Théorème Sm n

Sm n theorem In computability theory the S m n theorem, (aussi appelé lemme de traduction, théorème des paramètres, et le théorème de paramétrage) est un résultat de base sur les langages de programmation (et, plus généralement, Numérotations de Gödel des fonctions calculables) (Soleil 1987, Roger 1967). Il a d'abord été prouvé par Stephen Cole Kleene (1943). The name S m n comes from the occurrence of an S with subscript n and superscript m in the original formulation of the theorem (voir ci-dessous).

En termes pratiques, le théorème dit que pour un langage de programmation donné et des entiers positifs m et n, there exists a particular algorithm that accepts as input the source code of a program with m + n free variables, avec m valeurs. Cet algorithme génère un code source qui remplace efficacement les valeurs des m premières variables libres, laissant le reste des variables libres.

Contenu 1 Détails 2 Déclaration formelle 3 Exemple 4 Voir également 5 Références 6 External links Details The basic form of the theorem applies to functions of two arguments (Personnes 2009, p. 6). Étant donné une numérotation de Gödel {style d'affichage varphi } des fonctions récursives, il existe une fonction récursive primitive s de deux arguments avec la propriété suivante: pour tout nombre de Gödel p d'une fonction partielle calculable f à deux arguments, les expressions {style d'affichage varphi _{s(p,X)}(y)} et {style d'affichage f(X,y)} sont définis pour les mêmes combinaisons de nombres naturels x et y, et leurs valeurs sont égales pour toute combinaison de ce type. Autrement dit, l'égalité extensionnelle des fonctions suivante est valable pour chaque x: {style d'affichage varphi _{s(p,X)}simeq lambda y.varphi _{p}(X,y).} Plus généralement, pour tout m, n > 0, il existe une fonction récursive primitive {style d'affichage S_{n}^{m}} of m + 1 arguments that behaves as follows: for every Gödel number p of a partial computable function with m + n arguments, et toutes les valeurs de x1, …, xm: {style d'affichage varphi _{S_{n}^{m}(p,X_{1},des points ,X_{m})}même lambda y_{1},des points ,y_{n}.varphi _{p}(X_{1},des points ,X_{m},y_{1},des points ,y_{n}).} La fonction s décrite ci-dessus peut être considérée comme {style d'affichage S_{1}^{1}} .

Formal statement Given arities {style d'affichage m} et {displaystyle n} , pour chaque machine de Turing {style d'affichage {texte{MT}}_{X}} d'arité {style d'affichage m+n} et pour toutes les valeurs possibles des entrées {style d'affichage y_{1},des points ,y_{m}} , il existe une machine de Turing {style d'affichage {texte{MT}}_{k}} d'arité {displaystyle n} , tel que {style d'affichage pour tous les z_{1},des points ,z_{n}:{texte{MT}}_{X}(y_{1},des points ,y_{m},z_{1},des points ,z_{n})={texte{MT}}_{k}(z_{1},des points ,z_{n}).} Par ailleurs, il y a une machine de Turing {style d'affichage S} ça permet {style d'affichage k} à calculer à partir {style d'affichage x} et {style d'affichage y} ; il est noté {style d'affichage k=S_{n}^{m}(X,y_{1},des points ,y_{m})} .

Informellement, {style d'affichage S} trouve la machine de Turing {style d'affichage {texte{MT}}_{k}} c'est le résultat du codage en dur des valeurs de {style d'affichage y} dans {style d'affichage {texte{MT}}_{X}} . Le résultat se généralise à tout modèle informatique complet de Turing.

Example The following Lisp code implements s11 for Lisp.

(fun s11 (f x) (laisser ((y (gensym))) (liste 'lambda (liste y) (liste f x y)))) Par exemple, (s11'(lambda (xy) (+ xy)) 3) évalue à (lambda (g42) ((lambda (xy) (+ xy)) 3 g42)).

Voir aussi Théorème de récursivité de Currying Kleene Évaluation partielle Références Kleene, S. C. (1936). "Fonctions récursives générales des nombres naturels". Annales mathématiques. 112 (1): 727–742. est ce que je:10.1007/BF01565439. Kleene, S. C. (1938). "Sur les notations pour les nombres ordinaux" (PDF). Le Journal de la logique symbolique. 3: 150–155. (C'est la référence que le 1989 édition d'Odifreddi "Théorie de la récursivité classique" gives on p. 131 for the {style d'affichage S_{n}^{m}} théorème.) Personnes, UN. (2009). Calculabilité et aléa. Guides logiques d'Oxford. Volume. 51. Oxford: Presse universitaire d'Oxford. ISBN 978-0-19-923076-1. Zbl 1169.03034. Odifreddi, P. (1999). Théorie de la récursivité classique. Hollande du Nord. ISBN 0-444-87295-7. Roger, H. (1987) [1967]. La théorie des fonctions récursives et la calculabilité effective. Première édition de poche de presse du MIT. ISBN 0-262-68052-1. Soleil, R. (1987). Ensembles et degrés récursivement énumérables. Perspectives en logique mathématique. Springer Verlag. ISBN 3-540-15299-7. Weissstein externe gauche, Eric W. "Théorème smn de Kleene". MathWorld. Catégories: Théorie de la calculabilitéThéorèmes en théorie du calculArticles avec exemple Lisp (langage de programmation) code