Disuguaglianza di Sobolev
Disuguaglianza di Sobolev (Reindirizzato da Teorema di inclusione di Sobolev) Vai alla navigazione Vai alla ricerca In matematica, nell'analisi matematica esiste una classe di disuguaglianze di Sobolev, relative norme comprese quelle degli spazi di Sobolev. Questi sono usati per dimostrare il teorema di incorporamento di Sobolev, fornendo inclusioni tra determinati spazi di Sobolev, e il teorema di Rellich-Kondrachov che mostra che in condizioni leggermente più forti alcuni spazi di Sobolev sono incorporati in modo compatto in altri. Prendono il nome da Sergei Lvovich Sobolev.
Contenuti 1 Teorema di inclusione di Sobolev 1.1 generalizzazioni 1.2 Teorema di incorporamento di Kondrachov 2 Disuguaglianza Gagliardo-Nirenberg-Sobolev 3 Lemma di Hardy-Littlewood-Sobolev 4 La disuguaglianza di Morrey 5 Disuguaglianze generali di Sobolev 5.1 K < n/p 5.2 k > n/p 6 Caso p=n, k=1 7 Disuguaglianza di Nash 8 Disuguaglianza logaritmica di Sobolev 9 Riferimenti Teorema di embedding di Sobolev Rappresentazione grafica delle condizioni di embedding. Lo spazio W 3,p, rappresentato da un punto blu nel punto (1/p, 3), si inserisce negli spazi indicati dai punti rossi, il tutto giacente su una linea con pendenza n. Il cerchio bianco a (0,0) indica l'impossibilità di incorporamenti ottimali in L ∞.
Lascia W k,p(Rn) indichiamo lo spazio di Sobolev costituito da tutte le funzioni a valori reali su Rn le cui prime k derivate deboli sono funzioni in Lp. Qui k è un intero non negativo e 1 ≤ pag < ∞. The first part of the Sobolev embedding theorem states that if k > ℓ, p < n and 1 ≤ p < q < ∞ are two real numbers such that {displaystyle {frac {1}{p}}-{frac {k}{n}}={frac {1}{q}}-{frac {ell }{n}},} then {displaystyle W^{k,p}(mathbf {R} ^{n})subseteq W^{ell ,q}(mathbf {R} ^{n})} and the embedding is continuous. In the special case of k = 1 and ℓ = 0, Sobolev embedding gives {displaystyle W^{1,p}(mathbf {R} ^{n})subseteq L^{p^{*}}(mathbf {R} ^{n})} where p∗ is the Sobolev conjugate of p, given by {displaystyle {frac {1}{p^{*}}}={frac {1}{p}}-{frac {1}{n}}.} This special case of the Sobolev embedding is a direct consequence of the Gagliardo–Nirenberg–Sobolev inequality. The result should be interpreted as saying that if a function {displaystyle f} in {displaystyle L^{p}(mathbb {R} ^{n})} has one derivative in {displaystyle L^{p}} , then {displaystyle f} itself has improved local behavior, meaning that it belongs to the space {displaystyle L^{p^{*}}} where {displaystyle p^{*}>p} . (Notare che {stile di visualizzazione 1/p^{*}<1>p} .) così, eventuali singolarità locali in {stile di visualizzazione f} deve essere più lieve che per una funzione tipica in {stile di visualizzazione L^{p}} .
Se la linea dell'immagine sopra interseca l'asse y in s = r + un, l'incorporamento in uno spazio Hölder C r, un (rosso) tiene. I cerchi bianchi indicano i punti di intersezione in cui gli incorporamenti ottimali non sono validi.
La seconda parte del teorema di embedding di Sobolev si applica agli embedding negli spazi di Hölder C r,un(Rn). Se n < pk and {displaystyle {frac {1}{p}}-{frac {k}{n}}=-{frac {r+alpha }{n}},{mbox{ or, equivalently, }}r+alpha =k-{frac {n}{p}}} with α ∈ (0, 1) then one has the embedding {displaystyle W^{k,p}(mathbf {R} ^{n})subset C^{r,alpha }(mathbf {R} ^{n}).} This part of the Sobolev embedding is a direct consequence of Morrey's inequality. Intuitively, this inclusion expresses the fact that the existence of sufficiently many weak derivatives implies some continuity of the classical derivatives. If {displaystyle alpha =1} then {displaystyle W^{k,p}(mathbf {R} ^{n})subset C^{r,gamma }(mathbf {R} ^{n})} for every {displaystyle gamma in (0,1)} . In particular, as long as {displaystyle pk>n} , il criterio di incorporamento sarà valido {stile di visualizzazione r=0} e qualche valore positivo di {displaystyle alfa } . Questo è, per una funzione {stile di visualizzazione f} Su {displaystyle mathbb {R} ^{n}} , Se {stile di visualizzazione f} ha {stile di visualizzazione k} derivati in {stile di visualizzazione L^{p}} e {displaystyle pk>n} , poi {stile di visualizzazione f} sarà continuo (ed effettivamente Hölder continua con qualche esponente positivo {displaystyle alfa } ).
Generalizzazioni Il teorema di immersione di Sobolev vale per gli spazi di Sobolev W k,p(M) su altri domini idonei M. In particolare (Aubin 1982, Capitolo 2; Aubin 1976), entrambe le parti dell'incastonatura di Sobolev valgono quando M è un aperto limitato in Rn con bordo Lipschitziano (o il cui confine soddisfa la condizione del cono; Adams 1975, Teorema 5.4) M è una varietà riemanniana compatta M è una varietà riemanniana compatta con bordo e il bordo è Lipschitziano (il che significa che il confine può essere rappresentato localmente come un grafico di una funzione continua di Lipschitz). M is a complete Riemannian manifold with injectivity radius δ > 0 e curvatura in sezione limitata.
Se M è un aperto limitato in Rn con confine continuo, quindi W 1,2(M) è incorporato in modo compatto in L2(M) (Fuori tempo 2012, Sezione 1.1.5, Teorema 1.4).
Teorema di incorporamento di Kondrachov Articolo principale: Teorema di Rellich–Kondrachov Su una varietà compatta M con contorno C1, the Kondrachov embedding theorem states that if k > ℓ and {stile di visualizzazione {frac {1}{p}}-{frac {K}{n}}<{frac {1}{q}}-{frac {ell }{n}}} then the Sobolev embedding {displaystyle W^{k,p}(M)subset W^{ell ,q}(M)} is completely continuous (compact).[1] Note that the condition is just as in the first part of the Sobolev embedding theorem, with the equality replaced by an inequality, thus requiring a more regular space W k,p(M). Gagliardo–Nirenberg–Sobolev inequality Assume that u is a continuously differentiable real-valued function on Rn with compact support. Then for 1 ≤ p < n there is a constant C depending only on n and p such that {displaystyle |u|_{L^{p^{*}}(mathbf {R} ^{n})}leq C|Du|_{L^{p}(mathbf {R} ^{n})}.} with 1/p* = 1/p - 1/n. The case {displaystyle 1
Il lemma di Hardy-Littlewood-Sobolev implica l'incorporamento di Sobolev essenzialmente dalla relazione tra le trasformate di Riesz e i potenziali di Riesz.
Disuguaglianza di Morrey Assumere n < p ≤ ∞. Then there exists a constant C, depending only on p and n, such that {displaystyle |u|_{C^{0,gamma }(mathbf {R} ^{n})}leq C|u|_{W^{1,p}(mathbf {R} ^{n})}} for all u ∈ C1(Rn) ∩ Lp(Rn), where {displaystyle gamma =1-{frac {n}{p}}.} Thus if u ∈ W 1,p(Rn), then u is in fact Hölder continuous of exponent γ, after possibly being redefined on a set of measure 0. A similar result holds in a bounded domain U with Lipschitz boundary. In this case, {displaystyle |u|_{C^{0,gamma }(U)}leq C|u|_{W^{1,p}(U)}} where the constant C depends now on n, p and U. This version of the inequality follows from the previous one by applying the norm-preserving extension of W 1,p(U) to W 1,p(Rn). The inequality is named after Charles B. Morrey Jr. General Sobolev inequalities Let U be a bounded open subset of Rn, with a C1 boundary. (U may also be unbounded, but in this case its boundary, if it exists, must be sufficiently well-behaved.) Assume u ∈ W k,p(U). Then we consider two cases: k < n/p In this case we conclude that u ∈ Lq(U), where {displaystyle {frac {1}{q}}={frac {1}{p}}-{frac {k}{n}}.} We have in addition the estimate {displaystyle |u|_{L^{q}(U)}leq C|u|_{W^{k,p}(U)}} , the constant C depending only on k, p, n, and U. k > n/p Qui, concludiamo che u appartiene a uno spazio Hölder, più precisamente: {stile di visualizzazione in C^{k-sinistra[{frac {n}{p}}Giusto]-1,gamma }(u),} dove {stile di visualizzazione gamma ={inizio{casi}sinistra[{frac {n}{p}}Giusto]+1-{frac {n}{p}}&{frac {n}{p}}notin mathbf {Z} \{testo{qualsiasi elemento in }}(0,1)&{frac {n}{p}}in matematica {Z} fine{casi}}} Abbiamo in aggiunta il preventivo {stile di visualizzazione |tu|_{C^{k-sinistra[{frac {n}{p}}Giusto]-1,gamma }(u)}leq C|tu|_{W^{K,p}(u)},} la costante C dipende solo da k, p, n, c, e tu. In particolare, la condizione {displaystyle k>n/p} lo garantisce {stile di visualizzazione u} è continuo (ed effettivamente Hölder continua con qualche esponente positivo).
Caso p=n, k=1 Se {stile di visualizzazione in W ^{1,n}(mathbf {R} ^{n})} , allora u è una funzione dell'oscillazione media limitata e {stile di visualizzazione |tu|_{BMO}leq C|Da|_{L^{n}(mathbf {R} ^{n})},} per qualche costante C dipendente solo da n. Questa stima è un corollario della disuguaglianza di Poincaré.
Disuguaglianza di Nash La disuguaglianza di Nash, introdotto da John Nash (1958), states that there exists a constant C > 0, tale che per ogni u ∈ L1(Rn) ∩ W 1,2(Rn), {stile di visualizzazione |tu|_{L^{2}(mathbf {R} ^{n})}^{1+2/n}leq C|tu|_{L^{1}(mathbf {R} ^{n})}^{2/n}|Da|_{L^{2}(mathbf {R} ^{n})}.} La disuguaglianza deriva dalle proprietà di base della trasformata di Fourier. Infatti, integrando sul complemento della palla di raggio ρ, {displaystyle int _{|X|geq rho }sinistra|{cappello {tu}}(X)Giusto|^{2},ti ha lasciato _{|X|geq rho }{frac {|X|^{2}}{ro ^{2}}}sinistra|{cappello {tu}}(X)Giusto|^{2},dxleq rho ^{-2}int _{mathbf {R} ^{n}}|Da|^{2},dx} (1) perché {stile di visualizzazione 1leq |X|^{2}/ro ^{2}} . D'altro canto, uno ha {stile di visualizzazione |{cappello {tu}}|leq |tu|_{L^{1}}} quale, quando integrato sulla sfera di raggio ρ dà {displaystyle int _{|X|leq rho }|{cappello {tu}}(X)|^{2},dxleq rho ^{n}omega _{n}|tu|_{L^{1}}^{2}} (2) dove ωn è il volume della n-palla. Scegliendo ρ per minimizzare la somma di (1) e (2) e applicando il teorema di Parseval: {stile di visualizzazione |{cappello {tu}}|_{L^{2}}=|tu|_{L^{2}}} dà la disuguaglianza.
Nel caso speciale di n = 1, la disuguaglianza di Nash può essere estesa al caso Lp, nel qual caso è una generalizzazione della disuguaglianza Gagliardo-Nirenberg-Sobolev (Brezi 2011, Commenti al capitolo 8). Infatti, se I è un intervallo limitato, poi per tutti 1 ≤ R < ∞ and all 1 ≤ q ≤ p < ∞ the following inequality holds {displaystyle |u|_{L^{p}(I)}leq C|u|_{L^{q}(I)}^{1-a}|u|_{W^{1,r}(I)}^{a},} where: {displaystyle aleft({frac {1}{q}}-{frac {1}{r}}+1right)={frac {1}{q}}-{frac {1}{p}}.} Logarithmic Sobolev inequality Main article: Logarithmic Sobolev inequalities The simplest of the Sobolev embedding theorems, described above, states that if a function {displaystyle f} in {displaystyle L^{p}(mathbb {R} ^{n})} has one derivative in {displaystyle L^{p}} , then {displaystyle f} itself is in {displaystyle L^{p^{*}}} , where {displaystyle 1/p^{*}=1/p-1/n.} We can see that as {displaystyle n} tends to infinity, {displaystyle p^{*}} approaches {displaystyle p} . Thus, if the dimension {displaystyle n} of the space on which {displaystyle f} is defined is large, the improvement in the local behavior of {displaystyle f} from having a derivative in {displaystyle L^{p}} is small ( {displaystyle p^{*}} is only slightly larger than {displaystyle p} ). In particular, for functions on an infinite-dimensional space, we cannot expect any direct analog of the classical Sobolev embedding theorems. There is, however, a type of Sobolev inequality, established by Leonard Gross (Gross 1975) and known as a logarithmic Sobolev inequality, that has dimension-independent constants and therefore continues to hold in the infinite-dimensional setting. The logarithmic Sobolev inequality says, roughly, that if a function is in {displaystyle L^{p}} with respect to a Gaussian measure and has one derivative that is also in {displaystyle L^{p}} , then {displaystyle f} is in " {displaystyle L^{p}} -log", meaning that the integral of {displaystyle |f|^{p}log |f|} is finite. The inequality expressing this fact has constants that do not involve the dimension of the space and, thus, the inequality holds in the setting of a Gaussian measure on an infinite-dimensional space. It is now known that logarithmic Sobolev inequalities hold for many different types of measures, not just Gaussian measures. Although it might seem as if the {displaystyle L^{p}} -log condition is a very small improvement over being in {displaystyle L^{p}} , this improvement is sufficient to derive an important result, namely hypercontractivity for the associated Dirichlet form operator. This result means that if a function is in the range of the exponential of the Dirichlet form operator—which means that the function has, in some sense, infinitely many derivatives in {displaystyle L^{p}} —then the function does belong to {displaystyle L^{p^{*}}} for some {displaystyle p^{*}>p} (Schifoso 1975 Teorema 6).
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