Teorema di approssimazione semplicistica

Teorema di approssimazione simpliciale In matematica, il teorema di approssimazione simpliciale è un risultato fondamentale per la topologia algebrica, garantendo che le mappature continue possano essere (da una leggera deformazione) approssimato da quelli che sono a tratti del tipo più semplice. Si applica alle mappature tra spazi che sono costruiti da semplici, cioè, complessi simpliciali finiti. La mappatura continua generale tra tali spazi può essere rappresentata approssimativamente dal tipo di mappatura che è (affine-) lineare su ogni simplex in un altro simplex, al costo (io) di sufficiente suddivisione baricentrica dei semplici del dominio, e (ii) sostituzione della mappatura vera e propria con una omotopica.

Questo teorema è stato dimostrato per la prima volta da L.E.J. Broker, mediante l'uso del teorema di copertura di Lebesgue (un risultato basato sulla compattezza). È servito a porre su basi rigorose la teoria dell'omologia dell'epoca - il primo decennio del ventesimo secolo, poiché ha mostrato che l'effetto topologico (sui gruppi di omologia) di mappature continue potrebbe in un dato caso essere espresso in modo finitario. Questo deve essere visto sullo sfondo di una consapevolezza all'epoca che la continuità era in generale compatibile con il patologico, in alcune altre aree. Questo è iniziato, si potrebbe dire, l'era della topologia combinatoria.

C'è un ulteriore teorema di approssimazione simpliciale per le omotopie, affermando che un'omotopia tra mappature continue può anche essere approssimata da una versione combinatoria.

Formal statement of the theorem Let {stile di visualizzazione K} e {stile di visualizzazione L} essere due complessi semplici. Una semplice mappatura {stile di visualizzazione f:Chi L} è chiamata approssimazione simpliciale di una funzione continua {stile di visualizzazione F:|K|a |l|} se per ogni punto {stile di visualizzazione xin |K|} , {stile di visualizzazione |f|(X)} appartiene al simplesso chiuso minimo di {stile di visualizzazione L} contenente il punto {stile di visualizzazione F(X)} . Se {stile di visualizzazione f} è un'approssimazione semplice di una mappa continua {stile di visualizzazione F} , poi la realizzazione geometrica di {stile di visualizzazione f} , {stile di visualizzazione |f|} è necessariamente omotopico a {stile di visualizzazione F} .

Il teorema di approssimazione simpliciale afferma che data qualsiasi mappa continua {stile di visualizzazione F:|K|a |l|} esiste un numero naturale {stile di visualizzazione n_{0}} tale che per tutti {stile di visualizzazione ngeq n_{0}} esiste un'approssimazione semplicistica {stile di visualizzazione f:matematica {Bd} ^{n}Chi L} a {stile di visualizzazione F} (dove {displaystyle matematica {Bd} ;K} denota la suddivisione baricentrica di {stile di visualizzazione K} , e {displaystyle matematica {Bd} ^{n}K} denota il risultato dell'applicazione della suddivisione baricentrica {stile di visualizzazione n} volte.) Riferimenti "Complesso semplice", Enciclopedia della matematica, EMS Press, 2001 [1994] Categorie: Mappature continue Insiemi semplici Teoremi nella topologia algebrica