Sonnenschein–Mantel–Debreu theorem

Sonnenschein–Mantel–Debreu theorem (Redirected from Sonnenschein–Mantel–Debreu Theorem) Zur Navigation springen Zur Suche springen Teil einer Serie zur WirtschaftsgeschichteGliederungIndex Branchen und Klassifikationen anzeigen Konzepte anzeigen, theory and techniques show By application show Notable economists show Notable critics of economics show Lists Business and Economics portal Money portal vte The Sonnenschein–Mantel–Debreu theorem is an important result in general equilibrium economics, bewiesen von Gérard Debreu, Rolf Mantel [es], und Hugo F. Sonnenschein in the 1970s.[1][2][3][4] Es besagt, dass die Nachfrageüberschusskurve für einen Markt, der mit nutzenmaximierenden rationalen Akteuren besetzt ist, die Form jeder stetigen Funktion annehmen kann, hat den Homogenitätsgrad Null, und entspricht dem Gesetz von Walras.[5] Dies impliziert, dass Marktprozesse nicht notwendigerweise einen einzigartigen und stabilen Gleichgewichtspunkt erreichen werden.[6] In jüngerer Zeit, Georg Andreas, Pierre-André Chiappori, und Ivar Ekeland erweiterte dieses Ergebnis auf Marktnachfragekurven, sowohl für einzelne Waren als auch für die Gesamtnachfrage einer Volkswirtschaft als Ganzes.[7][8][9][10][Hinweis 1] Das bedeutet, dass Nachfragekurven sehr unregelmäßige Formen annehmen können, selbst wenn alle einzelnen Agenten auf dem Markt vollkommen rational sind. Im Gegensatz zu üblichen Annahmen, die nachgefragte Menge einer Ware darf nicht abnehmen, wenn der Preis steigt. Frank Hahn betrachtete das Theorem als gefährliche Kritik an der neoklassischen Mainstream-Ökonomie.[11] Inhalt 1 Geschichte des Beweises 1.1 Weiterentwicklungen 2 Bedeutung 3 Erläuterung 4 Erweiterung auf unvollständige Märkte 5 Anmerkungen 6 Verweise 7 Bibliography History of the proof The concept of an excess demand function is important in general equilibrium theories, weil es als Signal für den Markt dient, die Preise anzupassen.[12] Wenn der Wert der Nachfrageüberschussfunktion positiv ist, dann werden mehr Einheiten einer Ware nachgefragt als angeboten werden können; es gibt einen Mangel. Wenn die Überschussnachfrage negativ ist, dann werden mehr Einheiten geliefert als nachgefragt; es gibt eine Überschwemmung. Die Annahme ist, dass die Änderungsrate der Preise proportional zum Nachfrageüberschuss ist, so dass die Anpassung der Preise schließlich zu einem Gleichgewichtszustand führt, in dem der Nachfrageüberschuss für alle Waren Null ist.[13] In den 1970ern, mathematische Ökonomen arbeiteten daran, strenge Mikrogrundlagen für weit verbreitete Gleichgewichtsmodelle zu schaffen, auf der Grundlage der Annahme, dass Individuen nutzenmaximierende rationale Agenten sind (das "Nutzenhypothese"). Es war bereits bekannt, dass diese Annahme den Nachfrageüberschussfunktionen für Einzelpersonen gewisse lose Beschränkungen auferlegt (Kontinuität und das Gesetz von Walras), und dass diese Einschränkungen waren "vererbt" durch die Marktüberschussnachfragefunktion. In einem 1973 Papier, Hugo Sonnenschein stellte die Frage, ob dies die einzigen Einschränkungen seien, die einer Marktüberschussfunktion auferlegt werden könnten.[2] Er vermutete, dass die Antwort lautete "Jawohl," und machte erste Schritte, um es zu beweisen. Diese Ergebnisse wurden von Rolf Mantel erweitert,[3] und dann von Gérard Debreu in 1974,[4] der das bewiesen hat, solange es mindestens so viele Agenten auf dem Markt gibt, wie es Waren gibt, Die Marktüberschussnachfragefunktion erbt nur die folgenden Eigenschaften der einzelnen Überschussnachfragefunktionen: Kontinuität Homogenität Grad Null, and Walras's law These inherited properties are not sufficient to guarantee that the excess demand curve is downward-sloping, wie man gemeinhin annimmt. Auch die Eindeutigkeit des Gleichgewichtspunktes ist nicht garantiert. Es kann mehr als einen Preisvektor geben, bei dem die Überschussnachfragefunktion Null ist, Dies ist die Standarddefinition des Gleichgewichts in diesem Zusammenhang.[13] Further developments In the wake of these initial publications, Mehrere Gelehrte haben die ursprünglichen Sonnenschein-Mantel-Debreu-Ergebnisse auf verschiedene Weise erweitert. In einem 1976 Papier, Rolf Mantel zeigte, dass das Theorem auch dann noch gilt, wenn die sehr starke Annahme hinzugefügt wird, dass alle Verbraucher homothetische Präferenzen haben.[14] Das bedeutet, dass der Nutzen, den Verbraucher einer Ware zuschreiben, immer genau proportional zur Menge der angebotenen Ware ist; zum Beispiel, Eine Million Orangen würden genau eine Million Mal mehr wert sein als eine Orange. Außerdem, Alan Kirman und Karl-Josef Koch bewährten sich 1986 dass das SMD-Theorem auch dann noch gilt, wenn angenommen wird, dass alle Agenten identische Präferenzen haben, und die Einkommensverteilung wird als zeitlich fest und preisunabhängig angenommen.[15] Unzulässig ist lediglich eine Einkommensverteilung, bei der alle Personen über das gleiche Einkommen verfügen und somit, da sie die gleichen Vorlieben haben, sie sind alle identisch.[16] Eine Zeit lang war unklar, ob Ergebnisse im SMD-Stil auch für die Marktnachfragekurve selbst gelten, und nicht nur die Nachfrageüberschusskurve. Aber in 1982 Jordi Andreu stellte ein wichtiges vorläufiges Ergebnis fest, das darauf hindeutet, dass dies der Fall war,[9] und in 1999 Pierre-André Chiappori und Ivar Ekeland verwendeten die Vektorrechnung, um zu beweisen, dass die Sonnenschein-Mantel-Debreu-Ergebnisse tatsächlich für die Marktnachfragekurve gelten.[7][8][17] Das bedeutet, dass Marktnachfragekurven sehr unregelmäßige Formen annehmen können, Ganz im Gegensatz zu Lehrbuchmodellen, selbst wenn alle einzelnen Agenten auf dem Markt vollkommen rational sind.

Significance In the 1982 Buch Handbuch der Wirtschaftsmathematik, Hugo Sonnenschein erläuterte einige Implikationen seines Theorems für die allgemeine Gleichgewichtstheorie: A possible market demand curve according to the Sonnenschein–Mantel–Debreu results …market demand functions need not satisfy in any way the classical restrictions which characterize consumer demand functions… The importance of the above results is clear: starke Einschränkungen sind erforderlich, um die Hypothese zu rechtfertigen, dass eine Marktnachfragefunktion die Eigenschaften einer Verbrauchernachfragefunktion hat. Nur in besonderen Fällen kann von einer Volkswirtschaft erwartet werden, dass sie als „idealisierter Verbraucher“ agiert. Die Nutzenhypothese sagt nichts über die Marktnachfrage aus, es sei denn, sie wird durch zusätzliche Anforderungen ergänzt.[18] Mit anderen Worten, Es kann nicht davon ausgegangen werden, dass die Nachfragekurve für einen einzigen Markt gilt, geschweige denn eine ganze Wirtschaft, glatt abfallend sein muss, einfach weil die Nachfragekurven der einzelnen Verbraucher abfallend sind. Dies ist ein Beispiel für das allgemeinere Aggregationsproblem, die sich mit der theoretischen Schwierigkeit befasst, das Verhalten großer Gruppen von Individuen auf die gleiche Weise zu modellieren, wie ein Individuum modelliert wird.[19] Frank Ackerman weist darauf hin, dass es eine logische Folge von Sonnenschein-Mantel-Debreu ist, dass eine walrasianische Auktion nicht immer ein einzigartiges und stabiles Gleichgewicht finden wird, auch unter Idealbedingungen: Im walrasianischen allgemeinen Gleichgewicht, Die Preise werden durch ein tâtonnement angepasst ('tasten') Prozess: Die Änderungsrate für den Preis einer Ware ist proportional zur überschüssigen Nachfrage nach der Ware, und es finden keine Geschäfte statt, bis Gleichgewichtspreise erreicht sind. Dies ist möglicherweise nicht realistisch, aber es ist mathematisch handhabbar: es macht Preisbewegungen für jede Ware nur von Informationen über diese Ware abhängig. Leider, wie das SMD-Theorem zeigt, tâtonnement führt nicht zuverlässig zur Konvergenz zum Gleichgewicht.[6] Das Auktionsmodell von Léon Walras erfordert, dass der Preis eines Rohstoffs immer als Reaktion auf eine übermäßige Nachfrage steigt, und dass es als Reaktion auf eine Überschwemmung immer fallen wird. Aber SMD zeigt, dass dies nicht immer der Fall sein wird, weil die Nachfrageüberschussfunktion nicht gleichmäßig abfallend sein muss.[13] Der Satz hat auch Bedenken hinsichtlich der Falsifizierbarkeit der allgemeinen Gleichgewichtstheorie aufgeworfen, weil es zu implizieren scheint, dass fast jedes beobachtete Muster von Marktpreis- und Mengendaten als Ergebnis individuellen nutzenmaximierenden Verhaltens interpretiert werden könnte. Mit anderen Worten, Sonnenschein-Mantel-Debreu wirft Fragen auf, inwieweit die allgemeine Gleichgewichtstheorie überprüfbare Vorhersagen über aggregierte Marktvariablen liefern kann.[20][21] Deshalb, Andreu Mas-Colell bezeichnete das Theorem in seinem Mikroökonomie-Lehrbuch für Hochschulabsolventen als „Anything Goes Theorem“.[21] Einige Ökonomen haben versucht, dieses Problem anzugehen, mit Donald Brown und Rosa Matzkin, die einige polynomische Einschränkungen für Marktvariablen ableiten, indem sie den Gleichgewichtszustand eines Marktes als topologische Mannigfaltigkeit modellieren.[22] Jedoch, Abu Turab Rizvi kommentiert, dass dieses Ergebnis die Situation praktisch nicht sehr verändert, weil die Einschränkungen von Brown und Matzkin auf der Grundlage von Beobachtungen auf individueller Ebene über Budgetbeschränkungen und Einkommen formuliert werden, während allgemeine Gleichgewichtsmodelle vorgeben, Änderungen in aggregierten Daten auf Marktebene zu erklären.[23] Die Sonnenschein-Mantel-Debreu-Ergebnisse haben einige Ökonomen veranlasst, wie Werner Hildenbrand, das Projekt aufzugeben, die Eigenschaften der Marktnachfragekurve auf der Grundlage individueller Rationalität zu erklären. Stattdessen, diese Autoren versuchen, das Gesetz der Nachfrage aus der Organisation der Gesellschaft als Ganzes zu erklären, und insbesondere die Einkommensverteilung.[24][25] Explanation This section needs additional citations for verification. Bitte helfen Sie mit, diesen Artikel zu verbessern, indem Sie zuverlässige Quellen zitieren. Nicht bezogenes Material kann angefochten und entfernt werden. (Juli 2019) (Erfahren Sie, wie und wann Sie diese Vorlagennachricht entfernen können) In mathematischer Hinsicht, Die Anzahl der Gleichungen, die eine Marktüberschussnachfragefunktion bilden, ist gleich der Anzahl der einzelnen Überschussnachfragefunktionen, was wiederum der Anzahl der zu lösenden Preise entspricht. Nach dem Gesetz von Walras, Wenn alle bis auf einen der Mehrbedarfe null sind, muss der letzte auch null sein. Das bedeutet, dass es eine redundante Gleichung gibt und wir einen der Preise oder eine Kombination aller Preise normalisieren können (mit anderen Worten, es werden nur relative Preise ermittelt; nicht das absolute Preisniveau). Nachdem Sie dies getan haben, die Anzahl der Gleichungen ist gleich der Anzahl der Unbekannten und wir haben ein bestimmtes System. Jedoch, Da die Gleichungen nichtlinear sind, gibt es keine Garantie für eine eindeutige Lösung. Außerdem, obwohl vernünftige Annahmen garantieren können, dass die einzelnen Nachfrageüberschussfunktionen eine eindeutige Wurzel haben, diese Annahmen garantieren nicht, dass dies auch für die Gesamtnachfrage gilt.

Es gibt mehrere Dinge zu beachten. Zuerst, obwohl es mehrere Gleichgewichte geben kann, jedes Gleichgewicht ist noch gewährleistet, unter Standardannahmen, Pareto-effizient sein. Jedoch, Die unterschiedlichen Gleichgewichte haben wahrscheinlich unterschiedliche Auswirkungen auf die Verteilung und können von jeder gegebenen sozialen Wohlfahrtsfunktion unterschiedlich eingestuft werden. Zweite, nach dem Hopf-Index-Theorem, In regulären Volkswirtschaften wird die Anzahl der Gleichgewichte endlich sein und alle werden lokal einzigartig sein. Das bedeutet vergleichende Statik, oder die Analyse, wie sich das Gleichgewicht verändert, wenn es zu Schocks in der Wirtschaft kommt, kann immer noch relevant sein, solange die Erschütterungen nicht zu groß sind. Damit bleibt aber die Frage nach der Stabilität des Gleichgewichts unbeantwortet, denn eine vergleichende Statik-Perspektive sagt uns nicht, was passiert, wenn sich der Markt von einem Gleichgewicht entfernt.

Extension to incomplete markets The extension to incomplete markets was first conjectured by Andreu Mas-Colell in 1986.[26] Dazu bemerkt er, dass das Walras'sche Gesetz und die Homogenität Grad Null als die Tatsache verstanden werden können, dass die überschüssige Nachfrage nur von dem selbst gesetzten Budget abhängt. Somit, Homogenität besagt lediglich, dass die Überschussnachfrage gleich ist, wenn die Budgetsätze gleich sind. Diese Formulierung erstreckt sich auf unvollständige Märkte. Dies gilt auch für das Gesetz von Walras, wenn es als Budgetierbarkeit einer Überschussnachfragefunktion angesehen wird. Die ersten unvollständigen Ergebnisse vom Typ Sonnenschein-Mantel-Debreu wurden von Jean-Marc Bottazzi und Thorsten Hens erzielt.[27] Andere Arbeiten erweiterten die Art der Vermögenswerte über die beliebten Real-Asset-Strukturen wie Chiappori und Ekland hinaus.[17] Alle diese Ergebnisse sind lokal. Im 2003 Takeshi Momi erweiterte den Ansatz von Bottazzi und Hens zu einem globalen Ergebnis.[28] Anmerkungen ^ Die Literatur zu den Sonnenschein-Mantel-Debreu-Ergebnissen unterscheidet im Allgemeinen nicht zwischen der Marktnachfragekurve für eine einzelne Ware, und die aggregierte Nachfragekurve für eine Wirtschaft mit vielen verschiedenen Rohstoffen. Die Ergebnisse gelten nachweislich für jeden Markt, auf dem es mindestens so viele Agenten wie Rohstoffe gibt, Daraus folgt trivialerweise, dass sie für jeden nicht leeren Markt für eine einzelne Ware gelten. References ^ Sonnenschein 1972. ^ Nach oben springen: a b Sonnenschein 1973. ^ Nach oben springen: a b Mantel 1974. ^ Nach oben springen: a b Debreu 1974. ^ Rizvi 2006, p. 229. ^ Nach oben springen: a b Ackermann 2002, pp. 122–123. ^ Nach oben springen: a b Rizvi 2006, pp. 229–230. ^ Nach oben springen: a b Chiappori et al. 2004, p. 106. ^ Nach oben springen: a b Andreas 1982. ^ Chiappori & Ekeland 1999, p. 1437, "...Wir stellen dies fest, wenn die Anzahl der Agenten mindestens der Anzahl der Waren entspricht, dann kann jede ausreichend reibungslose Funktion, die das Walrassche Gesetz erfüllt, lokal als die aggregierte Marktnachfrage einer Volkswirtschaft angesehen werden, selbst wenn die Einkommensverteilung von vornherein auferlegt wird." ^ Hahn 1975, p. 363. ^ Rizvi 2006, p. 228. ^ Nach oben springen: a b c Lavoie 2014, pp. 50–51. ^ Mantel 1976. ^ Kirman & Koch 1986, p. 460. ^ Kerman 1992, p. 128. ^ Nach oben springen: a b Chiappori & Ekeland 1999. ^ Sonnenschein & Shafer 1982, pp. 671–672. ^ Begeistert 2013, p. 231. ^ Chiapporiet al. 2004, pp. 105–106, "Diese (mittlerweile klassisch) Die Ergebnisse wurden weithin als Hinweise auf eine schwerwiegende Schwäche der allgemeinen Gleichgewichtstheorie interpretiert, nämlich seine Unfähigkeit, empirisch falsifizierbare Vorhersagen zu generieren." ^ Nach oben springen: a b Rizvi 2006, p. 232. ^ Brown & Matzkin 1996. ^ Rizvi 2006, pp. 238–239. ^ Rizvi 2006, p. 231. ^ Hildenbrand 1994, p. ix. ^ Mas-Collell 1986. ^ Bottazzi & Hens 1996. ^ Perle 2003. Bibliographie Ackermann, Frank (2002). "Nach all den Jahren immer noch tot: Interpretation des Scheiterns der allgemeinen Gleichgewichtstheorie" (Pdf). Zeitschrift für Wirtschaftsmethodik. 9 (2): 119–139. doi:10.1080/13501780210137083. S2CID 154640384. Andreas, Jordi (1982). "Rationalisierung der Marktnachfrage auf endliche Domänen". Zeitschrift für Wirtschaftstheorie. 28 (1): 201–204. doi:10.1016/0022-0531(82)90100-4. Bottazzi, Jean Marc; Hühner, Torsten (1996). "Überschussfunktionen und unvollständiger Markt". Zeitschrift für Wirtschaftstheorie. 68: 49–63. doi:10.1006/jeth.1996.0003. Braun, Donald J.; Matzkin, Rosa L. (1996). "Testbare Beschränkungen des Equilibrium Manifold". Ökonometrie. 64 (6): 1249–1262. doi:10.2307/2171830. JSTOR 2171830. Chiappori, Pierre-André; Ekeland, Ivar (1999). "Aggregation und Marktnachfrage: Ein Standpunkt zur äußeren Differentialrechnung". Ökonometrie. 67 (6): 1435–1457. doi:10.1111/1468-0262.00085. JSTOR 2999567. Chiappori, Pierre-André; Ekeland, Ivar; Kübler, Felix; Polemarchakis, Herakles M. (2004). "Testbare Implikationen der allgemeinen Gleichgewichtstheorie: ein differenzierbarer Ansatz" (Pdf). Zeitschrift für mathematische Ökonomie. 40 (1–2): 105–119. doi:10.1016/j.jmateco.2003.11.002. Debreu, Gerhard (1974). "Überschussfunktionen". Zeitschrift für mathematische Ökonomie. 1: 15–21. doi:10.1016/0304-4068(74)90032-9. Hahn, Frank (1975). "Wiederbelebung der politischen Ökonomie - Die falschen Themen und das falsche Argument". Die Wirtschaftsbilanz. 51 (135): 360–364. doi:10.1111/j.1475-4932.1975.tb00262.x. Hildenbrand, Werner (1994). Marktnachfrage: Theorie und empirische Evidenz. Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN 0-691-03428-1. Daran interessiert, Steve (2013). "Vorhersage der „globalen Finanzkrise“: Postkeynesianische Makroökonomie". Wirtschaftsbilanz. 89 (285): 228–254. doi:10.1111/1475-4932.12016. hdl:10.1111/1475-4932.12016. S2CID 154247190. Kerman, Alan P.; Koch, Karl Josef (1986). "Marktüberschussnachfrage in Tauschökonomien mit identischen Präferenzen und kollinearer Ausstattung". Die Überprüfung der Wirtschaftswissenschaften. 53 (3): 457–463. doi:10.2307/2297640. JSTOR 2297640. Kerman, Alan P. (1992). "Wen oder was vertritt die repräsentative Einzelperson?". Zeitschrift für wirtschaftliche Perspektiven. 6 (2): 117–136. doi:10.1257/ergibt 6.2.117. Der Weg, Markus (2014). Postkeynesianische Ökonomie: Neue Stiftungen. Northampton, MA: Edward Elgar Publishing, Inc. ISBN 978-1-84720-483-7. Mantel, Rolf (1974). "Zur Charakterisierung des aggregierten Nachfrageüberschusses". Zeitschrift für Wirtschaftstheorie. 7 (3): 348–353. doi:10.1016/0022-0531(74)90100-8. Mantel, Rolf (1976). "Homothetische Präferenzen und Community Excess Demand Functions". Zeitschrift für Wirtschaftstheorie. 12 (2): 197–201. doi:10.1016/0022-0531(76)90073-9. Mas Colell, Andreas (1986). Vier Vorlesungen über den differenzierbaren Ansatz zum allgemeinen Gleichgewicht. Vorlesungsnotiz in Mathematik. Vorlesungsunterlagen in Mathematik. Vol. 1330. pp. 19–49. doi:10.1007/BFb0078157. ISBN 978-3-540-50003-2. Perle, T. (2003). "Überschuss-Nachfragefunktionen mit unvollständigen Märkten – ein globales Ergebnis" (Pdf). Zeitschrift für Wirtschaftstheorie. 111 (2): 240–250. doi:10.1016/S0022-0531(03)00061-9. Rizvi, S. Abu Turab (2006). "Die Sonnenschein-Mantel-Debreu Bilanz nach 30 Jahren" (Pdf). Geschichte der politischen Ökonomie. 38: 228–245. doi:10.1215/00182702-2005-024. Sonnenschein, Hugo (1972). "Marktüberschuss-Nachfragefunktionen". Ökonometrie. 40 (3): 549–563. doi:10.2307/1913184. JSTOR 1913184. S2CID 55002985. Sonnenschein, Hugo (1973). "Charakterisieren die Identität und Kontinuität von Walras die Klasse der Community-Überschuss-Nachfragefunktionen??". Zeitschrift für Wirtschaftstheorie. 6 (4): 345–354. doi:10.1016/0022-0531(73)90066-5. Sonnenschein, Hugo; Schäfer, Wayne (1982). "Marktnachfrage und Nachfrageüberschussfunktionen". Im Pfeil, Kenneth J.; Intriligator, Michael D. (Hrsg.). Handbuch der Mathematischen Ökonomie. Vol. 2. pp. 671–693. doi:10.1016/S1573-4382(82)02009-8. Kategorien: Allgemeine GleichgewichtstheorieWirtschaftstheoremeMakroökonomische Theorien