Teorema de Sokhotski-Plemelj

Teorema de Sokhotski-Plemelj (Redirecionado do teorema de Sokhatsky-Weierstrass) Ir para a navegação Ir para a pesquisa Não confundir com o teorema de Casorati–Sokhotski–Weierstrass.

O teorema de Sokhotski-Plemelj (A ortografia polonesa é Sochocki) é um teorema em análise complexa, o que ajuda na avaliação de certas integrais. A versão em linha real dele (Veja abaixo) é frequentemente usado em física, embora raramente referido pelo nome. O teorema é nomeado após Julian Sochocki, quem provou isso em 1868, e Josip Plemelj, que a redescobriu como um ingrediente principal de sua solução do problema de Riemann-Hilbert em 1908.

Conteúdo 1 Declaração do teorema 2 Versão para a linha real 3 Prova da versão real 4 Aplicação de física 4.1 Função de Heitler 5 Veja também 6 Referências 7 Literature Statement of the theorem Let C be a smooth closed simple curve in the plane, e {estilo de exibição varphi } uma função analítica em C. Observe que a integral do tipo Cauchy {estilo de exibição phi (z)={fratura {1}{2pi eu}}int_{C}{fratura {varphi (zeta ),filho }{zeta -z}},} não pode ser avaliado para qualquer z na curva C. No entanto, no interior e exterior da curva, a integral produz funções analíticas, que será denotado {estilo de exibição phi _{eu}} dentro de C e {estilo de exibição phi _{e}} fora. As fórmulas de Sokhotski-Plemelj relacionam os valores limite limite dessas duas funções analíticas em um ponto z em C e o valor principal de Cauchy {estilo de exibição {matemática {P}}} da integral: {displaystyle lim _{wto z}phi_{eu}(W)={fratura {1}{2pi eu}}{matemática {P}}int_{C}{fratura {varphi (zeta ),filho }{zeta -z}}+{fratura {1}{2}}varphi (z),} {displaystyle lim _{wto z}phi_{e}(W)={fratura {1}{2pi eu}}{matemática {P}}int_{C}{fratura {varphi (zeta ),filho }{zeta -z}}-{fratura {1}{2}}varphi (z).} Generalizações subsequentes relaxam os requisitos de suavidade na curva C e a função φ.

Versão para a linha real Ver também: Kramers–Kronig relations Especially important is the version for integrals over the real line.

Seja f uma função de valor complexo que é definida e contínua na linha real, e sejam a e b constantes reais com {estilo de exibição a<0

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