Teorema da Aproximação Simplicial

Teorema da Aproximação Simplicial Em matemática, o teorema da aproximação simplicial é um resultado fundamental para a topologia algébrica, garantindo que mapeamentos contínuos possam ser (por uma ligeira deformação) aproximado por aqueles que são por partes do tipo mais simples. Aplica-se a mapeamentos entre espaços que são construídos a partir de simplics - ou seja,, complexos simpliciais finitos. O mapeamento contínuo geral entre tais espaços pode ser representado aproximadamente pelo tipo de mapeamento que é (afim-) linear em cada simplex em outro simplex, Ao custo (eu) de subdivisão baricêntrica suficiente dos simplices do domínio, e (ii) substituição do mapeamento real por um homotópico.

Este teorema foi provado pela primeira vez por L.E.J.. Brouwer, pelo teorema de cobertura de Lebesgue (um resultado baseado na compacidade). Serviu para colocar a teoria da homologia da época - a primeira década do século XX - em uma base rigorosa, uma vez que mostrou que o efeito topológico (em grupos de homologia) de mapeamentos contínuos poderia, em um determinado caso, ser expresso de forma finita. Isso deve ser visto no contexto de uma percepção na época de que a continuidade era em geral compatível com o patológico., em algumas outras áreas. Isso iniciou, alguém poderia dizer, a era da topologia combinatória.

Existe um outro teorema de aproximação simplicial para homotopias, afirmando que uma homotopia entre mapeamentos contínuos também pode ser aproximada por uma versão combinatória.

Formal statement of the theorem Let {estilo de exibição K} e {estilo de exibição L} ser dois complexos simpliciais. Um mapeamento simples {estilo de exibição f:Quem L} é chamada de aproximação simplicial de uma função contínua {estilo de exibição F:|K|para |eu|} se para cada ponto {estilo de exibição xin |K|} , {estilo de exibição |f|(x)} pertence ao simplex fechado mínimo de {estilo de exibição L} contendo o ponto {estilo de exibição F(x)} . Se {estilo de exibição f} é uma aproximação simplicial de um mapa contínuo {estilo de exibição F} , então a realização geométrica de {estilo de exibição f} , {estilo de exibição |f|} é necessariamente homotópico para {estilo de exibição F} .

O teorema da aproximação simplicial afirma que dado qualquer mapa contínuo {estilo de exibição F:|K|para |eu|} existe um número natural {estilo de exibição n_{0}} tal que para todos {displaystyle ngeq n_{0}} existe uma aproximação simplicial {estilo de exibição f:matemática {Bd} ^{n}Quem L} para {estilo de exibição F} (Onde {matemática de estilo de exibição {Bd} ;K} denota a subdivisão baricêntrica de {estilo de exibição K} , e {matemática de estilo de exibição {Bd} ^{n}K} denota o resultado da aplicação da subdivisão baricêntrica {estilo de exibição m} vezes.) Referências "Complexo Simplicial", Enciclopédia de Matemática, Imprensa EMS, 2001 [1994] Categorias: Mapeamentos contínuosConjuntos simplesTeoremas em topologia algébrica