Teorema delle conchiglie

Teorema di Shell In meccanica classica, il teorema della shell fornisce semplificazioni gravitazionali che possono essere applicate a oggetti all'interno o all'esterno di un corpo sfericamente simmetrico. Questo teorema ha una particolare applicazione in astronomia.

Isaac Newton ha dimostrato il teorema della shell[1] e lo ha affermato: Un corpo sfericamente simmetrico colpisce gravitazionalmente gli oggetti esterni come se tutta la sua massa fosse concentrata in un punto al suo centro. Se il corpo è un guscio sfericamente simmetrico (cioè., una palla vuota), nessuna forza gravitazionale netta è esercitata dal guscio su qualsiasi oggetto all'interno, indipendentemente dalla posizione dell'oggetto all'interno della shell.

Un corollario è quello all'interno di una sfera solida di densità costante, la forza gravitazionale all'interno dell'oggetto varia linearmente con la distanza dal centro, diventando zero per simmetria al centro di massa. questo può essere visto come segue: prendere un punto all'interno di una tale sfera, ad una distanza {stile di visualizzazione r} dal centro della sfera. Quindi puoi ignorare tutti i proiettili di raggio maggiore, secondo il teorema della shell (1). Ma il punto può essere considerato esterno alla restante sfera di raggio r, e secondo (2) tutta la massa di questa sfera può essere considerata concentrata al suo centro. La massa rimanente {stile di visualizzazione m} è proporzionale a {stile di visualizzazione r^{3}} (perché si basa sul volume). La forza gravitazionale esercitata su un corpo di raggio r sarà proporzionale a {stile di testo {frac {m}{r^{2}}}} (la legge del quadrato inverso), quindi l'effetto gravitazionale complessivo è proporzionale a {stile di testo {frac {r^{3}}{r^{2}}}=r} , così è lineare {stile di visualizzazione r} .

Questi risultati erano importanti per l'analisi di Newton del moto planetario; non sono immediatamente evidenti, ma possono essere dimostrati con il calcolo. (La legge di Gauss per la gravità offre un modo alternativo per enunciare il teorema.) Oltre alla gravità, il teorema di shell può essere utilizzato anche per descrivere il campo elettrico generato da una densità di carica statica sfericamente simmetrica, o similmente per ogni altro fenomeno che segue una legge del quadrato inverso. Le derivazioni seguenti si concentrano sulla gravità, ma i risultati possono essere facilmente generalizzati alla forza elettrostatica.

Contenuti 1 Derivazione del campo gravitazionale al di fuori di una sfera solida 2 Fuori un guscio 3 Dentro una conchiglia 4 Derivazione mediante la legge di Gauss 5 Contrari e generalizzazioni 6 Dimostrazioni di Newton 6.1 introduzione 6.2 Forza su un punto all'interno di una sfera vuota 6.3 Forza su un punto al di fuori di una sfera vuota 7 Teorema di Shell nella relatività generale 8 Guarda anche 9 References Derivation of gravitational field outside of a solid sphere There are three steps to proving Newton's shell theorem. Primo, sarà derivata l'equazione per un campo gravitazionale dovuto ad un anello di massa. Disporre un numero infinito di anelli infinitamente sottili per formare un disco, questa equazione che coinvolge un anello verrà utilizzata per trovare il campo gravitazionale dovuto a un disco. Infine, disporre un numero infinito di dischi infinitamente sottili per formare una sfera, questa equazione che coinvolge un disco verrà utilizzata per trovare il campo gravitazionale dovuto a una sfera.

Il campo gravitazionale {stile di visualizzazione E} in una posizione chiamata {stile di visualizzazione P} a {stile di visualizzazione (X,y)=(-p,0)} sull'asse x a causa di un punto di massa {stile di visualizzazione M} all'origine è {stile di visualizzazione E_{testo{punto}}={frac {GM}{p^{2}}}} Supponiamo che questa massa venga spostata verso l'alto lungo l'asse y per puntare {stile di visualizzazione (0,R)} . La distanza tra {stile di visualizzazione P} e la massa del punto è ora più lunga di prima; Diventa l'ipotenusa del triangolo rettangolo con le gambe {stile di visualizzazione p} e {stile di visualizzazione R} che è {stile di testo {mq {p^{2}+R^{2}}}} . Quindi, il campo gravitazionale del punto elevato è: {stile di visualizzazione E_{testo{punto elevato}}={frac {GM}{p^{2}+R^{2}}}} La grandezza del campo gravitazionale che attirerebbe una particella in un punto {stile di visualizzazione P} nella direzione x è il campo gravitazionale moltiplicato per {stile di visualizzazione cos(teta )} dove {stile di visualizzazione theta } è l'angolo adiacente all'asse x. In questo caso, {stile di visualizzazione cos(teta )={frac {p}{mq {p^{2}+R^{2}}}}} . Quindi, l'ampiezza del campo gravitazionale nella direzione x, {stile di visualizzazione E_{X}} è: {stile di visualizzazione E_{X}={frac {GMcos {teta }}{p^{2}+R^{2}}}} Sostituendo {stile di visualizzazione cos(teta )} dà {stile di visualizzazione E_{X}={frac {GMp}{sinistra(p^{2}+R^{2}Giusto)^{3/2}}}} Supponiamo che questa massa sia distribuita uniformemente in un anello centrato nell'origine e nel punto di fronte {stile di visualizzazione P} con lo stesso raggio {stile di visualizzazione R} . Perché tutta la massa si trova allo stesso angolo rispetto all'asse x, e la distanza tra i punti sull'anello è la stessa distanza di prima, il campo gravitazionale nella direzione x nel punto {stile di visualizzazione P} a causa dell'anello è uguale a una massa puntiforme situata in un punto {stile di visualizzazione R} unità sopra l'asse y: {stile di visualizzazione E_{testo{squillo}}={frac {GMp}{sinistra(p^{2}+R^{2}Giusto)^{3/2}}}} Per trovare il campo gravitazionale in un punto {stile di visualizzazione P} a causa di un disco, un numero infinito di anelli infinitamente sottili affacciati {stile di visualizzazione P} , ciascuno con un raggio {stile di visualizzazione y} , larghezza di {stile di visualizzazione dy} , e massa di {stile di visualizzazione dM} possono essere posti uno dentro l'altro per formare un disco. La massa di uno qualsiasi degli anelli {stile di visualizzazione dM} è la massa del disco moltiplicata per il rapporto dell'area dell'anello {stile di visualizzazione 2pi y,dio} all'area totale del disco {stile di visualizzazione pi R^{2}} . Così, {stile testo dM={frac {Mcdot 2 anni,dio}{R^{2}}}} . Quindi, un piccolo cambiamento nel campo gravitazionale, {stile di visualizzazione E} è: {stile di visualizzazione dE={frac {Gp,dM}{(p^{2}+si^{2})^{3/2}}}} Sostituendo {stile di visualizzazione dM} e integrando entrambi i lati si ottiene il campo gravitazionale del disco: {stile di visualizzazione E=int {frac {GMpcdot {frac {2y,dio}{R^{2}}}}{(p^{2}+si^{2})^{3/2}}}} Sommando il contributo al campo gravitazionale di ciascuno di questi anelli si otterrà l'espressione del campo gravitazionale dovuto a un disco. Ciò equivale a integrare questa espressione di cui sopra da {stile di visualizzazione y=0} a {stile di visualizzazione y=R} , con il risultato di: {stile di visualizzazione E_{testo{disco}}={frac {2GM}{R^{2}}}sinistra(1-{frac {p}{mq {p^{2}+R^{2}}}}Giusto)} Per trovare il campo gravitazionale in un punto {stile di visualizzazione P} a causa di una sfera centrata all'origine, una quantità infinita di dischi infinitamente sottili di fronte {stile di visualizzazione P} , ciascuno con un raggio {stile di visualizzazione R} , larghezza di {stile di visualizzazione dx} , e massa di {stile di visualizzazione dM} possono essere messi insieme.

I raggi di questi dischi {stile di visualizzazione R} seguire l'altezza della sezione trasversale di una sfera (con raggio costante {stile di visualizzazione a} ) che è un'equazione di un semicerchio: {stile testo R={mq {un^{2}-x^{2}}}} . {stile di visualizzazione x} varia da {stile di visualizzazione -a} a {stile di visualizzazione a} .

La massa di uno qualsiasi dei dischi {stile di visualizzazione dM} è la massa della sfera {stile di visualizzazione M} moltiplicato per il rapporto del volume di un disco infinitamente sottile diviso per il volume di una sfera (con raggio costante {stile di visualizzazione a} ). Il volume di un disco infinitamente sottile è {stile di visualizzazione pi R^{2},dx} , o {stile testo pi a sinistra(un^{2}-x^{2}Giusto)dx} . Così, {stile testo dM={frac {ft M(un^{2}-x^{2}),dx}{{frac {4}{3}}ft a^{3}}}} . Simplifying gives {stile testo dM={frac {3M(un^{2}-x^{2}),dx}{4un^{3}}}} .

Posizione di ogni disco lontano da {stile di visualizzazione P} varierà con la sua posizione all'interno della "sfera" costituita dai dischi, Così {stile di visualizzazione p} deve essere sostituito con {stile di visualizzazione p+x} .

Sostituzione {stile di visualizzazione M} insieme a {stile di visualizzazione dM} , {stile di visualizzazione R} insieme a {stile di visualizzazione {mq {un^{2}-x^{2}}}} , e {stile di visualizzazione p} insieme a {stile di visualizzazione p+x} nell'equazione 'disco' produce: {stile di visualizzazione dE={frac {sinistra({frac {2Gleft[3Mleft(un^{2}-x^{2}Giusto)Giusto]}{4un^{3}}}Giusto)}{{mq {un^{2}-x^{2}}}^{2}}}cdot a sinistra(1-{frac {p+x}{mq {(p+x)^{2}+{mq {un^{2}-x^{2}}}^{2}}}}Giusto),dx} Semplificare, {displaystyle int dE=int _{-un}^{un}{frac {3GM}{2un^{3}}}sinistra(1-{frac {p+x}{mq {p^{2}+un^{2}+2px}}}Giusto)dx} Integrando il campo gravitazionale di ogni disco sottile da {stile di visualizzazione x=-a} a {stile di visualizzazione x=+a} riguardo a {stile di visualizzazione x} , e facendo un po' di attenta algebra, produce il teorema della shell di Newton: {stile di visualizzazione E={frac {GM}{p^{2}}}} dove {stile di visualizzazione p} è la distanza tra il centro della massa sferica e un punto arbitrario {stile di visualizzazione P} . The gravitational field of a spherical mass may be calculated by treating all the mass as a point particle at the center of the sphere.

Outside a shell A solid, il corpo sfericamente simmetrico può essere modellato come un numero infinito di concentrici, gusci sferici infinitamente sottili. Se uno di questi proiettili può essere trattato come una massa puntiforme, quindi un sistema di conchiglie (cioè. la sfera) può anche essere trattata come una massa puntiforme. Considera uno di questi gusci (il diagramma mostra una sezione trasversale): (Nota: il {displaystyle dtheta } nel diagramma si riferisce al piccolo angolo, non la lunghezza dell'arco. La lunghezza dell'arco è {stile di testo R,teta } .) Applicazione della legge di gravitazione universale di Newton, la somma delle forze dovute agli elementi di massa nella banda ombreggiata è {stile di visualizzazione dF={frac {Gm}{s^{2}}}dM.} Tuttavia, poiché c'è una cancellazione parziale a causa della natura vettoriale della forza in combinazione con la simmetria della banda circolare, la componente rimanente (nella direzione verso cui punta {stile di visualizzazione m} ) è dato da {stile di visualizzazione dF_{r}={frac {Gm}{s^{2}}}cos(varfi ),dM} La forza totale su {stile di visualizzazione m} , poi, è semplicemente la somma della forza esercitata da tutte le bande. Riducendo la larghezza di ciascuna fascia, e aumentando il numero di bande, la somma diventa un'espressione integrale: {stile di visualizzazione F_{r}=int dF_{r}} Da {stile di visualizzazione G} e {stile di visualizzazione m} sono costanti, possono essere tolti dall'integrale: {stile di visualizzazione F_{r}= menta {frac {cos(varfi )}{s^{2}}},dM.} Per valutare questo integrale, bisogna prima esprimere {stile di visualizzazione dM} come una funzione di {displaystyle dtheta } La superficie totale di un guscio sferico è {stile di visualizzazione 4pi R^{2}} mentre la superficie della fetta sottile in mezzo {stile di visualizzazione theta } e {displaystyle theta +dtheta } è {displaystyle 2pi Rsin(teta )R,dteta =2pi R^{2}peccato(teta ),teta } Se la massa del guscio è {stile di visualizzazione M} , uno quindi ha quello {stile di visualizzazione dM={frac {2pi R^{2}peccato(teta )}{4pi R^{2}}}M,dteta ={frac {1}{2}}Signorina(teta ),teta } e {stile di visualizzazione F_{r}={frac {Gmm}{2}}int {frac {peccato(teta )cos(varfi )}{s^{2}}},teta } Per la legge dei coseni, {stile di visualizzazione cos(varfi )={frac {r^{2}+s^{2}-R^{2}}{2rs}}} e {stile di visualizzazione cos(teta )={frac {r^{2}+R^{2}-s^{2}}{2rR}}.} Queste due relazioni collegano i tre parametri {stile di visualizzazione theta } , {stile di visualizzazione varphi } e {stile di visualizzazione s} che appaiono insieme nell'integrale. Come {stile di visualizzazione theta } aumenta da {stile di visualizzazione 0} a {stile di visualizzazione pi } radianti, {stile di visualizzazione varphi } varia dal valore iniziale 0 a un valore massimo prima di tornare infine a zero a {displaystyle theta =pi } . Allo stesso tempo, {stile di visualizzazione s} aumenta rispetto al valore iniziale {stile di visualizzazione r-R} al valore finale {stile di visualizzazione r+R} come {stile di visualizzazione theta } aumenta da 0 a {stile di visualizzazione pi } radianti. Ciò è illustrato nella seguente animazione: (Nota: Come visto da {stile di visualizzazione m} , la fascia blu sfumata appare come un sottile anello i cui raggi interni ed esterni convergono {stile di visualizzazione Rsin(teta )} come {displaystyle dtheta } svanisce.) Trovare una funzione primitiva per l'integrando, uno deve fare {stile di visualizzazione s} la variabile di integrazione indipendente invece di {stile di visualizzazione theta } .

Esecuzione di una differenziazione implicita del secondo dei "legge del coseno" espressioni sopra i rendimenti {displaystyle -peccato(teta ),dteta ={frac {-2S}{2rR}},ds} e quindi {displaystyle peccato(teta ),dteta ={frac {S}{rR}},ds.} Ne consegue che {stile di visualizzazione F_{r}={frac {Gmm}{2}}{frac {1}{rR}}int {frac {fuori(varfi )}{s^{2}}},ds={frac {Gmm}{2rR}}int {frac {cos(varfi )}{S}},ds} dove la nuova variabile di integrazione {stile di visualizzazione s} aumenta da {stile di visualizzazione r-R} a {stile di visualizzazione r+R} .

Inserimento dell'espressione per {stile di visualizzazione cos(varfi )} utilizzando il primo dei "legge del coseno" espressioni sopra, finalmente uno lo ottiene {stile di visualizzazione F_{r}={frac {Gmm}{4r^{2}R}}int a sinistra(1+{frac {r^{2}-R^{2}}{s^{2}}}Giusto) ds .} Una funzione primitiva per l'integrando è {stile di visualizzazione s-{frac {r^{2}-R^{2}}{S}} ,} e inserendo i limiti {stile di visualizzazione r-R} e {stile di visualizzazione r+R} per la variabile di integrazione {stile di visualizzazione s} in questa funzione primitiva, uno lo ottiene {stile di visualizzazione F_{r}={frac {Gmm}{r^{2}}},} dicendo che la forza gravitazionale è la stessa di quella di un punto di massa al centro del guscio con la stessa massa.

Infine, integrare tutto il guscio sferico infinitamente sottile con massa di {stile di visualizzazione dM} , e possiamo ottenere il contributo di gravità totale di una palla solida all'oggetto esterno alla palla {stile di visualizzazione F_{totale}=int dF_{r}={frac {Gm}{r^{2}}}int dM.} Tra il raggio di {stile di visualizzazione x} a {stile di visualizzazione x+dx} , {stile di visualizzazione dM} può essere espresso in funzione di {stile di visualizzazione x} , cioè., {stile di visualizzazione dM={frac {4pi x^{2}dx}{{frac {4}{3}}pi R^{3}}}M={frac {3Mx^{2}dx}{R^{3}}}} Perciò, la gravità totale è {stile di visualizzazione F_{testo{totale}}={frac {3Gmm}{r^{2}R^{3}}}int _{0}^{R}x^{2},dx={frac {Gmm}{r^{2}}}} il che suggerisce che la gravità di una palla sferica solida rispetto a un oggetto esterno può essere semplificata come quella di una massa puntiforme al centro della palla con la stessa massa.

Inside a shell For a point inside the shell, la differenza è che quando θ è uguale a zero, ϕ assume il valore π radianti e s il valore R − r. Quando θ aumenta da 0 a π radianti, ϕ diminuisce dal valore iniziale π radianti a zero e s aumenta dal valore iniziale R − r al valore R + r.

This can all be seen in the following figure Inserting these bounds into the primitive function {stile di visualizzazione s-{frac {r^{2}-R^{2}}{S}}} uno lo ottiene, in questo caso {stile di visualizzazione F_{r}=0,} dicendo che le forze gravitazionali nette agenti sul punto massa dagli elementi di massa del guscio, al di fuori del punto di misura, cancellare.

Generalizzazione: Se {stile di visualizzazione f={frac {K}{r^{p}}}} , la forza risultante all'interno del guscio è: {stile di visualizzazione F(r)={frac {Gmm}{4r^{2}R}}int _{R-r}^{R+r}sinistra({frac {1}{s^{p-2}}}+{frac {r^{2}-R^{2}}{s^{p}}}Giusto),ds} Quanto sopra risulta in {stile di visualizzazione F(r)} essendo identicamente zero se e solo se {stile di visualizzazione p=2} Fuori dal guscio (cioè. {displaystyle r>R} o {stile di visualizzazione r<-R} ): {displaystyle F(r)={frac {GMm}{4r^{2}R}}int _{r-R}^{r+R}left({frac {1}{s^{p-2}}}+{frac {r^{2}-R^{2}}{s^{p}}}right),ds} Derivation using Gauss's law The shell theorem is an immediate consequence of Gauss's law for gravity saying that {displaystyle int _{S}{mathbf {g} }cdot ,d{mathbf {S} }=-4pi GM} where M is the mass of the part of the spherically symmetric mass distribution that is inside the sphere with radius r and {displaystyle int _{S}{mathbf {g} }cdot ,d{mathbf {S} }=int _{S}{mathbf {g} }cdot {hat {mathbf {n} }},dS} is the surface integral of the gravitational field g over any closed surface inside which the total mass is M, the unit vector {displaystyle {hat {mathbf {n} }}} being the outward normal to the surface. The gravitational field of a spherically symmetric mass distribution like a mass point, a spherical shell or a homogeneous sphere must also be spherically symmetric. If {displaystyle {hat {mathbf {n} }}} is a unit vector in the direction from the point of symmetry to another point the gravitational field at this other point must therefore be {displaystyle mathbf {g} =g(r){hat {mathbf {n} }}} where g(r) only depends on the distance r to the point of symmetry Selecting the closed surface as a sphere with radius r with center at the point of symmetry the outward normal to a point on the surface, {displaystyle {hat {mathbf {n} }}} , is precisely the direction pointing away from the point of symmetry of the mass distribution. One, therefore, has that {displaystyle mathbf {g} =g(r){hat {mathbf {n} }}} and {displaystyle int _{S}mathbf {g} cdot ,d{mathbf {S} }=g(r)int _{S},dS=g(r)4pi r^{2}} as the area of the sphere is 4πr2. From Gauss's law it then follows that {displaystyle g(r)4pi r^{2}=-4pi GM,} or, {displaystyle g(r)=-{frac {GM}{r^{2}}}.} Converses and generalizations It is natural to ask whether the converse of the shell theorem is true, namely whether the result of the theorem implies the law of universal gravitation, or if there is some more general force law for which the theorem holds. More specifically, one may ask the question: Suppose there is a force {displaystyle F} between masses M and m, separated by a distance r of the form {displaystyle F=Mmf(r)} such that any spherically symmetric body affects external bodies as if its mass were concentrated at its center. Then what form can the function {displaystyle f} take? In fact, this allows exactly one more class of force than the (Newtonian) inverse square.[2][3] The most general force as derived by Vahe Gurzadyan in [2] (Gurzadyan theorem) is:" {displaystyle F=-{frac {GMm}{r^{2}}}-{frac {Lambda Mmr}{3}}} where {displaystyle G} and {displaystyle Lambda } can be constants taking any value. The first term is the familiar law of universal gravitation; the second is an additional force, analogous to the cosmological constant term in general relativity. If we further constrain the force by requiring that the second part of the theorem also holds, namely that there is no force inside a hollow ball, we exclude the possibility of the additional term, and the inverse square law is indeed the unique force law satisfying the theorem. On the other hand, if we relax the conditions, and require only that the field everywhere outside a spherically symmetric body is the same as the field from some point mass at the center (of any mass), we allow a new class of solutions given by the Yukawa potential, of which the inverse square law is a special case. Another generalization can be made for a disc by observing that {displaystyle dM={frac {R^{2}}{2}}{frac {dtheta ,sin ^{2}(theta )}{pi R^{2}}}M={frac {sin ^{2}(theta )}{2pi }}M,dtheta } so: {displaystyle F_{r}={frac {GMm}{2pi }}int {frac {sin ^{2}(theta )cos(varphi )}{s^{2}}},dtheta ,} where {displaystyle M=pi R^{2}rho } , and {displaystyle rho } is the density of the body. Doing all the intermediate calculations we get: {displaystyle F(r)={frac {Gmrho }{8r^{3}}}int _{R-r}^{R+r}{frac {left(r^{2}+s^{2}-R^{2}right){sqrt {2left(r^{2}R^{2}+r^{2}s^{2}+R^{2}s^{2}right)-s^{4}-r^{4}-R^{4}}}}{s^{2}}},ds} Newton's proofs Introduction Propositions 70 and 71 consider the force acting on a particle from a hollow sphere with an infinitesimally thin surface, whose mass density is constant over the surface. The force on the particle from a small area of the surface of the sphere is proportional to the mass of the area and inversely as the square of its distance from the particle. The first proposition considers the case when the particle is inside the sphere, the second when it is outside. The use of infinitesimals and limiting processes in geometrical constructions are simple and elegant and avoid the need for any integrations. They well illustrate Newton's method of proving many of the propositions in the Principia. His proof of Propositions 70 is trivial. In the following, it is considered in slightly greater detail than Newton provides. The proof of Proposition 71 is more historically significant. It forms the first part of his proof that the gravitational force of a solid sphere acting on a particle outside it is inversely proportional to the square of its distance from the center of the sphere, provided the density at any point inside the sphere is a function only of its distance from the center of the sphere. Although the following are completely faithful to Newton's proofs, very minor changes have been made to attempt to make them clearer. Force on a point inside a hollow sphere Fig. 2 is a cross-section of the hollow sphere through the center, S and an arbitrary point, P, inside the sphere. Through P draw two lines IL and HK such that the angle KPL is very small. JM is the line through P that bisects that angle. From the geometry of circles, the triangles IPH and KPL are similar. The lines KH and IL are rotated about the axis JM to form 2 cones that intersect the sphere in 2 closed curves. In Fig. 1 the sphere is seen from a distance along the line PE and is assumed transparent so both curves can be seen. The surface of the sphere that the cones intersect can be considered to be flat, and {displaystyle angle PJI=angle PMK} . Since the intersection of a cone with a plane is an ellipse, in this case the intersections form two ellipses with major axes IH and KL, where {displaystyle {frac {IH}{KL}}={frac {PJ}{PM}}} . By a similar argument, the minor axes are in the same ratio. This is clear if the sphere is viewed from above. Therefore the two ellipses are similar, so their areas are as the squares of their major axes. As the mass of any section of the surface is proportional to the area of that section, for the 2 elliptical areas the ratios of their masses {displaystyle propto {frac {PJ^{2}}{PM^{2}}}} . Since the force of attraction on P in the direction JM from either of the elliptic areas, is direct as the mass of the area and inversely as the square of its distance from P, it is independent of the distance of P from the sphere. Hence, the forces on P from the 2 infinitesimal elliptical areas are equal and opposite and there is no net force in the direction JM. As the position of P and the direction of JM are both arbitrary, it follows that any particle inside a hollow sphere experiences no net force from the mass of the sphere. Note: Newton simply describes the arcs IH and KL as 'minimally small' and the areas traced out by the lines IL and HK can be any shape, not necessarily elliptic, but they will always be similar. Force on a point outside a hollow sphere Fig. 1 is a cross-section of the hollow sphere through the center, S with an arbitrary point, P, outside the sphere. PT is the tangent to the circle at T which passes through P. HI is a small arc on the surface such that PH is less than PT. Extend PI to intersect the sphere at L and draw SF to the point F that bisects IL. Extend PH to intersect the sphere at K and draw SE to the point E that bisects HK, and extend SF to intersect HK at D. Drop a perpendicular IQ on to the line PS joining P to the center S. Let the radius of the sphere be a and the distance PS be D. Let arc IH be extended perpendicularly out of the plane of the diagram, by a small distance ζ. The area of the figure generated is {displaystyle IHcdot zeta } , and its mass is proportional to this product. The force due to this mass on the particle at P {displaystyle propto {frac {IHcdot zeta }{PI^{2}}}} and is along the line PI. The component of this force towards the center {displaystyle propto {frac {IHcdot PQcdot zeta }{PI^{3}}}} . If now the arc HI is rotated completely about the line PS to form a ring of width HI and radius IQ, the length of the ring is 2π·IQ and its area is 2π·IQ·IH. The component of the force due to this ring on the particle at P in the direction PS becomes {displaystyle propto {frac {IHcdot IQcdot PQ}{PI^{3}}}} . The perpendicular components of the force directed towards PS cancel out since the mass in the ring is distributed symmetrically about PS. Therefore, the component in the direction PS is the total force on P due to the ring formed by rotating arc HI about PS. From similar triangles: {displaystyle {frac {IQ}{PI}}={frac {FS}{D}}} ; {displaystyle {frac {PQ}{PI}}={frac {PF}{D}}} , and {displaystyle {frac {RI}{PI}}={frac {DF}{PF}}} . If HI is sufficiently small that it can be taken as a straight line, {displaystyle angle SIH} is a right angle, and {displaystyle angle RIH=angle FIS} , so that {displaystyle {frac {HI}{RI}}={frac {a}{IF}}} . Hence the force on P due to the ring {displaystyle propto {frac {IHcdot IQcdot PQ}{PI^{3}}}={frac {acdot DFcdot FScdot PF}{IFcdot PFcdot Dcdot D}}={frac {acdot DFcdot FS}{IFcdot D^{2}}}} . Assume now in Fig. 2 that another particle is outside the sphere at a point p, a different distance d from the center of the sphere, with corresponding points lettered in lower case. For easy comparison, the construction of P in Fig. 1 is also shown in Fig. 2. As before, ph is less than pt. Generate a ring with width ih and radius iq by making angle {displaystyle fiS=FIS} and the slightly larger angle {displaystyle dhS=DHS} , so that the distance PS is subtended by the same angle at I as is pS at i. The same holds for H and h, respectively. The total force on p due to this ring is {displaystyle propto {frac {ihcdot iqcdot pq}{pi^{3}}}={frac {acdot dfcdot fS}{ifcdot d^{2}}}} Clearly {displaystyle fS=FS} , {displaystyle if=IF} , and {displaystyle eS=ES} . Newton claims that DF and df can be taken as equal in the limit as the angles DPF and dpf 'vanish together'. Note that angles DPF and dpf are not equal. Although DS and dS become equal in the limit, this does not imply that the ratio of DF to df becomes equal to unity, when DF and df both approach zero. In the finite case DF depends on D, and df on d, so they are not equal. Since the ratio of DF to df in the limit is crucial, more detailed analysis is required. From the similar right triangles, {textstyle {frac {DF}{PF}}={frac {ED}{ES}}} and {displaystyle ED^{2}=(DF+FS)^{2}-ES^{2}} , giving {displaystyle {frac {left(PF^{2}-ES^{2}right)DF^{2}}{PF^{2}}}+2cdot FScdot DF+FS^{2}-ES^{2}=0} . Solving the quadratic for DF, in the limit as ES approaches FS, the smaller root, {displaystyle DF=ES-FS} . More simply, as DF approaches zero, in the limit the {displaystyle DF^{2}} term can be ignored: {displaystyle 2cdot FScdot DF+FS^{2}-ES^{2}=0} leading to the same result. Clearly df has the same limit, justifying Newton’s claim. Comparing the force from the ring HI rotated about PS to the ring hi about pS, the ratio of these 2 forces equals {textstyle {frac {d^{2}}{D^{2}}}} . By dividing up the arcs AT and Bt into corresponding infinitesimal rings, it follows that the ratio of the force due to the arc AT rotated about PS to that of Bt rotated about pS is in the same ratio, and similarly, the ratio of the forces due to arc TB to that of tA both rotated are in the same ratio. Therefore, the force on a particle any distance D from the center of the hollow sphere is inversely proportional to {displaystyle D^{2}} , which proves the proposition. Shell theorem in general relativity An analogue for shell theorem exists in general relativity (GR). Spherical symmetry implies that the metric has time-independent Schwarzschild geometry, even if a central mass is undergoing gravitational collapse (Misner et al. 1973; see Birkhoff's theorem). The metric thus has form {displaystyle ds^{2}=-(1-2M/r),dt^{2}+(1-2M/r)^{-1},dr^{2}+r^{2},dOmega ^{2}} (using geometrized units, where {displaystyle G=c=1} ). For {displaystyle r>R>0} (dove {stile di visualizzazione R} è il raggio di un guscio di massa), massa agisce come una funzione delta all'origine. Per {stile di visualizzazione r

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