Teorema di Sokhotski-Plemelj

Teorema di Sokhotski-Plemelj (Reindirizzato da teorema di Sokhatsky-Weierstrass) Vai alla navigazione Vai alla ricerca Da non confondere con il teorema di Casorati–Sokhotski–Weierstrass.

Il teorema di Sokhotski-Plemelj (L'ortografia polacca è Sochocki) è un teorema nell'analisi complessa, che aiuta a valutare determinati integrali. La versione in linea reale di esso (vedi sotto) è spesso usato in fisica, anche se raramente indicato per nome. Il teorema prende il nome da Julian Sochocki, chi l'ha dimostrato 1868, e Josip Plemelj, che lo riscoprì come ingrediente principale della sua soluzione del problema di Riemann-Hilbert in 1908.

Contenuti 1 Enunciato del teorema 2 Versione per la linea reale 3 Prova della versione reale 4 Applicazione di fisica 4.1 funzione di Heitler 5 Guarda anche 6 Riferimenti 7 Letteratura Enunciato del teorema Sia C una curva semplice chiusa liscia nel piano, e {stile di visualizzazione varphi } una funzione analitica su C. Si noti che l'integrale di tipo Cauchy {stile di visualizzazione phi (z)={frac {1}{2pi io}}int _{C}{frac {varfi (zeta ),bambino }{zeta -z}},} non può essere valutato per nessuna z sulla curva C. Tuttavia, all'interno e all'esterno della curva, l'integrale produce funzioni analitiche, che sarà indicato {stile di visualizzazione phi _{io}} dentro C e {stile di visualizzazione phi _{e}} fuori. Le formule di Sokhotski-Plemelj mettono in relazione i valori limite limite di queste due funzioni analitiche in un punto z su C e il valore principale di Cauchy {stile di visualizzazione {matematico {P}}} dell'integrale: {displaystyle lim _{da z}fi _{io}(w)={frac {1}{2pi io}}{matematico {P}}int _{C}{frac {varfi (zeta ),bambino }{zeta -z}}+{frac {1}{2}}varfi (z),} {displaystyle lim _{da z}fi _{e}(w)={frac {1}{2pi io}}{matematico {P}}int _{C}{frac {varfi (zeta ),bambino }{zeta -z}}-{frac {1}{2}}varfi (z).} Le generalizzazioni successive allentano i requisiti di scorrevolezza sulla curva C e la funzione φ.

Versione per la linea reale Vedi anche: Relazioni di Kramers–Kronig Particolarmente importante è la versione per integrali sulla retta reale.

Sia f una funzione a valori complessi definita e continua sulla retta reale, e siano aeb costanti reali con {stile di visualizzazione a<0

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