsqu'il y a des chocs sur l'économie, peut toujours être pertinent tant que les chocs ne sont pas trop importants. Mais cela laisse sans réponse la question de la stabilité de l'équilibre, puisqu'une perspective de statique comparative ne nous dit pas ce qui se passe lorsque le marché s'éloigne d'un équilibre.

Extension to incomplete markets The extension to incomplete markets was first conjectured by Andreu Mas-Colell in 1986.[26] Pour ce faire il remarque que la loi de Walras et l'homogénéité du degré zéro peuvent être comprises comme le fait que la demande excédentaire ne dépend que du budget lui-même fixé. Ainsi, l'homogénéité signifie seulement que la demande excédentaire est la même si les ensembles budgétaires sont les mêmes. Cette formulation s'étend aux marchés incomplets. Il en va de même pour la loi de Walras si elle est considérée comme la faisabilité budgétaire de la fonction de demande excédentaire. Les premiers marchés incomplets de type Sonnenschein–Mantel–Debreu ont été obtenus par Jean-Marc Bottazzi et Thorsten Hens.[27] D'autres travaux ont élargi le type d'actifs au-delà des structures d'actifs réels populaires comme Chiappori et Ekland.[17] Tous ces résultats sont locaux. Dans 2003 Takeshi Momi a étendu l'approche de Bottazzi et Hens en tant que résultat global.[28] Notes ^ La littérature sur les résultats de Sonnenschein – Mantel – Debreu ne fait généralement pas de distinction entre la courbe de demande du marché pour un seul produit, et la courbe de demande globale pour une économie avec de nombreux produits de base différents. Les résultats se sont avérés valables pour tout marché dans lequel il y a au moins autant d'agents qu'il y a de matières premières, il s'ensuit donc trivialement qu'ils s'appliquent à tout marché non vide pour un seul produit. 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