Théorème de coque

Théorème de coque en mécanique classique, le théorème de coque donne des simplifications gravitationnelles qui peuvent être appliquées à des objets à l'intérieur ou à l'extérieur d'un corps à symétrie sphérique. Ce théorème a une application particulière à l'astronomie.

Isaac Newton a prouvé le théorème de la coquille[1] et a déclaré que: Un corps à symétrie sphérique affecte gravitationnellement les objets externes comme si toute sa masse était concentrée en un point en son centre. Si le corps est une coque à symétrie sphérique (c'est à dire., une balle creuse), aucune force gravitationnelle nette n'est exercée par la coque sur un objet à l'intérieur, quel que soit l'emplacement de l'objet dans la coque.

Un corollaire est qu'à l'intérieur d'une sphère solide de densité constante, la force gravitationnelle à l'intérieur de l'objet varie linéairement avec la distance du centre, devenir nul par symétrie au centre de masse. Cela peut être vu comme suit: prendre un point dans une telle sphère, à une distance {style d'affichage r} du centre de la sphère. Ensuite, vous pouvez ignorer toutes les coques de plus grand rayon, d'après le théorème de la coque (1). Mais le point peut être considéré comme extérieur à la sphère restante de rayon r, et selon (2) toute la masse de cette sphère peut être considérée comme concentrée en son centre. La masse restante {style d'affichage m} est proportionnel à {style d'affichage r^{3}} (parce qu'il est basé sur le volume). La force gravitationnelle exercée sur un corps au rayon r sera proportionnelle à {style de texte {frac {m}{r ^{2}}}} (la loi du carré inverse), donc l'effet gravitationnel global est proportionnel à {style de texte {frac {r ^{3}}{r ^{2}}}=r} , est donc linéaire dans {style d'affichage r} .

Ces résultats étaient importants pour l'analyse de Newton du mouvement planétaire; ils ne sont pas immédiatement évidents, mais ils peuvent être prouvés avec le calcul. (La loi de Gauss pour la gravité offre une autre façon d'énoncer le théorème.) En plus de la gravité, le théorème de coque peut également être utilisé pour décrire le champ électrique généré par une densité de charge statique à symétrie sphérique, ou de même pour tout autre phénomène qui suit une loi du carré inverse. Les dérivations ci-dessous se concentrent sur la gravité, mais les résultats peuvent facilement être généralisés à la force électrostatique.

Contenu 1 Dérivation du champ gravitationnel en dehors d'une sphère solide 2 À l'extérieur d'une coquille 3 A l'intérieur d'une coquille 4 Dérivation utilisant la loi de Gauss 5 Inverses et généralisations 6 Preuves de Newton 6.1 Introduction 6.2 Force sur un point à l'intérieur d'une sphère creuse 6.3 Force sur un point extérieur à une sphère creuse 7 Théorème de Shell en relativité générale 8 Voir également 9 References Derivation of gravitational field outside of a solid sphere There are three steps to proving Newton's shell theorem. Première, l'équation d'un champ gravitationnel dû à un anneau de masse sera dérivée. Disposer un nombre infini d'anneaux infiniment fins pour former un disque, cette équation impliquant un anneau sera utilisée pour trouver le champ gravitationnel dû à un disque. Pour terminer, agencer un nombre infini de disques infiniment minces pour former une sphère, cette équation impliquant un disque sera utilisée pour trouver le champ gravitationnel dû à une sphère.

Le champ gravitationnel {style d'affichage E} à un poste appelé {style d'affichage P} à {style d'affichage (X,y)=(-p,0)} sur l'axe des abscisses due à un point de masse {style d'affichage M} à l'origine est {style d'affichage E_{texte{indiquer}}={frac {GM}{p^{2}}}} Supposons que cette masse est déplacée vers le haut le long de l'axe y pour pointer {style d'affichage (0,R)} . La distance entre {style d'affichage P} et la masse ponctuelle est maintenant plus longue qu'avant; Il devient l'hypoténuse du triangle rectangle avec des jambes {style d'affichage p} et {style d'affichage R} lequel est {style de texte {sqrt {p^{2}+R^{2}}}} . Ainsi, le champ gravitationnel du point élevé est: {style d'affichage E_{texte{point élevé}}={frac {GM}{p^{2}+R^{2}}}} L'amplitude du champ gravitationnel qui attirerait une particule au point {style d'affichage P} dans la direction x est le champ gravitationnel multiplié par {style d'affichage cos(thêta )} où {thêta de style d'affichage } est l'angle adjacent à l'axe des x. Dans ce cas, {style d'affichage cos(thêta )={frac {p}{sqrt {p^{2}+R^{2}}}}} . Ainsi, l'amplitude du champ gravitationnel dans la direction x, {style d'affichage E_{X}} est: {style d'affichage E_{X}={frac {GMcos {thêta }}{p^{2}+R^{2}}}} Remplacer dans {style d'affichage cos(thêta )} donne {style d'affichage E_{X}={frac {BPF}{la gauche(p^{2}+R^{2}droit)^{3/2}}}} Supposons que cette masse soit uniformément répartie dans un anneau centré à l'origine et faisant face au point {style d'affichage P} avec le même rayon {style d'affichage R} . Parce que toute la masse est située au même angle par rapport à l'axe des x, et la distance entre les points sur l'anneau est la même distance qu'avant, le champ gravitationnel dans la direction x au point {style d'affichage P} due à l'anneau équivaut à une masse ponctuelle située en un point {style d'affichage R} unités au-dessus de l'axe des ordonnées: {style d'affichage E_{texte{bague}}={frac {BPF}{la gauche(p^{2}+R^{2}droit)^{3/2}}}} Pour trouver le champ gravitationnel au point {style d'affichage P} à cause d'un disque, une infinité d'anneaux infiniment fins face à {style d'affichage P} , chacun avec un rayon {style d'affichage y} , largeur de {style d'affichage dy} , et la masse de {style d'affichage dM} peuvent être placés les uns dans les autres pour former un disque. La masse de l'un des anneaux {style d'affichage dM} est la masse du disque multipliée par le rapport de la surface de l'anneau {style d'affichage 2pi y,mourir} à la surface totale du disque {style d'affichage pi R^{2}} . Alors, {style de texte dM={frac {Mcdot 2 ans,mourir}{R^{2}}}} . Ainsi, un petit changement dans le champ gravitationnel, {style d'affichage E} est: {displaystyle dE={frac {GP,dM}{(p^{2}+y ^{2})^{3/2}}}} Remplacer dans {style d'affichage dM} et l'intégration des deux côtés donne le champ gravitationnel du disque: {style d'affichage E=int {frac {GMpcdot {frac {2y,mourir}{R^{2}}}}{(p^{2}+y ^{2})^{3/2}}}} L'addition de la contribution au champ gravitationnel de chacun de ces anneaux donnera l'expression du champ gravitationnel dû à un disque. Cela équivaut à intégrer cette expression ci-dessus à partir de {style d'affichage y=0} à {style d'affichage y=R} , résultant en: {style d'affichage E_{texte{disque}}={frac {2GM}{R^{2}}}la gauche(1-{frac {p}{sqrt {p^{2}+R^{2}}}}droit)} Pour trouver le champ gravitationnel au point {style d'affichage P} due à une sphère centrée à l'origine, une quantité infinie de disques infiniment minces faisant face {style d'affichage P} , chacun avec un rayon {style d'affichage R} , largeur de {style d'affichage dx} , et la masse de {style d'affichage dM} peuvent être placés ensemble.

Les rayons de ces disques {style d'affichage R} suivre la hauteur de la section transversale d'une sphère (à rayon constant {style d'affichage a} ) qui est une équation d'un demi-cercle: {style de texte R={sqrt {un ^{2}-x^{2}}}} . {style d'affichage x} varie de {style d'affichage -a} à {style d'affichage a} .

La masse de l'un des disques {style d'affichage dM} est la masse de la sphère {style d'affichage M} multiplié par le rapport du volume d'un disque infiniment mince divisé par le volume d'une sphère (à rayon constant {style d'affichage a} ). Le volume d'un disque infiniment mince est {style d'affichage pi R^{2},dx} , ou {style de texte pi à gauche(un ^{2}-x^{2}droit)dx} . Alors, {style de texte dM={frac {pi M(un ^{2}-x^{2}),dx}{{frac {4}{3}}pi a^{3}}}} . Simplifying gives {style de texte dM={frac {3M(un ^{2}-x^{2}),dx}{4un ^{3}}}} .

La position de chaque disque loin de {style d'affichage P} variera avec sa position dans la 'sphère' constituée des disques, alors {style d'affichage p} doit être remplacé par {style d'affichage p+x} .

Remplacement {style d'affichage M} avec {style d'affichage dM} , {style d'affichage R} avec {style d'affichage {sqrt {un ^{2}-x^{2}}}} , et {style d'affichage p} avec {style d'affichage p+x} dans l'équation 'disque' donne: {displaystyle dE={frac {la gauche({frac {2Gleft[3Mgauche(un ^{2}-x^{2}droit)droit]}{4un ^{3}}}droit)}{{sqrt {un ^{2}-x^{2}}}^{2}}}point gauche(1-{frac {p+x}{sqrt {(p+x)^{2}+{sqrt {un ^{2}-x^{2}}}^{2}}}}droit),dx} Simplifier, {displaystyle int dE=int _{-un}^{un}{frac {3GM}{2un ^{3}}}la gauche(1-{frac {p+x}{sqrt {p^{2}+un ^{2}+2pixels}}}droit)dx} Intégrer le champ gravitationnel de chaque disque mince de {style d'affichage x=-a} à {style d'affichage x=+a} en ce qui concerne {style d'affichage x} , et faire de l'algèbre soigneuse, donne le théorème de la coquille de Newton: {style d'affichage E={frac {GM}{p^{2}}}} où {style d'affichage p} est la distance entre le centre de la masse sphérique et un point arbitraire {style d'affichage P} . The gravitational field of a spherical mass may be calculated by treating all the mass as a point particle at the center of the sphere.

Outside a shell A solid, corps à symétrie sphérique peut être modélisé comme un nombre infini de concentriques, coquilles sphériques infiniment minces. Si l'une de ces coques peut être traitée comme une masse ponctuelle, puis un système de coques (c'est à dire. la sphère) peut également être traité comme une masse ponctuelle. Considérez une telle coquille (le schéma montre une coupe transversale): (Noter: la {style d'affichage dtheta } dans le diagramme fait référence au petit angle, pas la longueur de l'arc. La longueur de l'arc est {style de texte R,thêta } .) Application de la loi universelle de la gravitation de Newton, la somme des forces dues aux éléments de masse dans la bande ombrée est {style d'affichage dF={frac {GM}{s ^{2}}}dM.} Cependant, car il y a annulation partielle due à la nature vectorielle de la force en conjonction avec la symétrie de la bande circulaire, le composant restant (dans la direction pointant vers {style d'affichage m} ) est donné par {style d'affichage dF_{r}={frac {GM}{s ^{2}}}parce que(varphi ),dM} La force totale sur {style d'affichage m} , alors, est simplement la somme de la force exercée par toutes les bandes. En réduisant la largeur de chaque bande, et augmenter le nombre de bandes, la somme devient une expression intégrale: {style d'affichage F_{r}=int dF_{r}} Depuis {style d'affichage G} et {style d'affichage m} sont des constantes, ils peuvent être retirés de l'intégrale: {style d'affichage F_{r}=Gmenthe {frac {parce que(varphi )}{s ^{2}}},dM.} Pour évaluer cette intégrale, il faut d'abord exprimer {style d'affichage dM} en tant que fonction de {style d'affichage dtheta } La surface totale d'une coque sphérique est {style d'affichage 4pi R^{2}} tandis que la surface de la fine tranche entre {thêta de style d'affichage } et {style d'affichage thêta + dthêta } est {style d'affichage 2pi Rsin(thêta )R,dthêta =2pi R^{2}péché(thêta ),thêta } Si la masse de la coquille est {style d'affichage M} , on a donc ça {style d'affichage dM={frac {2pi R^{2}péché(thêta )}{4pi R^{2}}}M,dtheta ={frac {1}{2}}Msin(thêta ),thêta } et {style d'affichage F_{r}={frac {GMm}{2}}entier {frac {péché(thêta )parce que(varphi )}{s ^{2}}},thêta } Par la loi des cosinus, {style d'affichage cos(varphi )={frac {r ^{2}+s ^{2}-R^{2}}{2rs}}} et {style d'affichage cos(thêta )={frac {r ^{2}+R^{2}-s ^{2}}{2rR}}.} Ces deux relations relient les trois paramètres {thêta de style d'affichage } , {style d'affichage varphi } et {style d'affichage s} qui apparaissent ensemble dans l'intégrale. Comme {thêta de style d'affichage } augmente de {style d'affichage 0} à {style d'affichage pi } radians, {style d'affichage varphi } varie de la valeur initiale 0 à une valeur maximale avant de finalement revenir à zéro à {style d'affichage thêta = pi } . À la fois, {style d'affichage s} augmente par rapport à la valeur initiale {style d'affichage r-R} à la valeur finale {style d'affichage r+R} comme {thêta de style d'affichage } augmente de 0 à {style d'affichage pi } radians. Ceci est illustré dans l'animation suivante: (Noter: Vu de {style d'affichage m} , la bande bleue ombrée apparaît comme un mince anneau dont les rayons intérieur et extérieur convergent vers {style d'affichage Rsin(thêta )} comme {style d'affichage dtheta } disparaît.) Pour trouver une fonction primitive à l'intégrande, il faut faire {style d'affichage s} la variable d'intégration indépendante au lieu de {thêta de style d'affichage } .

Effectuer une différenciation implicite de la seconde des "loi du cosinus" les expressions ci-dessus donnent {style d'affichage -sin(thêta ),dtheta ={frac {-2s}{2rR}},dès} Et ainsi {péché de style d'affichage(thêta ),dtheta ={frac {s}{rR}},ds.} Il s'ensuit que {style d'affichage F_{r}={frac {GMm}{2}}{frac {1}{rR}}entier {frac {dehors(varphi )}{s ^{2}}},ds={frac {GMm}{2rR}}entier {frac {parce que(varphi )}{s}},dès} où la nouvelle variable d'intégration {style d'affichage s} augmente de {style d'affichage r-R} à {style d'affichage r+R} .

Insertion de l'expression pour {style d'affichage cos(varphi )} en utilisant le premier des "loi du cosinus" expressions ci-dessus, on comprend enfin ça {style d'affichage F_{r}={frac {GMm}{4r ^{2}R}}int gauche(1+{frac {r ^{2}-R^{2}}{s ^{2}}}droit) dès .} Une fonction primitive à l'intégrande est {style d'affichage s-{frac {r ^{2}-R^{2}}{s}} ,} et en insérant les bornes {style d'affichage r-R} et {style d'affichage r+R} pour la variable d'intégration {style d'affichage s} dans cette fonction primitive, on comprend ça {style d'affichage F_{r}={frac {GMm}{r ^{2}}},} en disant que la force gravitationnelle est la même que celle d'une masse ponctuelle au centre de la coque avec la même masse.

Pour terminer, intégrer toute coque sphérique infiniment mince avec une masse de {style d'affichage dM} , et nous pouvons obtenir la contribution gravitationnelle totale d'une balle solide à l'objet à l'extérieur de la balle {style d'affichage F_{total}=int dF_{r}={frac {GM}{r ^{2}}}dM int.} Entre le rayon de {style d'affichage x} à {style d'affichage x+dx} , {style d'affichage dM} peut s'exprimer en fonction de {style d'affichage x} , c'est à dire., {style d'affichage dM={frac {4pi x^{2}dx}{{frac {4}{3}}pi R^{3}}}M={frac {3Mx^{2}dx}{R^{3}}}} Par conséquent, la gravité totale est {style d'affichage F_{texte{total}}={frac {3GMm}{r ^{2}R^{3}}}entier _{0}^{R}x^{2},dx={frac {GMm}{r ^{2}}}} ce qui suggère que la gravité d'une boule sphérique solide vers un objet extérieur peut être simplifiée comme celle d'une masse ponctuelle au centre de la boule avec la même masse.

Inside a shell For a point inside the shell, la différence est que lorsque θ est égal à zéro, ϕ prend la valeur π radians et s la valeur R − r. Lorsque θ augmente de 0 à π radians, ϕ diminue de la valeur initiale π radians à zéro et s augmente de la valeur initiale R − r à la valeur R + r.

This can all be seen in the following figure Inserting these bounds into the primitive function {style d'affichage s-{frac {r ^{2}-R^{2}}{s}}} on comprend ça, dans ce cas {style d'affichage F_{r}=0,} en disant que les forces gravitationnelles nettes agissant sur la masse ponctuelle à partir des éléments de masse de la coque, en dehors du point de mesure, annuler.

Généralisation: Si {style d'affichage f={frac {k}{r ^{p}}}} , la force résultante à l'intérieur de la coque est: {style d'affichage F(r)={frac {GMm}{4r ^{2}R}}entier _{R-r}^{R+r}la gauche({frac {1}{s ^{p-2}}}+{frac {r ^{2}-R^{2}}{s ^{p}}}droit),dès} Les résultats ci-dessus en {style d'affichage F(r)} étant identiquement nul si et seulement si {style d'affichage p=2} Hors de la coquille (c'est à dire. {displaystyle r>R} ou {style d'affichage r<-R} ): {displaystyle F(r)={frac {GMm}{4r^{2}R}}int _{r-R}^{r+R}left({frac {1}{s^{p-2}}}+{frac {r^{2}-R^{2}}{s^{p}}}right),ds} Derivation using Gauss's law The shell theorem is an immediate consequence of Gauss's law for gravity saying that {displaystyle int _{S}{mathbf {g} }cdot ,d{mathbf {S} }=-4pi GM} where M is the mass of the part of the spherically symmetric mass distribution that is inside the sphere with radius r and {displaystyle int _{S}{mathbf {g} }cdot ,d{mathbf {S} }=int _{S}{mathbf {g} }cdot {hat {mathbf {n} }},dS} is the surface integral of the gravitational field g over any closed surface inside which the total mass is M, the unit vector {displaystyle {hat {mathbf {n} }}} being the outward normal to the surface. The gravitational field of a spherically symmetric mass distribution like a mass point, a spherical shell or a homogeneous sphere must also be spherically symmetric. If {displaystyle {hat {mathbf {n} }}} is a unit vector in the direction from the point of symmetry to another point the gravitational field at this other point must therefore be {displaystyle mathbf {g} =g(r){hat {mathbf {n} }}} where g(r) only depends on the distance r to the point of symmetry Selecting the closed surface as a sphere with radius r with center at the point of symmetry the outward normal to a point on the surface, {displaystyle {hat {mathbf {n} }}} , is precisely the direction pointing away from the point of symmetry of the mass distribution. One, therefore, has that {displaystyle mathbf {g} =g(r){hat {mathbf {n} }}} and {displaystyle int _{S}mathbf {g} cdot ,d{mathbf {S} }=g(r)int _{S},dS=g(r)4pi r^{2}} as the area of the sphere is 4πr2. From Gauss's law it then follows that {displaystyle g(r)4pi r^{2}=-4pi GM,} or, {displaystyle g(r)=-{frac {GM}{r^{2}}}.} Converses and generalizations It is natural to ask whether the converse of the shell theorem is true, namely whether the result of the theorem implies the law of universal gravitation, or if there is some more general force law for which the theorem holds. More specifically, one may ask the question: Suppose there is a force {displaystyle F} between masses M and m, separated by a distance r of the form {displaystyle F=Mmf(r)} such that any spherically symmetric body affects external bodies as if its mass were concentrated at its center. Then what form can the function {displaystyle f} take? In fact, this allows exactly one more class of force than the (Newtonian) inverse square.[2][3] The most general force as derived by Vahe Gurzadyan in [2] (Gurzadyan theorem) is:" {displaystyle F=-{frac {GMm}{r^{2}}}-{frac {Lambda Mmr}{3}}} where {displaystyle G} and {displaystyle Lambda } can be constants taking any value. The first term is the familiar law of universal gravitation; the second is an additional force, analogous to the cosmological constant term in general relativity. If we further constrain the force by requiring that the second part of the theorem also holds, namely that there is no force inside a hollow ball, we exclude the possibility of the additional term, and the inverse square law is indeed the unique force law satisfying the theorem. On the other hand, if we relax the conditions, and require only that the field everywhere outside a spherically symmetric body is the same as the field from some point mass at the center (of any mass), we allow a new class of solutions given by the Yukawa potential, of which the inverse square law is a special case. Another generalization can be made for a disc by observing that {displaystyle dM={frac {R^{2}}{2}}{frac {dtheta ,sin ^{2}(theta )}{pi R^{2}}}M={frac {sin ^{2}(theta )}{2pi }}M,dtheta } so: {displaystyle F_{r}={frac {GMm}{2pi }}int {frac {sin ^{2}(theta )cos(varphi )}{s^{2}}},dtheta ,} where {displaystyle M=pi R^{2}rho } , and {displaystyle rho } is the density of the body. Doing all the intermediate calculations we get: {displaystyle F(r)={frac {Gmrho }{8r^{3}}}int _{R-r}^{R+r}{frac {left(r^{2}+s^{2}-R^{2}right){sqrt {2left(r^{2}R^{2}+r^{2}s^{2}+R^{2}s^{2}right)-s^{4}-r^{4}-R^{4}}}}{s^{2}}},ds} Newton's proofs Introduction Propositions 70 and 71 consider the force acting on a particle from a hollow sphere with an infinitesimally thin surface, whose mass density is constant over the surface. The force on the particle from a small area of the surface of the sphere is proportional to the mass of the area and inversely as the square of its distance from the particle. The first proposition considers the case when the particle is inside the sphere, the second when it is outside. The use of infinitesimals and limiting processes in geometrical constructions are simple and elegant and avoid the need for any integrations. They well illustrate Newton's method of proving many of the propositions in the Principia. His proof of Propositions 70 is trivial. In the following, it is considered in slightly greater detail than Newton provides. The proof of Proposition 71 is more historically significant. It forms the first part of his proof that the gravitational force of a solid sphere acting on a particle outside it is inversely proportional to the square of its distance from the center of the sphere, provided the density at any point inside the sphere is a function only of its distance from the center of the sphere. Although the following are completely faithful to Newton's proofs, very minor changes have been made to attempt to make them clearer. Force on a point inside a hollow sphere Fig. 2 is a cross-section of the hollow sphere through the center, S and an arbitrary point, P, inside the sphere. Through P draw two lines IL and HK such that the angle KPL is very small. JM is the line through P that bisects that angle. From the geometry of circles, the triangles IPH and KPL are similar. The lines KH and IL are rotated about the axis JM to form 2 cones that intersect the sphere in 2 closed curves. In Fig. 1 the sphere is seen from a distance along the line PE and is assumed transparent so both curves can be seen. The surface of the sphere that the cones intersect can be considered to be flat, and {displaystyle angle PJI=angle PMK} . Since the intersection of a cone with a plane is an ellipse, in this case the intersections form two ellipses with major axes IH and KL, where {displaystyle {frac {IH}{KL}}={frac {PJ}{PM}}} . By a similar argument, the minor axes are in the same ratio. This is clear if the sphere is viewed from above. Therefore the two ellipses are similar, so their areas are as the squares of their major axes. As the mass of any section of the surface is proportional to the area of that section, for the 2 elliptical areas the ratios of their masses {displaystyle propto {frac {PJ^{2}}{PM^{2}}}} . Since the force of attraction on P in the direction JM from either of the elliptic areas, is direct as the mass of the area and inversely as the square of its distance from P, it is independent of the distance of P from the sphere. Hence, the forces on P from the 2 infinitesimal elliptical areas are equal and opposite and there is no net force in the direction JM. As the position of P and the direction of JM are both arbitrary, it follows that any particle inside a hollow sphere experiences no net force from the mass of the sphere. Note: Newton simply describes the arcs IH and KL as 'minimally small' and the areas traced out by the lines IL and HK can be any shape, not necessarily elliptic, but they will always be similar. Force on a point outside a hollow sphere Fig. 1 is a cross-section of the hollow sphere through the center, S with an arbitrary point, P, outside the sphere. PT is the tangent to the circle at T which passes through P. HI is a small arc on the surface such that PH is less than PT. Extend PI to intersect the sphere at L and draw SF to the point F that bisects IL. Extend PH to intersect the sphere at K and draw SE to the point E that bisects HK, and extend SF to intersect HK at D. Drop a perpendicular IQ on to the line PS joining P to the center S. Let the radius of the sphere be a and the distance PS be D. Let arc IH be extended perpendicularly out of the plane of the diagram, by a small distance ζ. The area of the figure generated is {displaystyle IHcdot zeta } , and its mass is proportional to this product. The force due to this mass on the particle at P {displaystyle propto {frac {IHcdot zeta }{PI^{2}}}} and is along the line PI. The component of this force towards the center {displaystyle propto {frac {IHcdot PQcdot zeta }{PI^{3}}}} . If now the arc HI is rotated completely about the line PS to form a ring of width HI and radius IQ, the length of the ring is 2π·IQ and its area is 2π·IQ·IH. The component of the force due to this ring on the particle at P in the direction PS becomes {displaystyle propto {frac {IHcdot IQcdot PQ}{PI^{3}}}} . The perpendicular components of the force directed towards PS cancel out since the mass in the ring is distributed symmetrically about PS. Therefore, the component in the direction PS is the total force on P due to the ring formed by rotating arc HI about PS. From similar triangles: {displaystyle {frac {IQ}{PI}}={frac {FS}{D}}} ; {displaystyle {frac {PQ}{PI}}={frac {PF}{D}}} , and {displaystyle {frac {RI}{PI}}={frac {DF}{PF}}} . If HI is sufficiently small that it can be taken as a straight line, {displaystyle angle SIH} is a right angle, and {displaystyle angle RIH=angle FIS} , so that {displaystyle {frac {HI}{RI}}={frac {a}{IF}}} . Hence the force on P due to the ring {displaystyle propto {frac {IHcdot IQcdot PQ}{PI^{3}}}={frac {acdot DFcdot FScdot PF}{IFcdot PFcdot Dcdot D}}={frac {acdot DFcdot FS}{IFcdot D^{2}}}} . Assume now in Fig. 2 that another particle is outside the sphere at a point p, a different distance d from the center of the sphere, with corresponding points lettered in lower case. For easy comparison, the construction of P in Fig. 1 is also shown in Fig. 2. As before, ph is less than pt. Generate a ring with width ih and radius iq by making angle {displaystyle fiS=FIS} and the slightly larger angle {displaystyle dhS=DHS} , so that the distance PS is subtended by the same angle at I as is pS at i. The same holds for H and h, respectively. The total force on p due to this ring is {displaystyle propto {frac {ihcdot iqcdot pq}{pi^{3}}}={frac {acdot dfcdot fS}{ifcdot d^{2}}}} Clearly {displaystyle fS=FS} , {displaystyle if=IF} , and {displaystyle eS=ES} . Newton claims that DF and df can be taken as equal in the limit as the angles DPF and dpf 'vanish together'. Note that angles DPF and dpf are not equal. Although DS and dS become equal in the limit, this does not imply that the ratio of DF to df becomes equal to unity, when DF and df both approach zero. In the finite case DF depends on D, and df on d, so they are not equal. Since the ratio of DF to df in the limit is crucial, more detailed analysis is required. From the similar right triangles, {textstyle {frac {DF}{PF}}={frac {ED}{ES}}} and {displaystyle ED^{2}=(DF+FS)^{2}-ES^{2}} , giving {displaystyle {frac {left(PF^{2}-ES^{2}right)DF^{2}}{PF^{2}}}+2cdot FScdot DF+FS^{2}-ES^{2}=0} . Solving the quadratic for DF, in the limit as ES approaches FS, the smaller root, {displaystyle DF=ES-FS} . More simply, as DF approaches zero, in the limit the {displaystyle DF^{2}} term can be ignored: {displaystyle 2cdot FScdot DF+FS^{2}-ES^{2}=0} leading to the same result. Clearly df has the same limit, justifying Newton’s claim. Comparing the force from the ring HI rotated about PS to the ring hi about pS, the ratio of these 2 forces equals {textstyle {frac {d^{2}}{D^{2}}}} . By dividing up the arcs AT and Bt into corresponding infinitesimal rings, it follows that the ratio of the force due to the arc AT rotated about PS to that of Bt rotated about pS is in the same ratio, and similarly, the ratio of the forces due to arc TB to that of tA both rotated are in the same ratio. Therefore, the force on a particle any distance D from the center of the hollow sphere is inversely proportional to {displaystyle D^{2}} , which proves the proposition. Shell theorem in general relativity An analogue for shell theorem exists in general relativity (GR). Spherical symmetry implies that the metric has time-independent Schwarzschild geometry, even if a central mass is undergoing gravitational collapse (Misner et al. 1973; see Birkhoff's theorem). The metric thus has form {displaystyle ds^{2}=-(1-2M/r),dt^{2}+(1-2M/r)^{-1},dr^{2}+r^{2},dOmega ^{2}} (using geometrized units, where {displaystyle G=c=1} ). For {displaystyle r>R>0} (où {style d'affichage R} est le rayon d'une coquille de masse), la masse agit comme une fonction delta à l'origine. Pour {style d'affichage r

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