Théorème de Sokhotski-Plemelj

Théorème de Sokhotski-Plemelj (Redirigé à partir du théorème de Sokhatsky – Weierstrass) Aller à la navigation Aller à la recherche À ne pas confondre avec le théorème de Casorati – Sokhotski – Weierstrass.

Le théorème de Sokhotski-Plemelj (L'orthographe polonaise est Sochocki) est un théorème d'analyse complexe, qui aide à évaluer certaines intégrales. La version en ligne réelle de celui-ci (voir ci-dessous) est souvent utilisé en physique, bien que rarement désigné par son nom. Le théorème porte le nom de Julian Sochocki, qui l'a prouvé dans 1868, et Josip Plemelj, qui l'a redécouvert comme ingrédient principal de sa solution du problème de Riemann-Hilbert dans 1908.

Contenu 1 Énoncé du théorème 2 Version pour la vraie ligne 3 Preuve de la version réelle 4 Application de physique 4.1 Fonction de Heitler 5 Voir également 6 Références 7 Littérature Énoncé du théorème Soit C une courbe simple fermée lisse dans le plan, et {style d'affichage varphi } une fonction analytique sur C. Notez que l'intégrale de type Cauchy {style d'affichage phi (z)={frac {1}{2pi je}}entier _{C}{frac {varphi (zêta ),enfant }{zêta -z}},} ne peut pas être évalué pour tout z sur la courbe C. Cependant, à l'intérieur et à l'extérieur de la courbe, l'intégrale produit des fonctions analytiques, qui sera noté {style d'affichage phi _{je}} à l'intérieur de C et {style d'affichage phi _{e}} à l'extérieur. Les formules de Sokhotski – Plemelj relient les valeurs limites limites de ces deux fonctions analytiques en un point z sur C et la valeur principale de Cauchy {style d'affichage {mathématique {P}}} de l'intégrale: {style d'affichage lim _{OMC z}phi _{je}(w)={frac {1}{2pi je}}{mathématique {P}}entier _{C}{frac {varphi (zêta ),enfant }{zêta -z}}+{frac {1}{2}}varphi (z),} {style d'affichage lim _{OMC z}phi _{e}(w)={frac {1}{2pi je}}{mathématique {P}}entier _{C}{frac {varphi (zêta ),enfant }{zêta -z}}-{frac {1}{2}}varphi (z).} Les généralisations ultérieures assouplissent les exigences de lissage sur la courbe C et la fonction φ.

Version pour la vraie ligne Voir aussi: Relations Kramers – Kronig La version des intégrales sur la ligne réelle est particulièrement importante.

Soit f une fonction à valeurs complexes définie et continue sur la droite réelle, et soit a et b des constantes réelles avec {style d'affichage a<0

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