Satz von Sokhotski-Plemelj

Satz von Sokhotski-Plemelj (Umgeleitet vom Satz von Sokhatsky-Weierstraß) Zur Navigation springen Zur Suche springen Nicht zu verwechseln mit dem Satz von Casorati-Sokhotski-Weierstraß.

Das Sokhotski-Plemelj-Theorem (Polnische Schreibweise ist Sochocki) ist ein Satz in der komplexen Analysis, was bei der Auswertung bestimmter Integrale hilft. Die Realline-Version davon (siehe unten) wird oft in der Physik verwendet, obwohl selten namentlich genannt. Der Satz ist nach Julian Sochocki benannt, der es bewiesen hat 1868, und Josip Plemelj, der es als Hauptbestandteil seiner Lösung des Riemann-Hilbert-Problems wiederentdeckte 1908.

Inhalt 1 Aussage des Theorems 2 Version für die reale Linie 3 Beweis der echten Version 4 Anwendung Physik 4.1 Heitler-Funktion 5 Siehe auch 6 Verweise 7 Literatur Aussage des Satzes Sei C eine glatte geschlossene einfache Kurve in der Ebene, und {Anzeigestil Varphi } eine analytische Funktion auf C. Beachten Sie, dass das Integral vom Cauchy-Typ {Anzeigestil phi (z)={frac {1}{2pi ich}}int _{C}{frac {Varphi (Zeta ),Kind }{zeta-z}},} kann für kein z auf der Kurve C ausgewertet werden. Jedoch, auf der Innenseite und Außenseite der Kurve, das Integral erzeugt analytische Funktionen, was bezeichnet wird {Anzeigestil Phi _{ich}} in C und {Anzeigestil Phi _{e}} außen. Die Sokhotski-Plemelj-Formeln beziehen die Grenzwerte dieser beiden analytischen Funktionen an einem Punkt z auf C und den Cauchy-Hauptwert {Anzeigestil {mathematisch {P}}} des Integrals: {Anzeigestil lim _{wto z}Phi _{ich}(w)={frac {1}{2pi ich}}{mathematisch {P}}int _{C}{frac {Varphi (Zeta ),Kind }{zeta-z}}+{frac {1}{2}}Varphi (z),} {Anzeigestil lim _{wto z}Phi _{e}(w)={frac {1}{2pi ich}}{mathematisch {P}}int _{C}{frac {Varphi (Zeta ),Kind }{zeta-z}}-{frac {1}{2}}Varphi (z).} Nachfolgende Verallgemeinerungen lockern die Glattheitsanforderungen an Kurve C und die Funktion φ.

Version für die reale Linie Siehe auch: Kramers-Kronig-Beziehungen Besonders wichtig ist die Version für Integrale über der reellen Geraden.

Sei f eine komplexwertige Funktion, die auf der reellen Geraden definiert und stetig ist, und seien a und b reelle Konstanten mit {Anzeigestil a<0

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