Sm n Satz

Sm n theorem In computability theory the S m n theorem, (auch Übersetzungslemma genannt, Parametersatz, und das Parametrisierungstheorem) ist ein grundlegendes Ergebnis über Programmiersprachen (und, allgemeiner, Gödel-Nummerierungen der berechenbaren Funktionen) (Sonne 1987, Rogers 1967). Es wurde zuerst von Stephen Cole Kleene bewiesen (1943). The name S m n comes from the occurrence of an S with subscript n and superscript m in the original formulation of the theorem (siehe unten).

In der Praxis, Das Theorem besagt, dass für eine gegebene Programmiersprache und positive ganze Zahlen m und n, there exists a particular algorithm that accepts as input the source code of a program with m + n free variables, zusammen mit m-Werten. Dieser Algorithmus generiert Quellcode, der die Werte für die ersten m freien Variablen effektiv ersetzt, den Rest der Variablen frei lassen.

Inhalt 1 Einzelheiten 2 Formale Aussage 3 Beispiel 4 Siehe auch 5 Verweise 6 External links Details The basic form of the theorem applies to functions of two arguments (Personen 2009, p. 6). Mit Gödel-Nummerierung versehen {Anzeigestil Varphi } von rekursiven Funktionen, Es gibt eine primitive rekursive Funktion s mit zwei Argumenten mit der folgenden Eigenschaft: für jede Gödelzahl p einer partiell berechenbaren Funktion f mit zwei Argumenten, die Ausdrücke {Anzeigestil Varphi _{s(p,x)}(j)} und {Anzeigestil f(x,j)} sind für dieselben Kombinationen natürlicher Zahlen x und y definiert, und ihre Werte sind für jede solche Kombination gleich. Mit anderen Worten, die folgende extensionale Gleichheit von Funktionen gilt für jedes x: {Anzeigestil Varphi _{s(p,x)}simeq lambda y.varphi _{p}(x,j).} Allgemeiner, für jeden m, n > 0, Es gibt eine primitive rekursive Funktion {Anzeigestil S_{n}^{m}} of m + 1 arguments that behaves as follows: for every Gödel number p of a partial computable function with m + n arguments, und alle Werte von x1, …, xm: {Anzeigestil Varphi _{S_{n}^{m}(p,x_{1},Punkte ,x_{m})}gleiches Lambda y_{1},Punkte ,y_{n}.varphi_{p}(x_{1},Punkte ,x_{m},y_{1},Punkte ,y_{n}).} Die oben beschriebene Funktion kann angenommen werden {Anzeigestil S_{1}^{1}} .

Formal statement Given arities {Anzeigestil m} und {Anzeigestil n} , für jede Turingmaschine {Anzeigestil {Text{TM}}_{x}} der Arität {Anzeigestil m+n} und für alle möglichen Eingabewerte {Anzeigestil y_{1},Punkte ,y_{m}} , Es gibt eine Turing-Maschine {Anzeigestil {Text{TM}}_{k}} der Arität {Anzeigestil n} , so dass {Anzeigestil für alle z_{1},Punkte ,z_{n}:{Text{TM}}_{x}(y_{1},Punkte ,y_{m},z_{1},Punkte ,z_{n})={Text{TM}}_{k}(z_{1},Punkte ,z_{n}).} Außerdem, Es gibt eine Turing-Maschine {Anzeigestil S} das erlaubt {Anzeigestil k} ausgerechnet werden {Anzeigestil x} und {Anzeigestil y} ; es ist bezeichnet {Anzeigestil k=S_{n}^{m}(x,y_{1},Punkte ,y_{m})} .

Informell, {Anzeigestil S} findet die Turing-Maschine {Anzeigestil {Text{TM}}_{k}} das ist das Ergebnis der Hardcodierung der Werte von {Anzeigestil y} hinein {Anzeigestil {Text{TM}}_{x}} . Das Ergebnis lässt sich auf jedes Turing-vollständige Rechenmodell verallgemeinern.

Example The following Lisp code implements s11 for Lisp.

(defun s11 (fx) (Lassen ((j (gensym))) (Liste 'Lambda (Liste y) (Liste f x y)))) Zum Beispiel, (s11'(Lambda (x y) (+ x y)) 3) wertet zu (Lambda (g42) ((Lambda (x y) (+ x y)) 3 g42)).

Siehe auch Currying Kleenes Rekursionssatz Teilauswertung Referenzen Kleene, S. C. (1936). "Allgemeine rekursive Funktionen natürlicher Zahlen". Mathematische Annalen. 112 (1): 727–742. doi:10.1007/BF01565439. Kleene, S. C. (1938). "Über Notationen für Ordnungszahlen" (Pdf). Das Journal of Symbolic Logic. 3: 150–155. (Dies ist die Referenz, die die 1989 Ausgabe von Odifreddis "Klassische Rekursionstheorie" gives on p. 131 for the {Anzeigestil S_{n}^{m}} Satz.) Personen, EIN. (2009). Berechenbarkeit und Zufälligkeit. Oxford Logic Guides. Vol. 51. Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-923076-1. Zbl 1169.03034. Odifreddi, P. (1999). Klassische Rekursionstheorie. Nordholland. ISBN 0-444-87295-7. Rogers, H. (1987) [1967]. Die Theorie rekursiver Funktionen und effektiver Berechenbarkeit. Erste Taschenbuchausgabe der MIT-Presse. ISBN 0-262-68052-1. Sonne, R. (1987). Rekursiv aufzählbare Mengen und Grade. Perspektiven in der mathematischen Logik. Springer-Verlag. ISBN 3-540-15299-7. External links Weisstein, Erich W. "Kleenes s-m-n-Theorem". MathWorld. Kategorien: BerechenbarkeitstheorieTheoreme der BerechnungstheorieArtikel mit Beispiel Lisp (Programmiersprache) Code