Vereinfachter Approximationssatz

Vereinfachter Approximationssatz In der Mathematik, Der simpliziale Approximationssatz ist ein grundlegendes Ergebnis für die algebraische Topologie, garantiert, dass kontinuierliche Zuordnungen möglich sind (durch leichte Verformung) durch stückweise einfachste angenähert. Es gilt für Abbildungen zwischen Räumen, die aus Simplizes aufgebaut sind – das heißt, endliche Simplizialkomplexe. Die allgemeine kontinuierliche Abbildung zwischen solchen Räumen kann ungefähr durch die Art der Abbildung dargestellt werden (affin-) linear auf jedem Simplex in einen anderen Simplex, auf Kosten (ich) ausreichender baryzentrischer Unterteilung der Simplizes des Gebietes, und (ii) Ersatz der eigentlichen Abbildung durch eine homotope.

Dieser Satz wurde zuerst von L.E.J. Brüwer, unter Verwendung des Lebesgueschen Überdeckungssatzes (ein Ergebnis basierend auf Kompaktheit). Sie diente dazu, die Homologietheorie der damaligen Zeit – des ersten Jahrzehnts des zwanzigsten Jahrhunderts – auf eine strenge Grundlage zu stellen, da es zeigte, dass der topologische Effekt (über Homologiegruppen) stetiger Abbildungen könnte in einem gegebenen Fall endlich ausgedrückt werden. Dies muss vor dem Hintergrund einer damaligen Erkenntnis gesehen werden, dass Kontinuität überhaupt mit dem Pathologischen vereinbar ist, in einigen anderen Bereichen. Dies initiiert, man könnte sagen, die Ära der kombinatorischen Topologie.

Für Homotopien gibt es einen weiteren simplizialen Approximationssatz, die besagt, dass eine Homotopie zwischen kontinuierlichen Abbildungen ebenfalls durch eine kombinatorische Version angenähert werden kann.

Formal statement of the theorem Let {Anzeigestil K} und {Anzeigestil L} seien zwei Simplizialkomplexe. Eine vereinfachte Abbildung {Anzeigestil f:Wer L} heißt simpliziale Approximation einer stetigen Funktion {Anzeigestil F:|K|zu |L|} wenn für jeden Punkt {Anzeigestil xin |K|} , {Anzeigestil |f|(x)} gehört zum minimalen geschlossenen Simplex von {Anzeigestil L} den Punkt enthält {Anzeigestil F(x)} . Wenn {Anzeigestil f} ist eine einfache Annäherung an eine kontinuierliche Karte {Anzeigestil F} , dann die geometrische Realisierung von {Anzeigestil f} , {Anzeigestil |f|} ist notwendigerweise homotop zu {Anzeigestil F} .

Der simpliziale Approximationssatz besagt, dass bei jeder stetigen Abbildung {Anzeigestil F:|K|zu |L|} Es gibt eine natürliche Zahl {Anzeigestil n_{0}} so dass für alle {Anzeigestil ngeq n_{0}} es gibt eine simpliziale Annäherung {Anzeigestil f:Mathrm {Bd} ^{n}Wer L} zu {Anzeigestil F} (wo {Anzeigestil mathrm {Bd} ;K} bezeichnet die baryzentrische Unterteilung von {Anzeigestil K} , und {Anzeigestil mathrm {Bd} ^{n}K} bezeichnet das Ergebnis der baryzentrischen Unterteilung {Anzeigestil n} mal.) Verweise "Einfacher Komplex", Enzyklopädie der Mathematik, EMS-Presse, 2001 [1994] Kategorien: Kontinuierliche AbbildungenSimpliziale MengenTheoreme in der algebraischen Topologie