Théorème d'approximation simplicial

Théorème d'approximation simplicial En mathématiques, le théorème d'approximation simplicial est un résultat fondamental pour la topologie algébrique, garantissant que des cartographies continues peuvent être (par une légère déformation) approximés par ceux qui sont par morceaux du type le plus simple. Il s'applique aux applications entre les espaces qui sont construits à partir de simplexes, c'est-à-dire, complexes simpliciaux finis. Le mappage continu général entre de tels espaces peut être représenté approximativement par le type de mappage qui est (affine-) linéaire sur chaque simplexe vers un autre simplexe, Prix ​​coutant (je) de subdivision barycentrique suffisante des simplexes du domaine, et (ii) remplacement de la cartographie actuelle par une cartographie homotopique.

Ce théorème a été démontré pour la première fois par L.E.J.. Brouwer, en utilisant le théorème de recouvrement de Lebesgue (un résultat basé sur la compacité). Il a servi à mettre la théorie de l'homologie de l'époque - la première décennie du XXe siècle - sur une base rigoureuse, puisqu'il a montré que l'effet topologique (sur les groupes d'homologie) des applications continues pourraient dans un cas donné s'exprimer de manière fininaire. Cela doit être considéré dans le contexte d'une prise de conscience à l'époque que la continuité était en général compatible avec la pathologie, dans certains autres domaines. Cela a initié, On pourrait dire, l'ère de la topologie combinatoire.

Il existe un autre théorème d'approximation simplicial pour les homotopies, indiquant qu'une homotopie entre des applications continues peut également être approchée par une version combinatoire.

Formal statement of the theorem Let {style d'affichage K} et {displaystyle L} être deux complexes simpliciaux. Une cartographie simplifiée {style d'affichage f:Qui L} est appelée approximation simpliciale d'une fonction continue {style d'affichage F:|K|à |L|} si pour chaque point {style d'affichage xin |K|} , {style d'affichage |F|(X)} appartient au simplexe fermé minimal de {displaystyle L} contenant le point {style d'affichage F(X)} . Si {style d'affichage f} est une approximation simpliciale d'une application continue {style d'affichage F} , puis la réalisation géométrique de {style d'affichage f} , {style d'affichage |F|} est nécessairement homotope à {style d'affichage F} .

Le théorème d'approximation simplicial stipule que, étant donné toute carte continue {style d'affichage F:|K|à |L|} il existe un nombre naturel {displaystyle n_{0}} telle que pour tout {displaystyle ngeq n_{0}} il existe une approximation simpliciale {style d'affichage f:mathrm {Bd} ^{n}Qui L} à {style d'affichage F} (où {style d'affichage mathrm {Bd} ;K} désigne la subdivision barycentrique de {style d'affichage K} , et {style d'affichage mathrm {Bd} ^{n}K} désigne le résultat de l'application de la subdivision barycentrique {displaystyle n} fois.) Références "Complexe simplicial", Encyclopédie des mathématiques, Presse EMS, 2001 [1994] Catégories: Applications continuesEnsembles simpliciauxThéorèmes en topologie algébrique