Teorema da casca

Teorema Shell Na mecânica clássica, o teorema da casca fornece simplificações gravitacionais que podem ser aplicadas a objetos dentro ou fora de um corpo esfericamente simétrico. Este teorema tem aplicação particular à astronomia.

Isaac Newton provou o teorema das cascas[1] e afirmou que: Um corpo esfericamente simétrico afeta gravitacionalmente objetos externos como se toda a sua massa estivesse concentrada em um ponto em seu centro. Se o corpo é uma casca esfericamente simétrica (ou seja, uma bola oca), nenhuma força gravitacional líquida é exercida pela casca em qualquer objeto dentro, independentemente da localização do objeto dentro do shell.

Um corolário é que dentro de uma esfera sólida de densidade constante, a força gravitacional dentro do objeto varia linearmente com a distância do centro, tornando-se zero por simetria no centro de massa. Poderá ser visto da seguinte forma: tomar um ponto dentro de tal esfera, à distância {estilo de exibição r} do centro da esfera. Então você pode ignorar todas as conchas de raio maior, de acordo com o teorema da casca (1). Mas o ponto pode ser considerado externo à esfera restante de raio r, e de acordo com (2) toda a massa desta esfera pode ser considerada concentrada em seu centro. A massa restante {estilo de exibição m} é proporcional a {estilo de exibição r^{3}} (porque é baseado no volume). A força gravitacional exercida sobre um corpo de raio r será proporcional a {estilo de texto {fratura {m}{^{2}}}} (a lei do inverso do quadrado), então o efeito gravitacional global é proporcional a {estilo de texto {fratura {^{3}}{^{2}}}=r} , então é linear em {estilo de exibição r} .

Esses resultados foram importantes para a análise de Newton do movimento planetário; eles não são imediatamente óbvios, mas eles podem ser provados com cálculo. (A lei de Gauss para a gravidade oferece uma maneira alternativa de enunciar o teorema.) Além da gravidade, o teorema da casca também pode ser usado para descrever o campo elétrico gerado por uma densidade de carga estática esfericamente simétrica, ou similarmente para qualquer outro fenômeno que segue uma lei do inverso do quadrado. As derivações abaixo focam na gravidade, mas os resultados podem ser facilmente generalizados para a força eletrostática.

Conteúdo 1 Derivação do campo gravitacional fora de uma esfera sólida 2 Fora de uma concha 3 Dentro de uma concha 4 Derivação usando a lei de Gauss 5 Inversas e generalizações 6 As provas de Newton 6.1 Introdução 6.2 Força em um ponto dentro de uma esfera oca 6.3 Força em um ponto fora de uma esfera oca 7 Teorema de Shell na relatividade geral 8 Veja também 9 References Derivation of gravitational field outside of a solid sphere There are three steps to proving Newton's shell theorem. Primeiro, a equação para um campo gravitacional devido a um anel de massa será derivada. Organizando um número infinito de anéis infinitamente finos para fazer um disco, esta equação envolvendo um anel será usada para encontrar o campo gravitacional devido a um disco. Finalmente, arranjando um número infinito de discos infinitamente finos para fazer uma esfera, esta equação envolvendo um disco será usada para encontrar o campo gravitacional devido a uma esfera.

O campo gravitacional {estilo de exibição E} em uma posição chamada {estilo de exibição P} no {estilo de exibição (x,y)=(-p,0)} no eixo x devido a um ponto de massa {estilo de exibição M} na origem é {estilo de exibição E_{texto{ponto}}={fratura {GM}{p^{2}}}} Suponha que essa massa seja movida para cima ao longo do eixo y para apontar {estilo de exibição (0,R)} . A distância entre {estilo de exibição P} e a massa pontual agora é maior do que antes; Torna-se a hipotenusa do triângulo retângulo com catetos {estilo de exibição p} e {estilo de exibição R} qual é {estilo de texto {quadrado {p^{2}+R^{2}}}} . Por isso, o campo gravitacional do ponto elevado é: {estilo de exibição E_{texto{ponto elevado}}={fratura {GM}{p^{2}+R^{2}}}} A magnitude do campo gravitacional que puxaria uma partícula no ponto {estilo de exibição P} na direção x é o campo gravitacional multiplicado por {estilo de exibição cos(teta )} Onde {estilo de exibição teta } é o ângulo adjacente ao eixo x. Nesse caso, {estilo de exibição cos(teta )={fratura {p}{quadrado {p^{2}+R^{2}}}}} . Por isso, a magnitude do campo gravitacional na direção x, {estilo de exibição E_{x}} é: {estilo de exibição E_{x}={fratura {GMcos {teta }}{p^{2}+R^{2}}}} Substituindo em {estilo de exibição cos(teta )} dá {estilo de exibição E_{x}={fratura {GMp}{deixei(p^{2}+R^{2}certo)^{3/2}}}} Suponha que essa massa esteja distribuída uniformemente em um anel centrado na origem e no ponto de face {estilo de exibição P} com o mesmo raio {estilo de exibição R} . Porque toda a massa está localizada no mesmo ângulo em relação ao eixo x, e a distância entre os pontos no anel é a mesma distância que antes, o campo gravitacional na direção x no ponto {estilo de exibição P} devido ao anel é o mesmo que uma massa pontual localizada em um ponto {estilo de exibição R} unidades acima do eixo y: {estilo de exibição E_{texto{anel}}={fratura {GMp}{deixei(p^{2}+R^{2}certo)^{3/2}}}} Para encontrar o campo gravitacional no ponto {estilo de exibição P} devido a um disco, um número infinito de anéis infinitamente finos voltados para {estilo de exibição P} , cada um com um raio {estilo de exibição y} , largura de {estilo de exibição dy} , e massa de {estilo de exibição dM} podem ser colocados um dentro do outro para formar um disco. A massa de qualquer um dos anéis {estilo de exibição dM} é a massa do disco multiplicada pela razão entre a área do anel {estilo de exibição 2pi y,dy} para a área total do disco {estilo de exibição pi R^{2}} . Então, {estilo de texto dM={fratura {Mcdot 2a,dy}{R^{2}}}} . Por isso, uma pequena mudança no campo gravitacional, {estilo de exibição E} é: {estilo de exibição dE={fratura {GP,dM}{(p^{2}+^{2})^{3/2}}}} Substituindo em {estilo de exibição dM} e integrando ambos os lados dá o campo gravitacional do disco: {estilo de exibição E=int {fratura {GMpcdot {fratura {2y,dy}{R^{2}}}}{(p^{2}+^{2})^{3/2}}}} Somando a contribuição para o campo gravitacional de cada um desses anéis produzirá a expressão para o campo gravitacional devido a um disco. Isso é equivalente a integrar esta expressão acima de {estilo de exibição y=0} para {estilo de exibição y=R} , resultando em: {estilo de exibição E_{texto{disco}}={fratura {2GM}{R^{2}}}deixei(1-{fratura {p}{quadrado {p^{2}+R^{2}}}}certo)} Para encontrar o campo gravitacional no ponto {estilo de exibição P} devido a uma esfera centrada na origem, uma quantidade infinita de discos infinitamente finos voltados para {estilo de exibição P} , cada um com um raio {estilo de exibição R} , largura de {estilo de exibição dx} , e massa de {estilo de exibição dM} podem ser colocados juntos.

Os raios desses discos {estilo de exibição R} seguir a altura da seção transversal de uma esfera (com raio constante {estilo de exibição a} ) que é uma equação de um semicírculo: {estilo de texto R={quadrado {um^{2}-x^{2}}}} . {estilo de exibição x} varia de {estilo de exibição -a} para {estilo de exibição a} .

A massa de qualquer um dos discos {estilo de exibição dM} é a massa da esfera {estilo de exibição M} multiplicado pela razão entre o volume de um disco infinitamente fino dividido pelo volume de uma esfera (com raio constante {estilo de exibição a} ). O volume de um disco infinitamente fino é {estilo de exibição pi R^{2},dx} , ou {estilo de texto pi à esquerda(um^{2}-x^{2}certo)dx} . Então, {estilo de texto dM={fratura {pés M(um^{2}-x^{2}),dx}{{fratura {4}{3}}pés a^{3}}}} . Simplifying gives {estilo de texto dM={fratura {3M(um^{2}-x^{2}),dx}{4um^{3}}}} .

A posição de cada disco longe de {estilo de exibição P} variará com sua posição dentro da 'esfera' feita dos discos, assim {estilo de exibição p} deve ser substituído por {estilo de exibição p+x} .

Substituindo {estilo de exibição M} com {estilo de exibição dM} , {estilo de exibição R} com {estilo de exibição {quadrado {um^{2}-x^{2}}}} , e {estilo de exibição p} com {estilo de exibição p+x} na equação 'disco' produz: {estilo de exibição dE={fratura {deixei({fratura {2Fenda[3M à esquerda(um^{2}-x^{2}certo)certo]}{4um^{3}}}certo)}{{quadrado {um^{2}-x^{2}}}^{2}}}cdot esquerda(1-{fratura {p+x}{quadrado {(p+x)^{2}+{quadrado {um^{2}-x^{2}}}^{2}}}}certo),dx} Simplificando, {estilo de exibição int dE=int _{-uma}^{uma}{fratura {3GM}{2um^{3}}}deixei(1-{fratura {p+x}{quadrado {p^{2}+um^{2}+2px}}}certo)dx} Integrando o campo gravitacional de cada disco fino de {estilo de exibição x=-a} para {estilo de exibição x=+a} em relação a {estilo de exibição x} , e fazendo alguma álgebra cuidadosa, produz o teorema das cascas de Newton: {estilo de exibição E={fratura {GM}{p^{2}}}} Onde {estilo de exibição p} é a distância entre o centro da massa esférica e um ponto arbitrário {estilo de exibição P} . The gravitational field of a spherical mass may be calculated by treating all the mass as a point particle at the center of the sphere.

Outside a shell A solid, corpo esfericamente simétrico pode ser modelado como um número infinito de, cascas esféricas infinitesimalmente finas. Se uma dessas cascas pode ser tratada como uma massa pontual, então um sistema de conchas (ou seja. a esfera) também pode ser tratado como uma massa pontual. Considere uma dessas conchas (o diagrama mostra uma seção transversal): (Observação: a {estilo de exibição dtheta } no diagrama refere-se ao pequeno ângulo, não o comprimento do arco. O comprimento do arco é {estilo de texto R,teta } .) Aplicando a Lei da Gravitação Universal de Newton, a soma das forças devidas aos elementos de massa na faixa sombreada é {estilo de exibição dF={fratura {Gm}{s^{2}}}dM.} No entanto, uma vez que há cancelamento parcial devido à natureza vetorial da força em conjunto com a simetria da banda circular, o componente restante (na direção que aponta para {estilo de exibição m} ) É dado por {estilo de exibição dF_{r}={fratura {Gm}{s^{2}}}porque(varphi ),dM} A força total sobre {estilo de exibição m} , então, é simplesmente a soma da força exercida por todas as bandas. Ao diminuir a largura de cada banda, e aumentando o número de bandas, a soma torna-se uma expressão integral: {estilo de exibição F_{r}=int dF_{r}} Desde {estilo de exibição G} e {estilo de exibição m} são constantes, eles podem ser retirados da integral: {estilo de exibição F_{r}=Gmint {fratura {porque(varphi )}{s^{2}}},dM.} Para avaliar esta integral, deve-se primeiro expressar {estilo de exibição dM} como a função de {estilo de exibição dtheta } A superfície total de uma casca esférica é {estilo de exibição 4pi R^{2}} enquanto a área de superfície da fatia fina entre {estilo de exibição teta } e {estilo de exibição teta +dtheta } é {estilo de exibição 2pi Rsin(teta )R,dteta = 2pi R^{2}pecado(teta ),teta } Se a massa da casca for {estilo de exibição M} , tem-se, portanto, que {estilo de exibição dM={fratura {2pi R^{2}pecado(teta )}{4pi R^{2}}}M,dtheta ={fratura {1}{2}}Msin(teta ),teta } e {estilo de exibição F_{r}={fratura {GM}{2}}int {fratura {pecado(teta )porque(varphi )}{s^{2}}},teta } Pela lei dos cossenos, {estilo de exibição cos(varphi )={fratura {^{2}+s^{2}-R^{2}}{2rs}}} e {estilo de exibição cos(teta )={fratura {^{2}+R^{2}-s^{2}}{2rR}}.} Essas duas relações ligam os três parâmetros {estilo de exibição teta } , {estilo de exibição varphi } e {estilo de exibição s} que aparecem na integral juntos. Como {estilo de exibição teta } aumenta de {estilo de exibição 0} para {estilo de exibição pi } radianos, {estilo de exibição varphi } varia do valor inicial 0 para um valor máximo antes de finalmente retornar a zero em {estilo de exibição teta = pi } . Ao mesmo tempo, {estilo de exibição s} aumenta do valor inicial {estilo de exibição r-R} ao valor final {estilo de exibição r+R} Como {estilo de exibição teta } aumenta de 0 para {estilo de exibição pi } radianos. Isso é ilustrado na seguinte animação: (Observação: Como visto de {estilo de exibição m} , a faixa azul sombreada aparece como um anel fino cujos raios interno e externo convergem para {estilo de exibição Rsin(teta )} Como {estilo de exibição dtheta } desaparece.) Para encontrar uma função primitiva para o integrando, um tem que fazer {estilo de exibição s} a variável de integração independente em vez de {estilo de exibição teta } .

Realizando uma diferenciação implícita do segundo dos "lei do cosseno" expressões acima rendimentos {estilo de exibição -sin(teta ),dtheta ={fratura {-2s}{2rR}},ds} e assim {pecado de estilo de exibição(teta ),dtheta ={fratura {s}{rR}},ds.} Segue que {estilo de exibição F_{r}={fratura {GM}{2}}{fratura {1}{rR}}int {fratura {Fora(varphi )}{s^{2}}},ds={fratura {GM}{2rR}}int {fratura {porque(varphi )}{s}},ds} onde a nova variável de integração {estilo de exibição s} aumenta de {estilo de exibição r-R} para {estilo de exibição r+R} .

Inserindo a expressão para {estilo de exibição cos(varphi )} usando o primeiro dos "lei do cosseno" expressões acima, um finalmente consegue isso {estilo de exibição F_{r}={fratura {GM}{4^{2}R}}int esquerda(1+{fratura {^{2}-R^{2}}{s^{2}}}certo) ds .} Uma função primitiva para o integrando é {estilo de exibição s-{fratura {^{2}-R^{2}}{s}} ,} e inserindo os limites {estilo de exibição r-R} e {estilo de exibição r+R} para a variável de integração {estilo de exibição s} nesta função primitiva, um consegue isso {estilo de exibição F_{r}={fratura {GM}{^{2}}},} dizendo que a força gravitacional é a mesma que a de um ponto de massa no centro da casca com a mesma massa.

Finalmente, integrar todas as cascas esféricas infinitesimalmente finas com massa de {estilo de exibição dM} , e podemos obter a contribuição total da gravidade de uma bola sólida para o objeto fora da bola {estilo de exibição F_{total}=int dF_{r}={fratura {Gm}{^{2}}}int dM.} Entre o raio de {estilo de exibição x} para {estilo de exibição x+dx} , {estilo de exibição dM} pode ser expresso em função de {estilo de exibição x} , ou seja, {estilo de exibição dM={fratura {4pi x^{2}dx}{{fratura {4}{3}}pi R^{3}}}M={fratura {3Mx^{2}dx}{R^{3}}}} Portanto, a gravidade total é {estilo de exibição F_{texto{total}}={fratura {3GM}{^{2}R^{3}}}int_{0}^{R}x^{2},dx={fratura {GM}{^{2}}}} o que sugere que a gravidade de uma bola esférica sólida para um objeto exterior pode ser simplificada como a de uma massa pontual no centro da bola com a mesma massa.

Inside a shell For a point inside the shell, a diferença é que quando θ é igual a zero, ϕ assume o valor π radianos e sa o valor R − r. Quando θ aumenta de 0 para π radianos, ϕ diminui do valor inicial π radianos para zero e s aumenta do valor inicial R − r para o valor R + r.

This can all be seen in the following figure Inserting these bounds into the primitive function {estilo de exibição s-{fratura {^{2}-R^{2}}{s}}} um consegue isso, nesse caso {estilo de exibição F_{r}=0,} dizendo que as forças gravitacionais líquidas que atuam sobre a massa pontual dos elementos de massa da casca, fora do ponto de medição, cancelar.

Generalização: Se {estilo de exibição f={fratura {k}{^{p}}}} , a força resultante dentro da casca é: {estilo de exibição F(r)={fratura {GM}{4^{2}R}}int_{R-r}^{R+r}deixei({fratura {1}{s^{p-2}}}+{fratura {^{2}-R^{2}}{s^{p}}}certo),ds} Os resultados acima em {estilo de exibição F(r)} sendo identicamente zero se e somente se {estilo de exibição p=2} Fora da casca (ou seja. {displaystyle r>R} ou {estilo de exibição r<-R} ): {displaystyle F(r)={frac {GMm}{4r^{2}R}}int _{r-R}^{r+R}left({frac {1}{s^{p-2}}}+{frac {r^{2}-R^{2}}{s^{p}}}right),ds} Derivation using Gauss's law The shell theorem is an immediate consequence of Gauss's law for gravity saying that {displaystyle int _{S}{mathbf {g} }cdot ,d{mathbf {S} }=-4pi GM} where M is the mass of the part of the spherically symmetric mass distribution that is inside the sphere with radius r and {displaystyle int _{S}{mathbf {g} }cdot ,d{mathbf {S} }=int _{S}{mathbf {g} }cdot {hat {mathbf {n} }},dS} is the surface integral of the gravitational field g over any closed surface inside which the total mass is M, the unit vector {displaystyle {hat {mathbf {n} }}} being the outward normal to the surface. The gravitational field of a spherically symmetric mass distribution like a mass point, a spherical shell or a homogeneous sphere must also be spherically symmetric. If {displaystyle {hat {mathbf {n} }}} is a unit vector in the direction from the point of symmetry to another point the gravitational field at this other point must therefore be {displaystyle mathbf {g} =g(r){hat {mathbf {n} }}} where g(r) only depends on the distance r to the point of symmetry Selecting the closed surface as a sphere with radius r with center at the point of symmetry the outward normal to a point on the surface, {displaystyle {hat {mathbf {n} }}} , is precisely the direction pointing away from the point of symmetry of the mass distribution. One, therefore, has that {displaystyle mathbf {g} =g(r){hat {mathbf {n} }}} and {displaystyle int _{S}mathbf {g} cdot ,d{mathbf {S} }=g(r)int _{S},dS=g(r)4pi r^{2}} as the area of the sphere is 4πr2. From Gauss's law it then follows that {displaystyle g(r)4pi r^{2}=-4pi GM,} or, {displaystyle g(r)=-{frac {GM}{r^{2}}}.} Converses and generalizations It is natural to ask whether the converse of the shell theorem is true, namely whether the result of the theorem implies the law of universal gravitation, or if there is some more general force law for which the theorem holds. More specifically, one may ask the question: Suppose there is a force {displaystyle F} between masses M and m, separated by a distance r of the form {displaystyle F=Mmf(r)} such that any spherically symmetric body affects external bodies as if its mass were concentrated at its center. Then what form can the function {displaystyle f} take? In fact, this allows exactly one more class of force than the (Newtonian) inverse square.[2][3] The most general force as derived by Vahe Gurzadyan in [2] (Gurzadyan theorem) is:" {displaystyle F=-{frac {GMm}{r^{2}}}-{frac {Lambda Mmr}{3}}} where {displaystyle G} and {displaystyle Lambda } can be constants taking any value. The first term is the familiar law of universal gravitation; the second is an additional force, analogous to the cosmological constant term in general relativity. If we further constrain the force by requiring that the second part of the theorem also holds, namely that there is no force inside a hollow ball, we exclude the possibility of the additional term, and the inverse square law is indeed the unique force law satisfying the theorem. On the other hand, if we relax the conditions, and require only that the field everywhere outside a spherically symmetric body is the same as the field from some point mass at the center (of any mass), we allow a new class of solutions given by the Yukawa potential, of which the inverse square law is a special case. Another generalization can be made for a disc by observing that {displaystyle dM={frac {R^{2}}{2}}{frac {dtheta ,sin ^{2}(theta )}{pi R^{2}}}M={frac {sin ^{2}(theta )}{2pi }}M,dtheta } so: {displaystyle F_{r}={frac {GMm}{2pi }}int {frac {sin ^{2}(theta )cos(varphi )}{s^{2}}},dtheta ,} where {displaystyle M=pi R^{2}rho } , and {displaystyle rho } is the density of the body. Doing all the intermediate calculations we get: {displaystyle F(r)={frac {Gmrho }{8r^{3}}}int _{R-r}^{R+r}{frac {left(r^{2}+s^{2}-R^{2}right){sqrt {2left(r^{2}R^{2}+r^{2}s^{2}+R^{2}s^{2}right)-s^{4}-r^{4}-R^{4}}}}{s^{2}}},ds} Newton's proofs Introduction Propositions 70 and 71 consider the force acting on a particle from a hollow sphere with an infinitesimally thin surface, whose mass density is constant over the surface. The force on the particle from a small area of the surface of the sphere is proportional to the mass of the area and inversely as the square of its distance from the particle. The first proposition considers the case when the particle is inside the sphere, the second when it is outside. The use of infinitesimals and limiting processes in geometrical constructions are simple and elegant and avoid the need for any integrations. They well illustrate Newton's method of proving many of the propositions in the Principia. His proof of Propositions 70 is trivial. In the following, it is considered in slightly greater detail than Newton provides. The proof of Proposition 71 is more historically significant. It forms the first part of his proof that the gravitational force of a solid sphere acting on a particle outside it is inversely proportional to the square of its distance from the center of the sphere, provided the density at any point inside the sphere is a function only of its distance from the center of the sphere. Although the following are completely faithful to Newton's proofs, very minor changes have been made to attempt to make them clearer. Force on a point inside a hollow sphere Fig. 2 is a cross-section of the hollow sphere through the center, S and an arbitrary point, P, inside the sphere. Through P draw two lines IL and HK such that the angle KPL is very small. JM is the line through P that bisects that angle. From the geometry of circles, the triangles IPH and KPL are similar. The lines KH and IL are rotated about the axis JM to form 2 cones that intersect the sphere in 2 closed curves. In Fig. 1 the sphere is seen from a distance along the line PE and is assumed transparent so both curves can be seen. The surface of the sphere that the cones intersect can be considered to be flat, and {displaystyle angle PJI=angle PMK} . Since the intersection of a cone with a plane is an ellipse, in this case the intersections form two ellipses with major axes IH and KL, where {displaystyle {frac {IH}{KL}}={frac {PJ}{PM}}} . By a similar argument, the minor axes are in the same ratio. This is clear if the sphere is viewed from above. Therefore the two ellipses are similar, so their areas are as the squares of their major axes. As the mass of any section of the surface is proportional to the area of that section, for the 2 elliptical areas the ratios of their masses {displaystyle propto {frac {PJ^{2}}{PM^{2}}}} . Since the force of attraction on P in the direction JM from either of the elliptic areas, is direct as the mass of the area and inversely as the square of its distance from P, it is independent of the distance of P from the sphere. Hence, the forces on P from the 2 infinitesimal elliptical areas are equal and opposite and there is no net force in the direction JM. As the position of P and the direction of JM are both arbitrary, it follows that any particle inside a hollow sphere experiences no net force from the mass of the sphere. Note: Newton simply describes the arcs IH and KL as 'minimally small' and the areas traced out by the lines IL and HK can be any shape, not necessarily elliptic, but they will always be similar. Force on a point outside a hollow sphere Fig. 1 is a cross-section of the hollow sphere through the center, S with an arbitrary point, P, outside the sphere. PT is the tangent to the circle at T which passes through P. HI is a small arc on the surface such that PH is less than PT. Extend PI to intersect the sphere at L and draw SF to the point F that bisects IL. Extend PH to intersect the sphere at K and draw SE to the point E that bisects HK, and extend SF to intersect HK at D. Drop a perpendicular IQ on to the line PS joining P to the center S. Let the radius of the sphere be a and the distance PS be D. Let arc IH be extended perpendicularly out of the plane of the diagram, by a small distance ζ. The area of the figure generated is {displaystyle IHcdot zeta } , and its mass is proportional to this product. The force due to this mass on the particle at P {displaystyle propto {frac {IHcdot zeta }{PI^{2}}}} and is along the line PI. The component of this force towards the center {displaystyle propto {frac {IHcdot PQcdot zeta }{PI^{3}}}} . If now the arc HI is rotated completely about the line PS to form a ring of width HI and radius IQ, the length of the ring is 2π·IQ and its area is 2π·IQ·IH. The component of the force due to this ring on the particle at P in the direction PS becomes {displaystyle propto {frac {IHcdot IQcdot PQ}{PI^{3}}}} . The perpendicular components of the force directed towards PS cancel out since the mass in the ring is distributed symmetrically about PS. Therefore, the component in the direction PS is the total force on P due to the ring formed by rotating arc HI about PS. From similar triangles: {displaystyle {frac {IQ}{PI}}={frac {FS}{D}}} ; {displaystyle {frac {PQ}{PI}}={frac {PF}{D}}} , and {displaystyle {frac {RI}{PI}}={frac {DF}{PF}}} . If HI is sufficiently small that it can be taken as a straight line, {displaystyle angle SIH} is a right angle, and {displaystyle angle RIH=angle FIS} , so that {displaystyle {frac {HI}{RI}}={frac {a}{IF}}} . Hence the force on P due to the ring {displaystyle propto {frac {IHcdot IQcdot PQ}{PI^{3}}}={frac {acdot DFcdot FScdot PF}{IFcdot PFcdot Dcdot D}}={frac {acdot DFcdot FS}{IFcdot D^{2}}}} . Assume now in Fig. 2 that another particle is outside the sphere at a point p, a different distance d from the center of the sphere, with corresponding points lettered in lower case. For easy comparison, the construction of P in Fig. 1 is also shown in Fig. 2. As before, ph is less than pt. Generate a ring with width ih and radius iq by making angle {displaystyle fiS=FIS} and the slightly larger angle {displaystyle dhS=DHS} , so that the distance PS is subtended by the same angle at I as is pS at i. The same holds for H and h, respectively. The total force on p due to this ring is {displaystyle propto {frac {ihcdot iqcdot pq}{pi^{3}}}={frac {acdot dfcdot fS}{ifcdot d^{2}}}} Clearly {displaystyle fS=FS} , {displaystyle if=IF} , and {displaystyle eS=ES} . Newton claims that DF and df can be taken as equal in the limit as the angles DPF and dpf 'vanish together'. Note that angles DPF and dpf are not equal. Although DS and dS become equal in the limit, this does not imply that the ratio of DF to df becomes equal to unity, when DF and df both approach zero. In the finite case DF depends on D, and df on d, so they are not equal. Since the ratio of DF to df in the limit is crucial, more detailed analysis is required. From the similar right triangles, {textstyle {frac {DF}{PF}}={frac {ED}{ES}}} and {displaystyle ED^{2}=(DF+FS)^{2}-ES^{2}} , giving {displaystyle {frac {left(PF^{2}-ES^{2}right)DF^{2}}{PF^{2}}}+2cdot FScdot DF+FS^{2}-ES^{2}=0} . Solving the quadratic for DF, in the limit as ES approaches FS, the smaller root, {displaystyle DF=ES-FS} . More simply, as DF approaches zero, in the limit the {displaystyle DF^{2}} term can be ignored: {displaystyle 2cdot FScdot DF+FS^{2}-ES^{2}=0} leading to the same result. Clearly df has the same limit, justifying Newton’s claim. Comparing the force from the ring HI rotated about PS to the ring hi about pS, the ratio of these 2 forces equals {textstyle {frac {d^{2}}{D^{2}}}} . By dividing up the arcs AT and Bt into corresponding infinitesimal rings, it follows that the ratio of the force due to the arc AT rotated about PS to that of Bt rotated about pS is in the same ratio, and similarly, the ratio of the forces due to arc TB to that of tA both rotated are in the same ratio. Therefore, the force on a particle any distance D from the center of the hollow sphere is inversely proportional to {displaystyle D^{2}} , which proves the proposition. Shell theorem in general relativity An analogue for shell theorem exists in general relativity (GR). Spherical symmetry implies that the metric has time-independent Schwarzschild geometry, even if a central mass is undergoing gravitational collapse (Misner et al. 1973; see Birkhoff's theorem). The metric thus has form {displaystyle ds^{2}=-(1-2M/r),dt^{2}+(1-2M/r)^{-1},dr^{2}+r^{2},dOmega ^{2}} (using geometrized units, where {displaystyle G=c=1} ). For {displaystyle r>R>0} (Onde {estilo de exibição R} é o raio de alguma casca de massa), massa atua como uma função delta na origem. Por {estilo de exibição r

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